AP Calculus AB BC考点总结

学术葩学术葩 周麟周麟 AP 微积分微积分 BC（包含（包含 AB）考点梳理）考点梳理 嗨，少年/少女，无论你是自学的，还是在哪里学的，学完 AP 微积分 AB 或者 BC，在你“婶婶”的脑海里应该有的知识框架是： 函数的极限是什么概念，基本的计算方法和逻辑是怎样的；函数的极限是什么概念，基本的计算方法和逻辑是怎样的； 什么什么叫叫函数的连续函数的连续，闭区间连续的函数有什么性质，闭区间连续的函数有什么性质； 导数是什么，导数是什么，有哪些常见有哪些常见的的计算方法，有哪些计算方法，有哪些基本基本应用应用； 积分里的定积分和不定积分各自是什么，怎么计算，有什么应积分里的定积分和不定积分各自是什么，怎么计算，有什么应 用；用； 无穷级数是什么鬼，什么叫做无穷级数的收敛无穷级数是什么鬼，什么叫做无穷级数的收敛/发散发散，常见的无，常见的无 穷级数有哪些，常见判断无穷级数是否收敛的方法有哪些；穷级数有哪些，常见判断无穷级数是否收敛的方法有哪些；幂幂 级数是什么鬼，什么是它的收敛域（半径）级数是什么鬼，什么是它的收敛域（半径） ；泰勒级数泰勒级数/泰勒多项泰勒多项 式是啥，式是啥，用泰勒多项式用泰勒多项式进行估算时，误差边界怎么算。进行估算时，误差边界怎么算。 具体要求内容如下： 1. 极限（极限（Limits） 1) 极限极限定义定义的理解的理解 极限的逻辑，左右极限左右极限的概念以及此基础上的极限存在原则极限存在原则；还需 要会从图像上图像上判断判断极限。 2) 基本计算基本计算 一些基本函数的极限结论要熟悉， 如 = ! 在 分别趋向于正无穷、 负无穷时的极限， = sin 在 趋向于无穷大时的极限，等等； 学术葩学术葩 周麟周麟 基本的加减乘除原则； 有理函数类型（自变量趋向于无穷时，直接看最高项次方的关系，包 括 ! ! ! 这种类似形式的） ； 两个极限小公式（一个是 / ，一个是结果记为 e 的那个） ； 洛洛比达法则比达法则（L Hopitals Rule）AB 暂时暂时不考不考BC 考极限喜 欢考它。 3) 求函数渐近线求函数渐近线 水平的水平的和和竖直的竖直的各自用极限是怎么定义计算的， 基础还是极限计算。 不要死背公式，回到逻辑上去看。 2. 连续（连续（Continuity） 1) 连续的连续的定义定义 包括在一点一点的的连续和在一个区间的一个区间的连续连续的定义，以及如何根据定义 去判断判断函数在一点是否连续（包括代数计算代数计算和根据图像图像的的判断） 。 2) 闭区间连续函数的性质定理闭区间连续函数的性质定理 最值定理（最值定理（Extreme Value Theorem） 介值定理（介值定理（Intermediate Value Theorem） 零点定理（零点定理（Zero Point Theorem） 记住这三个定理的内容， 理解其逻辑， 并会联系联系 Mean Value Theorem。 学术葩学术葩 周麟周麟 3. 导数（导数（Derivative） 1) 在一点的导数在一点的导数的理解的理解 导数的定义定义式式子要记得（y/x 求极限的形式） ； 会用 y/x（difference quotient）估算估算区间中间某点的导数， 并知道 什么是 average rate of change； 知道在一点的导数的导数的意义意义（物理意义和几何意义） ； 图像上看常见的不可导的点（尤其是辣个“尖点”“尖点” ） ； 在一点可导可导同同在一点连续连续的关系的关系。 2) 导函数导函数（Derivative Function） 对导函数导函数定义定义的理解以及对应的定义式要认识； 基本基本初等函数的导数结果结果应该非常非常熟悉； 知晓微分（微分（differential）的概念，区别于导数； 基本计算方法： 乘除原则乘除原则（product rule and quotient rule） ； 链式法则（链式法则（chain rule）绝对会考你，不仅要会算有具体函数式 子的，还要会针对抽象函数使用链式法则； 反函数（反函数（inverse function）的导数一个倒数关系，一个自变量与 函数值的相反关系； 隐函数（隐函数（implicit function）的导数计算本质上还是一个链式法 则的使用； 对数求导数技巧（对数求导数技巧（logarithmic differentiation）两边取对数两边取对数让计 学术葩学术葩 周麟周麟 算的不方便变得方便； 参数函数求导 （参数函数求导 （parametric functions） AB 不考不考公式要记好， 不要搞反了，写成了 对参变量求导再除以 对参变量求导； 极坐标函数（极坐标函数（polar functions）AB 不考不考连续考了两年极坐 标的大题了。