2020年深圳市高三一模理科数学试卷(含答案及解析)VIP

/ 2020年广东深圳高三一模理科数学试卷 一、选择题 （本大题共12题，每小题5分，共计60分。） 1. A.B.C.D. 已知集合，则（ ） 2. A.B.C.D. 设，则 的虚部为（ ） 3. A.B.C.D. 某工厂生产的个零件编号为，现利用如下随机数表从中抽取 个进行 检测若从表中第 行第 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第 个零件编号为（ ） 4. A.B.C.D. 记为等差数列的前项和，若，则为（ ） 5. A.B.C.D. 若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） 6. A.B.C.D. 已知，则（ ） / 7. A.B.C.D. 的展开式中的系数为（ ） 8. A.B. C.D. 函数的图像大致为（ ） 9. A.B.C.D. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表 面积为（ ） 10. A.B.C.D. 已知动点在以，为焦点的椭圆 ，动点在以为圆心，半径长为 的圆上，则的最大值为（ ） 11. A.B.C.D. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外 心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定 理设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则（ ） / 12. A.B.C.D. 已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个 数最多为（ ） 二、填空题 （本大题共4题，每小题5分，共计20分。） 13. 若， 满足约束条件，则的最小值为 14.设数列的前项和为，若，则 15.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全某马拉松赛事报名网站的登录验证码由 ， ， ， 中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验 证码”（如），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是 的概率 为 16.已知点 和点，若线段上的任意一点都满足：经 过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线：相切，则的 最大值为 三、解答题 （本大题共5题，每小题12分，共计60分。） 17. （ 1 ） （ 2 ） 已知的内角，的对边分别为 ， ， ，的面积为， 求 若，求 18.如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点，分别在棱 ，上，且， / （ 1 ） （ 2 ） 求证：平面 若，求二面角的正弦值 19. （ 1 ） （ 2 ） 已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，为中点，且 当时，求点的坐标 当时，求直线的方程 20. （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈 现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区名患者的相关信 息，得到如下表格： 潜伏期（单 位：天） 人数 求这名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超 过天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表请将列联表补充完 整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关 潜伏期天潜伏期天总计 岁以上（含岁） 岁以下 总计 以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患 者的潜伏期是否超过天相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜 伏期超过天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附： ，其中 21. （ 1 ） （ 2 ） 已知函数（其中常数，是自然对数的底数） 若，求函数的极值点个数 若函数在区间上不单调，证明： 四、选做题 （本大题共2题，每小题10分，选做1题。） 选修4-4：坐标系与参数方程 22. （ 1 ） （ 2 ） 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 求的直角坐标方程 直线与相交于，两个不同的点，点的极坐标为，若，求直线的普通方程 选修4-5：不等式选讲 23. （ 1 ） （ 2 ） 已知，为正数，且满足，证明： / 一、选择题 （本大题共12题，每小题5分，共计60分。） 1. A.B.C.D. 【答案】 【解析】 已知集合，则（ ） B 集合 ， 集合， 故选 2. A.B.C.D. 【答案】 【解析】 设，则 的虚部为（ ） B 的虚部为 、 故选 3. 2020年广东深圳高三一模理科数学试卷 答案及解析 / A.B.C.D. 【答案】 【解析】 某工厂生产的个零件编号为，现利用如下随机数表从中抽取 个进行 检测若从表中第 行第 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第 个零件编号为（ ） C 第一行，第 列开始 故选 4. A.B.C.D. 【答案】 【解析】 记为等差数列的前项和，若，则为（ ） A 为等差数列的前项和， ， 解方程组， 解得， ，（）， 故选 5. A.B.C.D. 