6年级--2015年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛及答案

1 第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛 六年级第 1 试试题 2015 年 3 月 15 日上午 8:30 至 10:00 以下每题以下每题 6 分，共分，共 120 分分. 1.计算： 11111 2481632 _ 2.将 13 999 化成小数，小数部分第 2015 位上的数字是_ 3.若四位数27AB能被 13 整除，则两位数AB的最大值是_ 4.若一个分数的分子减少 20%，并且分母增加 28%，则新分数比原来的分数减少了_% 5.若 1 1 11111 20112012201320142015 aa ，则自然数 a =_ 初赛真题 2 6.定义：符号 x 表示 x 的小数部分，如 3.140.14 ， 0.50.5 那么， 2015315412 345 _ （结果用小数表示） 7.甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的 30%，乙、丙制作的件数之比是 3:4已知丙制作 了 20 件，则甲制作了_件 8.已知 9 x ， 15 y ， 14 z 都是最简真分数，并且它们的乘积是 6 1 ，则xyz=_ 9.如图一，有三只小老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分第二天，第一只老鼠最早来到，它发现花 生米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿着自己的一份走了第二只和第三只老鼠随 后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样的方法，都是吃掉一粒后，把花生米分成三份，拿走其中的 一份那么，这堆花生米至少有_粒 10. 如图 2，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作 4 1 圆，若图中的两个阴影 部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是_ 3 11. 六年级甲班的女生人数是男生人数的 10 9 倍，新年联欢会中， 2 5 的女生和 1 3 的男生参加了演出，则参加演 出的人数占全班人数的_ 12. 有 80 颗珠子，5 年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配， 又恰好分完已知姐姐比妹妹大 2 岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差_颗 13. 如图 3，分别以 B，C 为圆心的两个半圆的半径都是 1 厘米，则阴影部分的周长是_厘米 （取 3） 14. 一个 100 升的容器，盛满了纯酒精，倒出一部分后注满水；混合均匀后，倒出与第一次所倒出体积相等 的液体，再注满水，此时容器内水的体积是纯酒精体积的 3 倍，则第一次倒出的纯酒精是_升 15. 如图 4，甲，乙两个圆柱形容器的底面半径分别是 2 厘米和 3 厘米，已知甲容器装满水，乙容器是空的现 将甲容器中的水全部倒入乙容器，水面的高比甲容器高的 2 3 少 6 厘米，则甲容器的高是_厘米 4 16. 如图 5， 经典童话一书共有 382 页，则这本书的页码中数字 0 共有_个 17. 如图 6 所示的 7 个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米） ：1,2,3,4,5,6,7，则图中阴影部分的 面积是_平方米 （取 3） 18. 将一个棱长为 6 的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是 切割前大正方体的表面积的 2 倍，则切割成的小正方体的棱长是_ 19. 有长度分别是 1 厘米，2 厘米，3 厘米，4 厘米，5 厘米的小木棍各若干根，从中任取 3 根组成一个三角 形，则最多可以组成不同的三角形_个 20. 一条路上有上坡， 平路， 下坡三段， 各段路程之比是 1:2:3， 小羊经过各段路的速度之比是 3:4:5， 如图 7 已 知小羊经过三段路共用 1 小时 26 分钟，则小羊经过下坡路用了_小时 5 第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛 六年级第 1 试试题 2015 年 3 月 15 日上午 8:30 至 10:00 以下每题以下每题 6 分，共分，共 120 分分. 1.计算： 11111 2481632 _ 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 1 题 【考点】借来还去分数计算 【难度】 【答案】 31 32 【解析】原式 1111111 () 24816323232 111111 () 248161632 11111 () 248832 1111 () 24432 111 2232 1 1 32 31 32 2.将 13 999 化成小数，小数部分第 2015 位上的数字是_ 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 2 题 【考点】循环小数与分数计算 【难度】 【答案】1 【解析】 13 0.013 999 ，2015 36712，所以数字为 1. 