应该把握好极坐标的定义定义，与直角坐标与直角坐标之间的关系， 极坐标曲线在某点的切线切线斜率（这个比较可能出现在选择题里） ，还 包括积分部分的求极坐标曲线围成区域的面积极坐标曲线围成区域的面积； 向量函数求导（向量函数求导（vector functions）AB 不考不考在 AP 里主要是 应用到曲线运动的问题中。 高阶导数（高阶导数（higher order derivatives）记录方式起码要熟悉，涉 及到隐函数的高阶导数时，不要出错。 3) 导数的应用导数的应用 求切线切线（tangent line）或法线（或法线（normal line）建立在求导计算 的基础上，还要能熟练写出直线的点斜式形式的方程； 切线估算切线估算（linear approximation）知道线性估算的逻辑，知道 如何判断估大还是估小； 变化速度以及相关变化速度（变化速度以及相关变化速度（rates of change and related rates） 单独的变化速度问题，考的就是求导（很多时候是链式法则） ；相 关变化速度问题的套路一般是建立模型等式， 然后两边同时对时间求 导； 学术葩学术葩 周麟周麟 微分中值定理（微分中值定理（Mean Value Theorem）准确记好条件及结论， 以及能理解结论的意思； ， !， ! 互相之间互相之间熟练彼此之间的关系， 关于增减增减， 关于凹凸凹凸，关于拐点拐点（inflection points） 。一定是重点。 Maxima and minima： Relative (local)求解的套路要熟练，包括知道 critical points 的概 念，面对函数式子怎么求解，面对隐函数类型的导数结果怎么判断， 面对导数图像怎么判断根本的东西还是判断方法的逻辑和结论； Absolute (global)闭区间时不要忘记比较端点。 此外， 还需要清楚， 面对的是函数的导数时，怎么去求函数在一个闭区间里的 absolute maxima/minima； Motion： 直线运动直线运动position，velocity，speed，acceleration 的概念以及彼 此间的联系要清楚，velocity 和 speed 各自怎么判断增减，以及联系 积分求 distance 和 displacement； 曲线运动曲线运动AB 不考不考position，velocity，speed，acceleration 的概念以及彼此间的联系要清楚，运动轨迹在某点的切线轨迹在某点的切线怎么求怎么求， 一段时间内走过的 distance 在曲线运动中又怎么计算； 学术葩学术葩 周麟周麟 4. 积分（积分（Integral） 1) Indefinite integral 清楚 antiderivative 的概念以及主要计算方法： 基本基本的不定积分结果结果要熟悉，其实还是对导数结论的熟练； 换元积分法（换元积分法（Substitution of variables）熟悉微分的表达方式， 敏感要替换的变量的选择，熟练基本逻辑、套路； 分部积分法 （分部积分法 （by parts） AB 不考不考熟悉分部法的套路、 公式， 以及各自角色的选择； 简单简单分式函数的积分（分式函数的积分（simple partial fractions）AB 不考不考套 路非常刻板，不要偷懒，踏实地计算准确。 