2020届闵行区高三二模数学(难题附详解)

20202020 闵行闵行二二模模数学卷数学卷(20(202020. .5 5) ) 一一. 填空题填空题（本大题共（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1. 设集合1,3,5,7A=， |47Bxx=，则AB = 2. 已知复数z满足1iiz = +（i为虚数单位），则Imz = 3. 若直线10axby+ =的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 4. 记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 312 2SSS=+， 1 2a =，则 5 a = 5. 已知圆锥的母线长为 10，母线与轴的夹角为 30，则该圆锥的侧面积为 6. 在 83 1 ()x x 的二项展开式中，常数项的值为 7. 若x、y满足|1xy+，且1y ，则3xy+的最大值为 8. 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的 概率为 （结果用最简分数表示） 9. 已知直线 1: lyx=，斜率为q（01q）的直线 2 l与x轴交于点A， 与y轴交于点 0(0, ) Ba，过 0 B作x轴的平行线，交 1 l于点 1 A，过 1 A作 y轴的平行线，交 2 l于点 1 B，再过 1 B作x轴的平行线交 1 l于点 2 A， 这样依次得线段 01 B A、 11 AB、 12 B A、 22 A B、 1nn BA 、 nn A B， 记 n x为点 n B的横坐标，则lim n n x = 10. 已知(2)f x +是定义在R上的偶函数，当 12 ,2,)x x +，且 12 xx，总有 12 12 0 ( )() xx f xf x ，则不等 式 1 ( 31)(12) x ff + +的解集为 11. 已知A、B、C是边长为 1 的正方形边上的任意三点，则AB AC的取值范围为 12. 已知函数( ) |sin|cos | 4sin cosf xxxxxk=+，若函数( )yf x=在区间(0, )内恰好有奇数个零点， 则实数k的所有取值之和为 二二. 选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14. 某县共有 300 个村，现采用系统抽样方法，抽取 15 个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将 300 个村编上 1 到 300 的号码，求得间隔数 300 20 15 k =，即每 20 个村抽取一个村，在 1 到 20 中随机抽 取一个数，如果抽到的是 7，则从 41 到 60 这 20 个数中应取的号码数是（ ） A. 45B. 46C. 47D. 48 15. 已知抛物线的方程为 2 4yx=，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若 1 EMMF=， 2 ENNF=，则 12 +=（ ） A.2B. 1 2 C. 1D.1 16. 关于x的实系数方程 2 450 xx+=和 2 20 xmxm+=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应 的点共圆，则m的取值范围是（ ） A.5B. 1C.(0,1)D.(0,1) 1 三三. 解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=76 分）分） 17. 在直三棱柱 111 ABCABC中，ABBC，2ABBC=， 1 2 3AA =，M是侧棱 1 C C上一点， 设MCh=. （1）若3h =，求多面体 111 ABMABC的体积； （2）若异面直线BM与 11 AC所成的角为 60，求h的值. 18. 已知函数 2 ( )3cos3sincosf xxxx=+（0）. （1）当( )f x的最小正周期为2时，求的值； （2）当1=时，设ABC的内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知()3 2 A f=，且2 7a =， 6b =，求ABC的面积. 19. 如图，A、B两地相距 100 公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造 储备仓库， 共享民生物资， 当点P在线段AB的中点C时， 建造费用为 2000 万元， 若点P在线段AC上 （不 含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、 B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米（0100 x），A地所需该物资每年的运输费 用为2.5x万元，B地所需该物资每年的运输费用为0.5(100)x万元，( )f x表示建造仓库费用，( )g x表示 两地物资每年的运输总费用（单位：万元）. （1）求函数( )f x的解析式； （2）若规划仓库使用的年限为n（ * nN），( )( )( )H xf xng x=+，求( )H x的最小值，并解释其实际意 义. 20. 