3.若四位数27AB能被 13 整除，则两位数AB的最大值是_ 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 3 题 【考点】整除问题数论 【难度】 【答案】97 答案详解 6 【解析】13 271302007ABAB，2007135，所以0138AB ，135AB， 利 用数字谜或倒除法，可确定97AB 。数字谜方法如下：根据乘积的个位，可确定第二个因数的个位为 5，因 为构造最大值，所以十位为最大为 7，积为 975 13 5 13 5 65 5 13 75 65 91 975 4.若一个分数的分子减少 20%，并且分母增加 28%，则新分数比原来的分数减少了_% 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 4 题 【考点】分数应用题应用题 【难度】 【答案】37.5 【解析】 设原分数为 a b ， 则新分数为 120%5 128%8 aa bb ， 所以新分数为原分数的 5 8 ， 5 11 100%37.5% 8 5.若 1 1 11111 20112012201320142015 aa ，则自然数 a =_ 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 5 题 【考点】比较与估算计算 【难度】 【答案】402 【解析】设 11111 20112012201320142015 11 55 20152011 201112015 55 11 402403 5 x x x x 即： 1 402403402 5 a原式， 6.定义：符号 x 表示 x 的小数部分，如 3.140.14 ， 0.50.5 那么， 2015315412 345 _ （结果用小数表示） 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 6 题 7 【考点】高斯记号与循环小数计算 【难度】 【答案】1.816 【解析】 2015315412232 0.60.750.41.816 345345 7.甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的 30%，乙、丙制作的件数之比是 3:4已知丙制作 了 20 件，则甲制作了_件 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 7 题 【考点】比例应用题应用题 【难度】 【答案】15 【解析】甲制作了总数的30%，乙、丙制作的件数是总数的130%70%，乙、丙制作的件数之比是 3:4， 则乙做了30%，丙做了40%，则甲：乙：丙=3:3:4，甲制作了204315（件） 。 8.已知 9 x ， 15 y ， 14 z 都是最简真分数，并且它们的乘积是 6 1 ，则xyz=_ 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 8 题 【考点】因数与分解质因数数论 【难度】 【答案】21 【解析】 1 915146 xyz ，69 15 14xyz ，3 3 5 7xyz ， x 与 9 互质，x 不含因数 3； y 与 15 互质，y 不含因数 3,5； z 与 14 互质，z 不含因数 7； 并且 x，y，z 均不能为 1（否则，必有假分数出现） ，所以7y ，5x ，9z ，75921xyz 9.如图一，有三只小老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分第二天，第一只老鼠最早来到，它发现花 生米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿着自己的一份走了第二只和第三只老鼠随 后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样的方法，都是吃掉一粒后，把花生米分成三份，拿走其中的 一份那么，这堆花生米至少有_粒 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 9 题 【考点】分数应用题应用题，倒推 【难度】 8 【答案】25 【解析】设最后剩的两份为 2x，那么第三只老鼠所要处理的花生米总数为 3x+1，第二只老鼠所要处理的花生 米总数为 31 3 1 2 x ，第一只老鼠所要处理的花生米总数为 311 (3 1)3 1 22 x ，首先由于第三只老 鼠处理的花生米 3x+1 为第二只老鼠分配以后的两份，所以一定为偶数，即：x 为奇数，同理，3 1 3 1 2 x 也 为偶数，综上：对于 x 为奇数进行试数即可，最小 x=3，满足上述条件，此时这堆花生米总数为 311 (3 1)3 1 22 x =25（粒） 10. 如图 2，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作 4 1 圆，若图中的两个阴影 部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是_ 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 10 题 【考点】圆与扇形曲线形几何 【难度】 【答案】:2 【解析】因为 24 SS，两个 4 1 圆的面积 12231234 SSSSSSSS与长方形面积相等。 