微 分 方 程 （微 分 方 程 （ differential equations） 只考查变量可分离的 （separable）微分方程，一定要熟悉套路，且清楚对数（log）与指 数（exponents）的转换； 指数增长（指数增长（exponential growth）认识其样子，记住结果； 逻辑斯蒂微分方程（逻辑斯蒂微分方程（logistic differential equations）AB 不考不考 认识其微分方程，懂得其逻辑，记住对应结论； 斜率场（斜率场（slop fields）知道是个什么鬼，并会判断微分方程和对 应斜率场； 欧拉方法（Eulers method）AB 不考不考套路要记好，注意从右 向左估算时，步长（step size）为负的。 2) Definite Integral 学术葩学术葩 周麟周麟 定义定义知道定义，并能将对应样子的式子写成积分式； 图像图像会根据函数图像计算定积分，并注意上下限的大小注意上下限的大小； 估算估算运用黎曼和黎曼和 （Riemann sum） 以及梯形和 （trapezoidal sum） 估算定积分； 计算性质计算性质计算定积分时能熟练运用其计算性质； 微积分微积分基础定理基础定理（Fundamental Theorems of Calculus） 第一基础定理第一基础定理不仅要记住结论， 一见到变限积分函数变限积分函数形式就想 到它的导数，还要会联系链式法则联系链式法则； 第二基础定理（牛顿第二基础定理（牛顿-莱布尼茨公式）莱布尼茨公式）使用前提，结论，换元 法和分部法（AB 不需要）在定积分中怎么直接使用，以及结合几何 意义的计算； 反常积分（反常积分（improper integral）AB 不考不考认识什么是反常积 分，计算规则的正确使用，反常积分收敛收敛（convergent） 、发散、发散 （divergent）的定义； 3) 定积分定积分的的应用应用 通过变化速度通过变化速度求变化量求变化量想想最基本的例子和逻辑（上过课的同 学想想某位男神老师使用肥皂的例子） ，一定会考你的； 求平均值平均值（average value）记住怎么计算，同时，不要混乱于 平均变化速度（average rate of change） ； 由导数求函数值由导数求函数值分别面对导数的式子以及导数的图像两种情况， 学术葩学术葩 周麟周麟 有时是具体背景中，有时是单纯的计算； 面积面积直角坐标直角坐标和和极坐标极坐标两种形式两种形式都要熟练（AB 只要求直角坐 标） ，并清楚各自公式的逻辑； 体积体积旋转旋转体体积以及横截面垂直于坐标轴横截面垂直于坐标轴类型的都要会； 曲线长度曲线长度AB 不考不考公式不要记错，清楚 = ()和参数方和参数方 程程两种形式。 5. 无穷级数（无穷级数（Infinite Series）AB 不考不考 1) 级数级数的收敛的收敛 数列数列与与级数（级数（Sequence and Series）知道各自是个什么东西， 且知道数列收敛的概念； 级数收敛收敛和发散和发散（convergent or divergent）的概念知道部分和 （partial sum）的概念以及级数收敛的定义，知道级数收敛的数收敛的必要必要 条件条件（级数收敛，term 一定趋近于 0）及其逆否命题形式（term 不 趋近于 0，级数一定发散） ； 常见级数常见级数熟悉四种常见级数四种常见级数及各自收敛或发散的结论， 其中交交 错级数（错级数（alternating series）收敛的判断方法，以及它的收敛结论和 误差边界（error bound）要熟悉逻辑和结论； 常见判断方法三种判断方法三种判断方法的使用前提、 逻辑、 结论都要熟悉； 绝对收敛的概念不直接考试，但是要掌握； 2) 幂级数（幂级数（power series） 学术葩学术葩 周麟周麟 知道什么叫以 为中心的幂级数（a power series about = ） ，并能 熟练使用 ratio test 求解其收敛域（interval of convergence）和收敛半 径（radius of convergence） 。 3) 泰勒级数（泰勒级数（Taylor series） 函数所展开的以以 为中心的泰勒级数为中心的泰勒级数的的公式公式要记好； 麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin series）清楚它是什么鬼，以及熟练那四 个函数的麦克劳林级数展开结果； 写函数的泰勒级数直接直接套公式写抽象函数的， 以及通过已知函数 的