在平面直角坐标系中，A、B分别为椭圆 2 2 :1 2 x y+=的上、 下顶点， 若动直线l过点(0, )Pb（1b ） ， 且与椭圆相交于C、D两个不同点（直线l与y轴不重合，且C、D两点在y轴右侧，C在D的上方）， 直线AD与BC相交于点Q. （1）设的两焦点为 1 F、 2 F，求 12 F AF的值； （2）若3b =，且 3 2 PDPC=，求点Q的横坐标； （3）是否存在这样的点P，使得点Q的纵坐标恒为 1 3 ？若存在，求出 点P的坐标，若不存在，请说明理由. 21. 已知数列 n x，若对任意 * nN，都有 2 1 2 nn n xx x + + + 成立，则称数列 n x为“差增数列”. （1）试判断数列 2 n an=（ * nN）是否为“差增数列”，并说明理由； （2）若数列 n a为“差增数列”，且 * n aN， 12 1aa=，对于给定的正整数m，当 k am=，项数k的 最大值为 20 时，求m的所有可能取值的集合； （3） 若数列lg n x为 “差增数列” ，（ * nN，2020n ） ， 且 122020 lglglg0 xxx+=， 证明：1010 1011 1xx. 参考答案参考答案 一一. 填空题填空题 1.5,72.13. 4 4.6 5.506.287.58. 1 28 9. 1 a q 【解析】设 12 llP=，结合图像可知lim n n PB =， 由 yx yqxa = =+ ，解得 1 a x q = ，(,) 11 aa P qq ，lim 1 n n a x q = 10. (1,)+ 【解析】由题意可知函数( )f x关于直线2x =对称，且在(,2上单调递增，2,)+上单调递减. 所以 1 ( 31)(12) x ff + +等价于， 1 318 x+ + 或 1 1321 x+ + ，解得1x . 11. 1 ,2 4 【解析】利用投影的想法，易知当AB与AC均为对角线时，最大值为2； 而对于最小值，过,B C分别作点A所在一条边的垂线，垂足分别为,M N， 则 () () ABAMANAM ANACMBNCMB NC+=+=+，显然0MB NC， 即 1 4 ABM ANACA （当A为中点，,B C一点为MN边上的顶点，另一点在另一侧的边上时取等） 12.2 21+ 【解析】由题意可知( ) |sin|cos | 4sin cosf xxxxxk=+是周期函数，为它的一个周期. 当 2 (0,x 时， 2 ( )sincos4sin cos2(sincos(sinco)s )2g xxxxxxxxx+=+=+， 配方得 22 117117 ( )2(sincos)2 2sin() 48448 g xxxx = += +， 不难知道( )g x在(0, 4 x 上递减，在, 4 2 上递增，且(0)()1 2 gg =. 当, ) 2 x 时， 2 117 ( )sincos4sin cos2 2sin() 448 g xxxxxx =， ( )g x在 3 , 24 上递增，在 3 , ) 4 上递减，且验算可得()( )1 2 gg =. 经过上面的讨论，不难作出( )g x在(0, )上的草图， 恰好有奇数个交点，则() 4 kg =或() 2 g 或( )g，计算得 3 ()()()2 21 424 ggg +=+. 二二. 选择题选择题 13. B14. C 15. D 【解析】极限法，考虑直线的倾斜角趋近于 0，则M趋于无穷远，N趋近原点，从而 1 趋于1， 2 趋于 0. 推断 12 1+= . 16. D 【解析】显然如果这两个方程的两根均为共轭，四个顶点可构成矩形或者等腰梯形，肯定是四点共圆的， 故只要 2 20 xmxm+=是虚根即可，那么(0,1)m 接下来根据选项，考虑1m = 的情形，画图可知是正确的，故选 D 三三. 解答题解答题 17.（1）10 3 3 ；（2）2 18.（1） 3 ( )3sin(2) 32 f xx =+， 1 2 =； （2） 3 A =，2c =或 4，面积为3 3或6 3. 19.（1）当050 x， 100000 ( )f x x =；当50100 x， 100000 ( ) 100 f x x = ； （2）50400 5nn+ 20.（1） 2 ； （2）设 11 (,)D x y， 22 (,)C xy，由 3 2 PDPC=可知 12 3 2 xx= 联立 122 2 22 22 2 122 2 125 0 3 212 (21)12160 163220 212 k xxx ykx k kxkx xy xxx k += = =+ + += += = + 故 2 22 612165 () 2521212 k k kk = + ，正值舍去，此时 2 2760320 xkx+=， 则 2 8 9 x =， 1 4 3 x =，那么 8 7 ( , ) 9 9 C， 41 ( ,) 33 D 所以:1 AD lyx= +，:21 BC lyx=， 2 3 Q x =； （3）先猜后证，不妨设 2 1 ( , ) 3 3 Q，那么结合（2）可知(0,3)P 只要求证在此情形下，点Q的纵坐标恒为 1 3 即可（其实有结论：Q在P的极线上） 21.（1）是； （2）由题干 2 1 2 nn n xx x + + + 可推出 121nnnn xxxx + ，于是 213243 aaaaaa，记 1kkk baa + =，则 n b是首项为0，各项为自然数的递增数列，那么等价于 123 1 k bbbbm+=的 max 19k= 所以123181 12319m+ +，故|,172