2016年数学联赛广西赛区预赛试题答案VIP

2016 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 1 页（共 7 页） 2016 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 （考试时间：2016 年 5 月 22 日上午 8:3011:00） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 150 分 题号 填空题 11 12 13 总分 得分 注意：1. 所有答题均写在密封线右边，写在其他纸上一律无效； 2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记 一一、填空题填空题 (本大题共本大题共 10 小题小题，每小题每小题 8 分分，共共 80 分分，请将答案填写在下面请将答案填写在下面答答题卡相应的横线上题卡相应的横线上) （10，100）； 2 -2 ； 3. 2 )(ba ； 4. 2 3 ； 5 3 ； 62； 7 8204 ； 8. 72 ； 9. ； 10 4 4 3 , 33 ； 1 （赵继源供题）函数 2 1 ( ) (lg )3lg2 f x xx 的定义域是_. 答案答案： （10，100） 解：要使函数有意义，应有 2 (lg )3lg20 xx，解得 1lgx2，即 10x100，故函数的定义域 为（10，100） 2 （赵继源供题） 设实数 x，y 满足62 1 xy yx x ，向量a =（2xy，m），b =（1，1），若a b ，则实数 m 的最小值 为 答案答案：2 解：由已知，若a b ，则 2 11 xym ，即 m=2x+y. 由 m=2x+y，得 y=2x+m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），并平移直 线 y=2x+m，由平移可知当直线 y=2x+m 经过点 B 时，直线 y=2x+m 的截距最小，此时 m 取得最小值. 2016 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 2 页（共 7 页） 由 , 62 . xy yx ，解得 2 2 x y ，即 B（2，2） 将 B（2，2）坐标代入 m=2x+y，得 z=4+2=2， 即目标函数 m=2x+y 的最小值为2 3 （黎福庆供题）设a、b都为大于零的常数，10 x，则 x b x a 1 22 的最小值为 . 答案： 2 )(ba 解： 2222 (1) 11 abab xx xxxx 22 22 (1) 1 axb x ab xx 22 22 (1) 2 1 axb x ab xx 2 ()ab .（或直接用柯西不等式也行） 4 （唐光明供题）运行右侧的程序框图，输出的结果S的值为 . 答案答案： 2 3 . 解析：因为0 3 6 sin 3 5 sin 3 4 sin 3 3 sin 3 2 sin 3 sin ， 根据周期性，该程序的功能是计算： 2 3 3 sin 3 2017 sin 3 4 sin 3 3 sin 3 2 sin 3 sin . 5（王强芳供题）已知函数 3 ( )f xx对应的曲线在点(,()() kk af akN 处的切线与x轴的交点为 1 (,0) k a ，若 1 1a ，则 333 1210 10 ()()() 2 1 ( ) 3 fafafa . 答案答案：3 解：由 2 ( )3fxx得曲线在点(,()() kk af akN 处的切线斜率 2 3 k ka，故切线方程为 32 3() kkk yaaxa. 令0y 得 1 2 3 kk aa 1 2 3 k k a a ，故数列 n a是首项 1 1a ，公比 2 3 q 的等比数列， 又 333 1210 ()()()fafafa 10 10 1 1210 (1) 3(1) 1 aq aaaq q ， 开始 是 否 输出S 结束 S=0,n=1 n2017 n=n+1 S=S+sin( n) 3 2016 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 3 页（共 7 页） 所以 333 1210 10 ()()() 3 2 1 ( ) 3 fafafa . 6 （王强芳供题）已知点P在曲线 y=ex上，点Q在曲线 y=lnx 上，则PQ的最小值是_ 答案答案：2 解：因曲线 y=ex与 y=lnx 关于直线 y=x 对称所求PQ的最小值为曲线 y=ex上的点到直线 y=x 最小距离 的两倍,设 P(x, ex)为 y=ex上任意点, 则 P 到直线 y=x 的距离 22 | )( xexe xd xx , 因00)(, 00 2 1 )( / xxdx e xd x ,所以, 2 2 )0()( min dxd,即PQ min= 2. 7（唐光明供题） 设 mN*， log2m 的整数部分用 F(m)表示， 则 F(1)F(2)F(1024)的值是_. 答案答案：8204 解析：依题意，F(1)0， F(2)F(3)1，有 2 个 F(4)F(5)F(6)F(7)2，有 22个 F(8)F(15)3，有 23个 F(16)F(31)4，有 24个 F(512)F(1 023)9，有 29个 F(1 024)10，有 1 个 故 F(1)F(2)F(1 024)01222232392910. 令 T12222323929， 则 2T1222238299210. ，得T222232992102(12 9) 12 92102102921082102， T821028194，F(1)F(2)F(1024)8 194108204. 8 （赵继源供题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有 4 种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有_种. 