f_x_与_f_x_的可导性_可积性关系

第 28卷 第 6期 佳 木 斯 大 学 学 报( 自 然 科 学 版) Vo. l 28No . 6 2010 年 11 月 Journal of JiamusiUniversity (Natural Science Edition) Nov. 2010 文章编号: 1008- 1402( 2010) 06- 0955- 02 f( x)与 | f ( x) | 的可导性、 可积性关系 冯再勇, 张 黎 (南京铁道职业技术学院苏州校区基础部, 江苏 苏州 215137) 摘 要: 讨论了函数 f(x )与 | f (x) | 之间的可导性、 可积性关系, 证明了二者间可导性、 可积性 的几个充要条件, 并且给出了典型实例. 关键词: f(x) 与 | f (x) | ; 可导性; 可积性 中图分类号: O172 文献标识码: A 0 引 言 只需具备极限的基础知识, 就不难明确函数 f (x) 与 | f (x) | 的连续性关系. 但要理清 f (x) 与 | f (x) | 二者之间的可导性、 可积性关系却并不简 单. 本文以基本的分析理论为工具, 对 f (x) 与 | f (x) | 之间的可导性、 可积性关系, 进行了分析和 研究, 并且给出了相应的例子. 1 导性关系 定 理 1 若连续函数 f (x ) 在点 x0处有 f (x0) X 0 , 则 f (x) 在点 x0处可导的充要条件是 | f(x) | 在点 x0处可导. 证 明: 令 | f (x ) | = g(x), f (x0) X 0, 先假 设 f (x0) 0 . 由于 f (x ) 在点 x0处连续, 故取 0 E 0 , Px IU(x0, D ), 有: f(x) 0 , 存在 a, b 的分划 T, 使 得振幅 X g i E 2 的小区间长度之和小于 G , 即 E Xg i E 2 $xi E 2 (1) 若 Px I $i| X f i E, 有 f (x) 0 , 则 f (x) S - | f (x) | = - g(x ). 令函数 g(x) = | f (x) | 在 $i= xi- 1, xi 上的 上、下确 界分别 记为:M g i=sup xI $i g(x) , m g i= inf xI $ig(x ) , 则振幅 X g i= sup xI $i g(x ) - inf xI $ig(x ) = M g i- m g i; 而函数 f(x) 在 $i= xi- 1, xi 上的上、 下确界 分别记为: M f i= sup xI $i f(x) , m f i= inf xI $if (x ) , 则振 幅 X f i= sup xI $if (x ) - infxI $if (x) = M f i- m f i; 由 f(x ) = - g(x), 结合集合确界的性质可得: M f i= sup xI $i f (x) = - inf xI $ig(x) = - m g i, m f i=inf xI $if (x ) = - supxI $i g(x) = - M g i; 从而有, X f i= M f i- m f i= (- m g i) - (- M g i) = M g i- m g i= X g i, 所以同样有: X g i= X f i E E 2 ( 2) 若函数 f(x )在 $i= xi-1, xi (X f i E) 上 变号. 此时M f i 0 m f i, X f i= M f i- m f i= M f i+ (- m f i) E , 必然有: max(M f i, - m f i) E 2. 另外, f(x) 在 $ i = xi- 1, xi 上变号, 而 f (x) 具有介值性, 所以 v F I$i, 满足 f (F ) = g( F ) = 0 . 显然, g(x )= | f (x)| 在 $i上 的 M g i= m ax(M f i, - m f i), 而 m g i= g(F ) = 0 , 从而 X g i= M g i, 亦有: X g i= M g i= max(M f i, - m f i) E 2 ( 3) 综合 、 、 , 可知, P $i只要 X f i E , 都有 X g i E 2, 于是: E XfiE$x i E Xgi E 2 $xi G . 即, 对于函数 f(x), 分划 T 同样能保证振幅不 小于 E的小区间长度之和小于 G , 根据第二充要条 件可得: f (x) IR a, b. 证毕! 我们知道, 如果函数 f (x) 在 a, b 上处处可 导, 那么其导函数的一个重要特性就是介值性 3, 因此, 作为定理 4的一个特例, 如果导函数满足 | fc(x ) |I R a, b 则有 fc(x) I R a, b 4. 另外, 定 理 4也只是充分条件, 例如定义在区间上的阶梯函 数 1 并不满足介值性, 但是由于其本身和其绝对 值都是简单函数, 因此它们都是可积的. 参考文献: 1 许绍溥, 姜东平, 宋国柱, 等. 数学分析教程 (上 ) M . 第一 版. 南京: 南京大学出版社, 1990, 347 、 340. 2 复旦大学 陈传璋, 金福临, 等. 数学分析 M . 第二版. 北 京:高等教育出版社, 1983, 276 . 3 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法 M . 第一版. 北 京:高等教育出版社, 1993, 160 . 4 谢惠民, 恽自求. 数学分析习题课讲义 M . 第一版. 北京: 高等教育出版社, 2003, 332 . On the Relationships ofDerivability and Integrability bet weenf(x) and | f( x) | FENG Zai- yong, Z HANG Li (Foundational Depart m ent , Suzhou campus , Nanjing Institute ofRail way Technology ,Suzhou 215137, Ch ina) Abstract : The relationships of derivability and integrability between functionf (x) and | f(x ) | were dis - cussed in thispaper and some necessary and suffic