垂径定理及其推论

圆的对称性,垂径定理及其推论,教学内容的说明,教学内容：1、了解圆的轴对称性。2、弄清垂径定理及其推论的题设和结论。3、运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。4、学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法。,教学重点：垂径定理及其推论教学难点：垂径定理的证明方法轴对称性是理解“垂径定理”的关键。,1、通过直观演示了解圆的轴对称性。2、通过“试验观察猜想证明”掌握垂径定理及其推论。3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。,教学目标的确立,教学方法与手段,教学方法：教学手段：,教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价。,教（学）具演示、计算机辅助教学,教学过程的设计,动手操作观察猜测交流讨论分析推理归纳总结,积极参与,共同学习,(1)以旧引新，引导探究.,(2)动手操作，观察猜想.,(3)指导论证，引申结论.,(5)反思小结，布置作业.,教学过程的设计,(4)多方练习，分层评价.,(1)以旧引新，引导探究.,1、什么是轴对称图形2、观察下列图形哪些是轴对称图形？,圆是轴对称图形,它有无数条对称轴,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆的轴对称性,(2)动手操作，观察猜想.,操作：CD是以点O为圆心的直径，过直径上任一点E作弦ABCD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？,猜想：,(3)指导论证，引申结论.,分析：直径CD所在直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是O的对称轴，把O沿直径CD折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论。,(3)指导论证，引申结论.,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,判断题：(1)过圆心的直径平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦(3)O中，OE弦AB于E，则AE=BE,题设,结论,(3)指导论证，引申结论.,例1、如图在O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE求证：CDAB，,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。,小组讨论：下列命题是否正确，说明理由1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧。,(3)指导论证，引申结论.,总结：,(3)指导论证，引申结论.,五个条件,(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧,规律,知二,推三,例2、已知：如图在O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,(4)多方练习，分层评价.,解：联结OA，作OEAB于E，则OE=3cm,AE=BEAB=8cmAE=4cm在Rt中有OA=5cmO的半径为5cm,解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成RtAOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。,练习：A组在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是()cmB组在圆o中弦CD24，圆心到弦CD的距离为5,则圆o的直径是()C组若AB为圆O的直径，弦CDAB于E，AE16，BE=4,则CD(),(4)多方练习，分层评价.,答案：3,答案：26,答案：16,例3如图已知O的直径为4cm，弦AB=cm，求OAB的度数。,(4)多方练习，分层评价.,解：过O作ODAB于点D,则AD=BDAB=cmAD=cmO的直径为4cmOA2cm在RtOAD中cosOAB=锐角OAB30,你还有没有其它方法？,练习：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD,证明：过O作OEAB于E，则AE=BE,CE=DEAECE=BEDE即AC=BD,解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。,反思小结：,(5)反思小结，布置作业.,布置作业：,1、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。2、关于