答案答案：72 解：设四棱锥为 PABCD下面分三种情况讨论： (1) AC 同色，但 BD 不同色: P 的着色方法种数为 1 4 C, AC 的着色方法种数为 1 3 C, B 的着色方法种数为 1 2 C, D 的着色方法种数为 1 1 C 共有 1 4 C 1 3 C 1 2 C 1 1 C=24 种； 2016 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 4 页（共 7 页） (2) AC 不同色，但 BD 同色: P 的着色方法种数为 1 4 C, BD 的着色方法种数为 1 3 C, A 的着色方法种数为 1 2 C, C 的着色方法种数为 1 1 C， 共有 1 4 C 1 3 C 1 2 C 1 1 C=24 种； (2) AC 同色， BD 也同色: P 的着色方法种数为 1 4 C, BD 的着色方法种数为 1 3 C, AC 的着色方法种数为 1 2 C， 共有 1 4 C 1 3 C 1 2 C=24 种； 故共有 24+24+24=72 种. 9 （赵继源供题）设函数( )f x的定义域为 R，若存在常数 0 使|( )f x|x|对一切实数 x 均成立， 则称( )f x为“条件约束函数”现给出下列函数： ( )f x=4x； ( )f x=x2+2； ( )f x= 2 2 25 x xx ； ( )f x是定义在实数集 R 上的奇函数，且对一切 x1，x2均有 f（x1）f（x2）4|x1x2| 其中是“条件约束函数”的序号是 _ （写出符合条件的全部序号） 答案答案： 解：对于，( )f x=4x，易知存在 =40，使|( )f x|x|对一切实数 x 均成立，符合题意；是“条件约 束函数” 对于用 F 函数的定义不难发现：因为 x0 时，| ( )f x x |，所以不存在常数 0，使|( )f x|x|对 一切实数 x 均成立，不符合题意，不是“条件约束函数” 对于，因为 22 2|2|1 |( )| 25(1)42 xx f xx xxx ，所以存在常数 =20，使|( )f x|x|对一切 实数 x 均成立，是“条件约束函数” 对于，( )f x是定义在实数集 R 上的奇函数，故|( )f x|是偶函数，因而由|f（x1）f（x2）|4|x1x2| 得 |( )f x|4|x|成立，即存在 40，使|( )f x|x|对一切实数 x 均成立 2016 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 5 页（共 7 页） 10 （赵继源供题） 已知线段 AB 是半径为 2 的球 O 的直径，C、D 两点在球 O 的球面上，CD=2，ABCD， 45AOC135，则四面体 ABCD 的体积的取值范围是 _ 答案答案： 4 4 3 , 33 解：由题意，当AOC=45或 135时经过 CD 与 AB 垂直的截面面积最小，此时四面体 ABCD 的体积取得最小值. 如图（1）ECD 中，F 为 CD 的中点，EC=OCsin45= 2， OF= 3，EF=1，SECD= CDEF=1 可得棱锥体积的最小值为 4 3 当AOC=90时，经过 CD 与 AB 垂直的截面面积最大，如图（2），截面OCD 是 正三角形，边长为 2可得棱锥体积的最大值为 4 3 3 故四面体 ABCD 的体积的取值范围是： 4 4 3 , 33 三、 解答题解答题 (本大题共本大题共 3 小题小题，共共 70 分分. 解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步证明过程或演算步 骤骤.) 11. （本小题满分 20 分） （赵继源供题）已知数列 n a中， 1 1a ， 2 1 4 a ，且 1 (1) n n n na a na （n=2， 3，4） （）求数列 n a的通项公式； （）求证：对一切 nN*，有 2 1 7 6 n k k a 解：（） 1 1a , 1 (1) n n n na a na （n=2，3，4）, 当 n2 时， 1 11 (1)(1)1 n nnn nan ananan . 两边同时除以 n，得 1 111 (1)(1) nn nanan n ， 2016 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 6 页（共 7 页） 1 11 () 1 nn bb nn 5 分 11 1 22 11 () 1 nn kk kk bb kk 1 (1) 1n 2 1 (1) 1 n bb n ，n2. 2 132 (1) 11 n n bb nn nN*10 分 （）证明：当 k2 时， 2 2 11 (32)(34)(31) k a kkk 111 () 3 3431kk ，15 分 当 n2 时， 22 12 1 nn kk kk aa 1111111 1()().() 325583431nn 1 1117 1()1 3 23166n .又 n=1 时， 2 1 7 1 6 a ， 对一切 nN*，有 2 1 7 6 n k k a 20 分 12. （本小题满分 25 分） （赵继源供题） 如图， 点H为ABC的垂心， 以AB为直径的 1 O和BCH的外接圆 2 O相 交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点. 证明： 如图，延长AP交 2 O于点Q，连接 AHBDQB QCQH，.5 分 AB为 1 O的直径， ADB 90BDQ 10 分 BQ为 2 O的直径. CQBC BHHQ，. 15 分 点H为ABC的垂心， .AHBC BHAC， 20 分 AHCQ，ACHQ,四边形ACQH为平行四边形. 点P为CH的中点. 25 分 2016 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 7 页（共 7 页） 13. （本小题满分 25 分） （黎福庆供题） 已知抛物线xyC4: 2 ，以)2 , 1 (M为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB. （）求证：直线 AB 过定点； （）过点 M 作 AB 的垂线交 AB 于点 N，求点 N 的轨迹方程. 解:（）设直线 AB 的方程为nmyx，),( 11 yxA，),( 22 yxB. ,4 , 2 xy nmyx 得044 2 nmyy， myy4 21 ， nyy4 21 .5 分 90AMB，0MBMA，即 0)2, 1()2, 1( 2211 yxyx. 0)2)(2() 1)(1( 2121 yyxx.10 分 0)2)(2() 1)(1( 2121 yynmynmy， 04) 1()(2() 1( 2 2121 2 nyy