若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） / 【答案】 【解析】 C 渐近线经过点， 带入，得， 则， ， ， ， ， 故选 6. A.B.C.D. 【答案】 【解析】 已知，则（ ） D ， 故选 7. A.B.C.D. 【答案】 【解析】 的展开式中的系数为（ ） B 得展开式通项公式为 令， 解得， 系数为 故选 / 8. A.B. C.D. 【答案】 【解析】 函数的图像大致为（ ） A 又， ， ， ， 项符合 故选 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表 面积为（ ） / A.B.C.D. 【答案】 【解析】 D 如图所示，四棱锥即三视图对应的直观图， 其中， 该四棱锥的外接球半径满足， ， 外接球表面积 故选 10. A.B.C.D. 【答案】 【解析】 已知动点在以，为焦点的椭圆 ，动点在以为圆心，半径长为 的圆上，则的最大值为（ ） B 的最大值即的最大值， 由绝对值三角不等式： 故选 / 11. A.B.C.D. 【答案】 【解析】 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外 心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定 理设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则（ ） D 如图，由欧拉线定理， ， ， ， 又重心， ， ， 12. A.B.C.D. 【答案】 【解析】 已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个 数最多为（ ） C 当时，即时，解得， 当时，即时， 令， 如图， / 易知，的图象有两个交点， 所以方程有两个实根， 又， 所以易知有， 所以此时存在一个实数满足题设， 综上所述，存在两个正实数满足题设， 故选 二、填空题 （本大题共4题，每小题5分，共计20分。） 13. 【答案】 【解析】 若， 满足约束条件，则的最小值为 实数， 满足， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域， 如图所示，所在区域为可行域， / 目标函数变形为， ，斜率为，随 变化的一组平行直线， 与直线经过可行域中点时，有最小值， 解方程组，解得的坐标为， 14. 【答案】 【解析】 设数列的前项和为，若，则 数列的前项和为， 当时， 得， ， 得， ， ，则， 故 15. 【答案】 【解析】 很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全某马拉松赛事报名网站的登录验证码由 ， ， ， 中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验 证码”（如），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是 的概率 为 先求事件总数，要想满足验证码递增， 只需将 个下划线加到这个数下，共种方法， 首位是 时，只需将 个下划线（与事件总数加的下划线不同色）加到这 个数 下，共种方法， 16. / 【答案】 方法一： 方法二： 【解析】 已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经 过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线：相切，则的 最大值为 不妨设两个切点为和， 点处的切线方程：， 整理得， 同理：处的切线为， 联立， 解得， 另一方面：，均正上，故也必在上， 从而：， 解之得 ， 要求的最大值， 只需考虑中即可， ， ， 故 由对称性不妨设，易知线段所在直线的方程为， 又， 点必定不在曲线上， 不妨设，且过点的直线 与曲线相切于点 ， 易知，即， 整理得， 显然，所以， 令， 如图， / 方法三： 直线和函数的图象有两个交点， 又，且， ，即， ， 的最大值为 故答案为： 由对称性不妨设，易知线段所在直线的方程为， 又， 点必定不在曲线上， 不妨设，且过点的直线 与曲线相切于点 ， 易知，即， 整理得， 由题意可知，令， 函数在区间上有两个零点， 则，解得， ， 的最大值为 故答案为： （） 三、解答题 （本大题共5题，每小题12分，共计60分。） 17. / （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 （ 1 ） 方法一： 方法二： （ 2 ） 【解析】 已知的内角，的对边分别为 ， ， ，的面积为， 求 若，求 ， ， 在中， 由余弦定理得， ， 又， ， 由于，则，那么， 所以 在中，由正弦定理得， ， ， 即， 又， ，得， ， ， 在中， 由正弦定理得 ， 又， ， ， / 方法三： 即， 又， ， 在中，由正弦定理得， ， 求同法一或法二 在中，由正弦定理得， 又由余弦定理，得， 解得或 所以 （余弦定理，得，解得或 因为当时，不满足（不满 足)，故舍去，所以） 18. （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 方法一：（ 1 ）【解析】 如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点，分别在棱 ，上，且， 求证：平面 若，求二面角的正弦值 证明见解析 在上取点，使得， / 方法二： 在直四棱柱中， ，且， 四边形为平行四边形， ， 取中点，连接， ，且 四边形为平行四边形， ， 又，且，故四边形为平行四边形， ， 又，故平面平面 又平面，故平面 如图，连接交于点，连接设的中点为，连 接 ，是在边，的中点， ， 又， / 方法三： 方法一：（ 2 ） 四边形是平行四边形，故， ， 平面， 平面 