圆的标准方程（上课用）

2.3.1圆的标准方程,一圆的标准方程,平面内到一个定点的距离等于定长的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径。,求以C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程.,设M(x，y)是C上任意一点，点C在C上的条件是|CM|=r.,也就是说，如果点M在C上，则|CM|=r,反之如果|CM|=r，则点M在圆C上。,由两点间的距离公式，所说的条件转化为方程表示,两边平方得,(xa)2+(yb)2=r2.,注意以下三点：,1已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2.2当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r2.3圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径.,二点与圆的位置关系,给出点M1(x1，y1)和圆C：(xa)2+(yb)2=r2，通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系，得到：,（1）若点M1在圆C上，则有(x1a)2+(y1b)2=r2；（2）若点M1在圆C外，则有(x1a)2+(y1b)2r2；（3）若点M1在圆C内，则有(x1a)2+(y1b)2r2.,三确定圆的方程的方法和步骤,1圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件；才能定出一个圆的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程。,2求圆的标准方程的一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2；,（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解此方程组，求出a、b、r的值；（4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.,例1根据下列条件，求圆的方程：（1）圆心在点C(2，1)，并过点A(2，2)；（2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x4y6=0相切；（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为.,解：（1）所求圆的半径r=|CA|=5，因为圆心在点C(2，1)，所以所求圆的方程为(x+2)2+(y1)2=25.,（2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x4y6=0相切；,解：（2）因为直线3x4y6=0是所求圆的切线，所以圆心到这条直线的距离等于半径，,根据点到直线的距离公式，得,所以所求圆的方程是(x1)2+(y3)2=9.,（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为.,解：（3）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方程为(xa)2+(yb)2=5.,已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的方程得,解得,或,因此所求圆的方程为(x1)2+(y+1)2=5或(x1)2+(y3)2=5。,例2求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x7y+8=0上的圆的方程。,解法1.直线AB的斜率k=1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1，,AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=，y=.,因此直线m的方程为y=x，即xy1=0.,又圆心在直线l上，所以圆心是直线l与直线m的交点，解联立方程组,得,所以圆心的坐标是C(3，2)，半径r=|CA|=，,所以圆的方程是(x3)2+(y2)2=13.,解法2.设所求的圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2，由题意得,解得,所以圆的方程是(x3)2+(y2)2=13.,例3赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。,解：如图，以AB的中点为原点，x轴通过AB建立直角坐标系。,根据已知条件，B，C的坐标分别为(18.51，0)，(0，7.2)，设圆心的坐标为(0，b)，则圆的方程为x2+(yb)2=r2，,因为B，C都在圆上，所以它们的坐标满足这个方程，于是得到方程组,解得,因此拱圆方程为x2+(y+20.19)2=750.21.,例4已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9)和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?,解：由已知得圆心坐标为C(5，6)，半径r的平方为r2=10,所以圆的方程为(x5)2+(y6)2=10，,将M，N点的坐标代入方程得,(65)2+(96)2=10，(55)2+(36)210,所以点M在圆上，点N在圆内.,练习题：,1圆(x1)2+(y+1)2=2的周长是（）（A）（B）2（C）2（D）4,C,2圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（）（A）x2+y2=25（B）x2+y2=5（C）(x3)2+(y4)2=25，（D）(x+3)2+(y+4)2=25，,C,3已知圆心在P(2，3)并且与y轴相切，则该圆的方程是（）（A）(x2)2+(y+3)2=4（B）(x+2)2+(y3)2=4（C）(x2)2+(y+3)2=9（D）(x+2)2+(y3)2=9,B,4过点A(1，1)，B(5，6)且圆心在直线x+y2=0上的圆的方程为（）（A）(x3)2+(y+1)2=4（B）(x+3)2+(y1)2=4（C）(x1)2+(y1)2=4（D）(x+1)2+(y+1)2=4,C,5以(A(