高等数学A（一）复习资料及PPT上海大学出版社

第四章不定积分,1.不定积分的概念与性质,已知物体运动的位置函数s=s(t)，求时刻t的瞬时速度v=s(t)。微分学解决的问题,已知物体运动的速度函数v=v(t)求运动的位置函数s=s(t)。积分学解决的问题,一般，已知函数f(x),要找另一个函数F(x),使F(x)=f(x)。积分学的任务,一、原函数与不定积分的概念,定义1：,已知f(x)是一个定义在区间I上的函数，,则称F(x)为f(x)在I上的原函数。,如：,x2是2x的原函数;,dsinx=cosxdx,sinx是cosx的原函数;,s(t)是v(t)的原函数。,如果存在函数F(x),使在I内的任一点都有,有关原函数的几个问题,1.,在什么条件下,f(x)一定存在原函数？,原函数存在定理：,若f(x)在区间I上连续，,则在I上必存在原函数。,2.,如果f(x)有原函数，那么共有几个？,设F(x)为f(x)的原函数，则,如果有多个，则它们之间有何关系？,f(x)如有原函数，就有无穷多个。,F(x)+C包含了f(x)的所有原函数。,3.,如果f(x)有一个原函数F(x),那么F(x)+C是否包含了f(x)的,所有原函数？,定义2：,函数f(x)的全体原函数就称为,f(x)的不定积分。记作,其中,积分号,f(x),被积函数,f(x)dx,被积表达式,x,积分变量,例：,若F(x)为f(x)的一个原函数，则,不定积分的几何意义:,f(x)的一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线，,方程为y=F(x).,就表示了一族积分曲线y=F(x)+C.,它们相互平行，即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。,x,积分号与微分号的作用相互抵消。,由不定积分的定义，,则有,又,或,积分号与微分号的作用抵消后加任意常数C。,例：,求通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率均为6x的一条曲线。,解：,设所求曲线方程为y=f(x).,由题意，曲线上点(x,y)的切线斜率,为一簇积分曲线。,二、基本积分表,注意：,依基本导数公式与不定积分的定义，,既可得基本积分公式（15个）：,请同学们参见教材第238页。,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,三、不定积分的性质,性质2.,被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。,利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点：,1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为一个常数。,2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数是否等于被积函数即可。,3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代，公式仍正确。,技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。,例题讨论,求下列不定积分：,例1.,例2.,例3.,例4.,掌握被积函数的恒等变形。,例5.,同理，,例6.,例7.,例8.,例9.,(假分式,=多项式+真分式),从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。,所以注重积分过程的正确是至关重要的。,即每一步运算都要看能否还原到上一步。,课外作业,习41（A）,1(2，6)，2，5,习41（B）,1(1，3，4，5，10)，4,一、第一类换元法,(凑微分法),1.,凑常数,例1：,2,(2x=u),2.换元积分法,例2：,例3：,(+1),(x+1=u),例4：,/a,a,-1,同理：,例5：,同理：,例6：,2.,凑函数（变量）,定理1.,设F(u)是f(u)的一个原函数，且,原函数，且有换元公式：,u=(x)可导,证明：,换元公式：,(x)=u,前例：,(u=sinx),例1：,例2：,题目做得熟练后，中间变量u可以不写出来。,例3：,同理：,例4：,(secx+tanx),(secx+tanx),同理：,例5：,或,例6：,2,例7：,例8：,例9：,一般：,例10：,例11：,一般：,例12：,例13：,课外作业,习42（A）,3（4，6，7，9，11），4（3，4，5，9，12）,习42（B）,1（双），2（1，3，5，7，8，10）,二、第二类换元法,(变量代换法),定理2.,设x=(t)是单调的可导函数，,换元公式：,令x=(t)，,1.三角代换,例1：,分析：,目的：消去根式。,利用三角恒等式：,若令x=asint,被积函数,例1：,解：,令x=asint,dx=acostdt,t,x,a,例2：,分析：,若令x=atant,解：,令x=atant,dx=asec2tdt.,t,x,a,也可令x=asht(t0),解：,令x=asht，,dx=achtdt,例3：,分析：,若令x=asect,解：,令x=asect,dx=asecttantdt,t,x,a,或令x=acht(t0),如：,小结：,当被积函数含有因子：,目的：去根号。,例题讨论,例1：,解：,t,x,例2：,解：,令x=tant,dx=sec2tdt.,x,1,t,2.根式代换,例1：,分析：,目的：化分数幂为整数幂。(去根号),解：,-1+1,回代,例2：,解：,例3：,令x=sect,dx=asecttantdt,解二：,解一：,3.倒代换,对形如：,前例3：,例4：,解二：,解一：,熟记！,教材第251页积分公式：(16)(24),补积分公式：,基本积分表