如图，设是上一点，且，连接； A1 设是的中点，连接 ， 四边形是平行四边形，故， 又平面， 平面， 同理可证，故， 平面， 又，平面，且， 平面平面， 又平面，所以平面 ，且，易证， ， ， 以为轴，为 轴，为 轴建立空间直角坐标， ， ， 设平面的法向量， 有即，令，则， 同理得平面的一个法向量， 设二面角为， / 方法二： 方法三： ，又，故， 设二面角为，二面角为，根据对称 性，二面角的大小与二面角大小相等， 故， 下面只需求二面角的大小即可 由余弦定理得， 故， 四棱柱为直棱柱， 底面， 又，平面， 平面， 平面， ， 所以二面角的大小为，即， 在中， ， 二面角的正弦值为 由余弦定理得， 故， 以为坐标原点，以，分别为， ， 轴建立如图所示的 空间直角坐标系 依题意有， ， ， ， 设平面的一个法向量为， / ， 令，则， ， 同理可得平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的大小为，正弦值为 ， 19. （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 （ 1 ） 方法一： 方法二： （ 2 ） 【解析】 已知以为焦点的抛物线过点，直线 与交于，两点， 为中点，且 当时，求点的坐标 当时，求直线 的方程 因为在上，代入方程可得， 所以的方程为，焦点为， 设，当时，由，可得 设， 由，可得，所以， 所以 的斜率存在且斜率， 可设 方程为，联立得， ，可得， 则， 所以， 解得，或（舍去）， 所以直线 的方程为 设 的方程为， 联立得， 则， ， 所以， 由，得，所以， / 所以 的方程为， 由可得， 由得 ， 所以， 解得，或（舍去）， 所以直线 的方程为 20. （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈 现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区名患者的相 关信息，得到如下表格： 潜伏期（单 位：天） 人数 求这名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） 该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超 过 天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表请将列 联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关 潜伏期天潜伏期天总计 岁以上（含 岁） 岁以下 总计 以这名患者的潜伏期超过 天的频率，代替该地区 名患者潜伏期超过 天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过 天相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了 名患者，其中潜伏期超过 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附： ，其中 没有的把握认为潜伏期与年龄有关 / （ 3 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【解析】 最可能为 人 天 根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期天潜伏期天总计 岁以上（含 岁） 岁以下 总计 则， 经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与年龄有 关 由题可知，该地区每 名患者潜伏期超过 天发生的概率为， 设调查的名患者中潜伏期超过 天的人数为， 则， ， ， ， 由得 ， 化简得，解得， 又，所以，即这名患者中潜伏期超过 天的人数最有可能是 人 21. （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 已知函数（其中常数，是自然对数的底数） 若，求函数的极值点个数 若函数在区间上不单调，证明： 当时，函数的极值点个数为 ；当时，函数的极值点 个数为 证明见解析 / 方法一： 方法二： 方法三： （ 1 ）【解析】 易知， 若，则，函数在上单调递增， 函数无极值点，即函数的极值点个数为 ； 若， 考虑函数， ， 函数有零点，且， ， 函数为单调递增函数， 函数有唯一零点， 存在唯一零点， 当时，易知，即函数在上单调递减， 当时，易知，即函数在上单调递增， 函数有极小值点，即函数的极值点个数为 ， 综上所述，当时，函数的极值点个数为 ；当时，函数 的极值点个数为 易知函数的图象与的图象有唯一交点 ， ，且， 当时，易知，即函数在上单调递减， 当时，易知，即函数在上单调递增， 函数有极小值点，即函数的极值点个数为 ， 综上所述，当时，函数的极值点个数为 ；当时，函数 的极值点个数为 对于，必存在， 使得即， ， ， ， 又， 函数有零点，不妨设其为， 显然为递增函数， 为函数的唯一零点， / 方法一：（ 2 ） 当时，易知，即函数在上单调递减， 当时，易知，即函数在上单调递增， 函数有极小值点，即函数的极值点个数为 ， 综上所述，当时，函数的极值点个数为 ；当时，函数 的极值点个数为 函数在区间，上不单调， 存在，为函数的极值点， 由可知，且，即 ， 两边取对数得，即， 欲证，不妨考虑证， 先证明一个熟知的不等式：， 令，则， ， 不难知道函数的极小值（即最小值）为， ，即， （思路 ：放缩思想） ，即， 又， ， ， 即， ， （思路 ：构造函数） 令， 则， 不难知道，函数有最小值， ， 当时， ， 即， / 方法二： 方法三： 令， 则， 函数为单调递减函数， 显然，且， ， 若 ，则， 即成立； 若，只需证， 不难证明， 只需证明， 令， 则， 当时， 显然函数在上单调递增，且， ，即函数为单调递增函数， 当时， 即， ， 即， 综上所述，必有成立 同（