毕奥_萨伐尔定律的推导

第 28 卷 第 1期 2006 年 3 月 ? ? ? ? ? ? ? 湘潭师范学院学报( 自然科学版) Journal of Xiangtan Normal University( Natural Science Edition) ? ? ? ? ? Vol. 28 No.1 Mar. 2006 毕奥- 萨伐尔定律的推导 ? 付林兴, 邓志武 ( 湖南冶金职业技术学院, 湖南 株洲 412000) 摘? 要: 应用相对论的洛仑兹变换, 从静电场的库仑定律导出磁场的毕奥- 萨伐尔定律, 从而说明磁场力是电场力的 相对论效应。 关键词: 库仑定律; 毕奥- 萨伐尔定律; 电磁场; 洛仑兹变换; 相对论效应 中图分类号: O44? ? ? 文献标识码: A? ? ? 文章编号: 1671- 0231( 2006)01- 0028- 02 1785 年法国物理学家库仑(A. de Coulomb) 从扭秤实验结果总结出点电荷之间相互作用的静电力所服 从的规律 ? 库仑定律。 F12= k q1q2 r 3 12 r12 这是静电场理论的基础, 它与叠加原理相配合, 原则上可以求解静电学的全部问题。 电流元激发的磁场的规律是法国物理学家毕奥- 萨伐尔( Biot - Savart) 研究和分析很多实验的资料 后总结出来的电流产生磁场的基本规律 ? 毕奥- 萨伐尔定律 d B = ?0 4? Id l r3 r 毕奥- 萨伐尔定律由于实验上无法得到电荷能在其中作恒定运动的电流元, 因而不能直接由实验验 证, 但当把它应用到各种电流分布时, 计算得到的总磁感应强度和实验测得的结果相符, 因而间接证明了 其正确性。 这两条定律分别是在不同年代从实验总结出来, 分别反映出静电场和稳恒磁场的基本规律。 定律形式 相似, 均遵从与距离成平方反比律。 静电场是静止电荷激发的场, 磁场是运动电荷激发的场, 而运动和静止 是相对概念。 在一个惯性系中观察到物体是静止的, 而对另一个惯性系来说则是运动的。 所以在不同惯性 系中, 观察到描写场状态的物理量应不相同。 静止的参照系中观察到电荷激发的是电场, 而在运动的参照 系中观察到的就是电磁场, 这正是电磁场的统一性。 所以毕奥- 萨伐尔定律应能运用相对论的洛仑兹变 换从库仑定律导出。 1 ?运动电荷的电磁场 选取两个相对运动的惯性系 S、 S!。 设有一点电荷 q 静止在惯性系S!的原点O 处, S! 相对于S 系以速 度 沿x 轴方向运动, 如图 1 所示。 图 1? S 和S! 系的时空变换关系图 2?运动电荷的电磁场 28 ?收稿日期:2005- 11- 12 基金项目:湖南省普通高等教育教学改革研究项目( 湘教通2005 280) 作者简介:付林兴( 1956- ) , 男, 湖南长沙人, 讲师, 研究方向: 高等物理教学。 ? ? S! 内观察者认为: 空间只有静电场, t 时刻 S! 内空间任一点p 处的电磁场 E!= q 4?!0r!3 r!? ?B!= 0 S 内观察者认为点电荷q 以速度 沿x 轴方向运动, 除观察到它产生的电场外还观察到它产生的磁场。 运用相对论的洛仑兹变换关系, 可得到 S 系中、 E、 B 与S!系中E!、 B!之间的变换关系为: Ex= E!x? ? ? ?Bx= B!x Ey= ( E!y+ B!z)By= (- c2 E!z+ E!y) Ez= ( E!z- B!y)Bz= ( c2 E!y+ E!z) S 系中观察者在t 时刻观察到P(x, y, z) 处的电磁场为: Ex= qx! 4?!0r!3 Ey= qy! 4?!0r!3 Ez= qz! 4?!0r!3 ? Bx= 0 By= - c2 qz! 4?!0r!3 Bz= - c2 qy! 4?!0r!3 注意到 r! = ( x!2+ y!2+ z!2) 1/2 = 2( x - t)2+ y2+ z21/2 则 ? Ex= q ( x - t) 4?!0 2( x - t)2+ y2+ z23/2 Ey= qy 4?!0 2( x - t)2+ y2+ z23/2 Ez= qz 4?!0 2(x - t )2 + y2+ z2 3/ 2 ? Bx= 0 By= - c2 Ez Bz= - c2 Ey 由此可见, S 系中观察到的以速度 运动的电荷q 产生的场为两部分: 第一部分为与电荷 q 的速度无关的电场 E = Exi + Eyj + Ezk 它与静电场是有差别的。 没有中心对称性, 描述场的电力线密集于电荷运动的垂直方向, 且密集程度 与电荷 q 运动速度密切相关。 第二部分为与电荷 q 运动速度 有关的磁场B = 1 c2 E, 当电荷低速运动时, B = q 4?!0c2r3 r, 它垂直于 与r 组成的平面, 磁力线是以运动电荷轨迹为轴的一组同心圆。 2 ?电流元的磁场 通电导线中电子的流动可认为是连续的, 电子流动产生电场和磁场, 其电场部分为晶格正电荷产生的 静电场几乎抵消, 余量也是一个高阶小量, 可略去。 剩下的就是宏观上用实验仪器能探测到的磁场部分, 这 正是毕奥- 萨伐尔定律表明的稳恒磁场。 设单位时间内通过导线截面 S 的电量为I = dq dt , 导线内电荷体密度为 # , 则电流元 Id l dq = # dv = # sdl ? ? I = dq dt = # sdl dt = # s 电流密度 ?j = # ?