所以设长为a，宽为b， 2 1 2 4 bab，2ba，:2a b 11. 六年级甲班的女生人数是男生人数的 10 9 倍，新年联欢会中， 2 5 的女生和 1 3 的男生参加了演出，则参加演 出的人数占全班人数的_ 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 11 题 【考点】分数应用题应用题 【难度】 【答案】 7 19 9 【解析】 设女生人数为 10 份， 男生人数为 9 份， 则参加演出的人数为 21 1097 53 ， 占全班人数的 77 10919 12. 有 80 颗珠子，5 年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配， 又恰好分完已知姐姐比妹妹大 2 岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差_颗 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 12 题 【考点】因数问题数论 【难度】 【答案】4 【解析】设 5 年前妹妹的年龄为 x，那么 5 年前今年 妹妹 x 5x 姐姐2x7x 5 年前与今年分别按照年龄的比例分配，且恰好分完，所以22x 与212x 均为 80 的因数，且这两个因数的 差为 10，80 的因数有 1,2,4,5,8,10,16，20,40,80，所以只有 10 与 20 的差为 10，所以2210 x ，4x ， 5 年前按照4:6的比例分配，姐姐分到8046648（颗） ，今年按照 9:11 的比例分配，姐姐分到 809111144（颗） ，两次分配相差48444（颗） 。 13. 如图 3，分别以 B，C 为圆心的两个半圆的半径都是 1 厘米，则阴影部分的周长是_厘米 （取 3） 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 13 题 【考点】圆与扇形曲线形几何 【难度】 【答案】3 【解析】BE,BC,CE 均为圆的半径，所以BCE等边三角形，每个角均为 60 度，所以阴影部分的两段圆弧均 为 60 度的扇形所对应的圆弧，所以周长为 60 21 360 d 1 3 2213 6 （厘米） 10 14. 一个 100 升的容器，盛满了纯酒精，倒出一部分后注满水；混合均匀后，倒出与第一次所倒出体积相等 的液体，再注满水，此时容器内水的体积是纯酒精体积的 3 倍，则第一次倒出的纯酒精是_升 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 14 题 【考点】浓度问题应用题 【难度】 【答案】50 【解析】设第一次到出酒精 x 升，所剩酒精为100 x升，此时容器的空间为 x 升，则第一次倒入水时，纯 酒精的体积占整个溶液的 100 100 x ，再倒出 x 升酒精溶液，此时所剩余纯酒精体积为 (100) 100 100 x x 升，又 最终水的体积为纯酒精体积的 3 倍，一共有 100 升，所以纯酒精的体积为 1 10025 4 升，所以 2 1002500 x，50 x 15. 如图 4，甲，乙两个圆柱形容器的底面半径分别是 2 厘米和 3 厘米，已知甲容器装满水，乙容器是空的现 将甲容器中的水全部倒入乙容器，水面的高比甲容器高的 2 3 少 6 厘米，则甲容器的高是_厘米 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 15 题 【考点】圆柱立体几何 【难度】 【答案】27 【解析】设甲容器高为 h，根据水的总量相等，得到 22 2 236 3 hh ，解得27h 16. 如图 5， 经典童话一书共有 382 页，则这本书的页码中数字 0 共有_个 11 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 16 题 【考点】页码问题应用题 【难度】 【答案】68 【解析】1 382中，个位每 10 个数中出现一个 0，38210382，每 10 个数中最后一个数个位为 0， 所以个位中共有 38 个 0，1 99中十位上没有 0，十位有 0 的有，100 109，200 209，300 309，共 30 个，所以共383068（个） 17. 如图 6 所示的 7 个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米） ：1,2,3,4,5,6,7，则图中阴影部分的 面积是_平方米 （取 3） 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 17 题 【考点】圆曲线形几何 【难度】 【答案】0.84 【解析】阴影面积为 2222222 1325476 1325476 28 84（平方分米） 0.84（平方米） 18. 将一个棱长为 6 的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是 切割前大正方体的表面积的 2 倍，则切割成的小正方体的棱长是_ 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 18 题 【考点】表面积问题立体几何 【难度】 【答案】3 【解析