第1章-模态分析理论基础

第1章模态分析理论基础,主讲人：研究生课程,线性系统,从物理的观点看，一个系统受到一个外界激励（或输入）f1(t)时，可测得其响应（或输出）为x1(t)。而受到激励f2(t)时，测得的响应为x2(t)。它们可表示为,引言,如果受到的激励是f(t)=a1f1(t)+a2f2(t)，对于线性系统，可以预测系统的响应将是x(t)=a1x1(t)+a2x2(t)，a1和a2为任意常数。这一关系可表示为a1f1(t)+a2f2(t)a1x1(t)+a2x2(t),叠加原理,几个激励函数共同作用产生的总响应是各个响应函数的总和。这一结果叫做叠加原理，是一个系统成为线性系统的必要条件。叠加原理有效，意味着一个激励的存在并不影响另一个激励的响应；线性系统内各个激励产生的响应是互不影响的。,为了分析在多个激励作用下系统的总效果，可以先分析单个激励的效果，然后把它们加起来就得到各单个激励共同作用下的总效果。,定常,振动系统的动态特性（质量、阻尼、刚度等）不随时间变化。线性定常系统具有频率保持性,系统对有限激励产生有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。,稳定,振动系统,离散系统（有限自由度）,连续系统（无限自由度）,连续时间系统,离散时间系统,空间角度,时间角度,振动系统分类,空间离散的连续时间系统,振动分析的“理论路线”物理模型以质量、刚度和阻尼为参数的关于位移的振动微分方程模态模型一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。响应模型一系列响应函数组成在理论分析中，首先从物理模型开始最终到非参数模型。在实验分析中，首先从特性开始，最终推求物理模型。,振动分析方法,1.1单自由度系统运动方程,物理参数模型,1.2单自由度系统自由振动无阻尼,另一种形式,1.2单自由度系统自由振动无阻尼,两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。,无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动,1.2单自由度系统自由振动有阻尼,衰减系数：固有频率：阻尼比：,1.2单自由度系统自由振动有阻尼,1.欠阻尼系统(undercritically-dampedsystem),1.2单自由度系统自由振动有阻尼,1.2单自由度系统自由振动有阻尼,1.表示初始幅值为A的自由衰减振动响应，振动的周期为Td；,2.阻尼对频率或周期的影响；,3.阻尼对振幅的影响；,1.2单自由度系统自由振动有阻尼,2.临界阻尼系统(critically-dampedsystem),1.2单自由度系统自由振动有阻尼,3.过界阻尼系统(overcritically-dampedsystem),设系统作用简谐激励：稳态位移响应：稳态速度响应：稳态加速度响应：,1.3单自由度系统强迫振动简谐激励,振动微分方程：,位移频响函数:为稳态位移响应与激励幅值之比：,频响函数,1.3单自由度系统强迫振动简谐激励,加速度频响函数：,速度频响函数：,频响函数的倒数称为阻抗位移阻抗：速度阻抗：加速度阻抗：,1.3单自由度系统强迫振动简谐激励,单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)单位脉冲响应函数（脉冲响应函数）,1.3单自由度系统强迫振动冲击荷载,1.3单自由度系统强迫振动冲击荷载,单位脉冲激励可以用单位脉冲函数（狄拉克函数）,脉冲响应函数：,1.3单自由度系统强迫振动频响函数与单位脉冲函数,定义：(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入幅值之比。(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。(3)平稳随机激励时，输出和输入的互谱与输入的自谱之比。,频响函数H()是脉冲响应函数h(t)的傅里叶变换若系统的激励为已知此时系统稳态输出为因此脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描述系统固有特性。,线性系统的输入与输出关系,1.3单自由度系统强迫振动频响函数与单位脉冲函数,根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积,单位力作用下的系统时域与频域的响应,1.3单自由度系统强迫振动频响函数与单位脉冲函数,简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值之比,瞬态激励f(t)下响应为x(t)，一般可做傅里叶变换系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换之比,1.3单自由度系统强迫振动不同激励下频响函数表达式,周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数x(t)，都可写为傅里叶级数的形式系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值与激励的幅值之比,1.3单自由度系统强迫振动不同激励下频响函数表达式,随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率谱与输入的自功率谱之比,由频响函数表达式可得频响函数复指数形式,幅频特性,相频特性,1.3单自由度系统频响函数曲线,基本表达式,频响函数表示成复数形式：其中,实频特性,虚频特性,1.3单自由度系统频响函数曲线,直角坐标表达式（复数形式）,对于任一，根据上式可计算得到对应的一对HR()、HI()值，从而得到复平面上的一条矢量。从0变到，矢端将画出变化过程的轨迹，该轨迹近似为一个圆。（Nyquist图）,1.3单自由度系统频响函数曲线,矢量表达式,频响函数表示成矢量形式：,其中,1.4多自由度系统振动方程,1.5多自由度无阻尼系统自由振动,频率：,特解,该方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零,频率方程特征方程,设无重根，解得的n个互异正根0i，称为无阻尼系统的固有频率。即特征方程的特征值.,1.5多自由度无阻尼系统自由振动,对一个具有n个自由度的系统，可以得到一个关于频率的n次代数方程，方程的n个根表示体系可能存在的n个振型对应的频率。具有最低频率的阵型称之为第一阶振型，第二低频率对应的振型为第二阶振型。,振型分析：,1.特征向量，或振型，一般用i来表示；2.对n自由度系统，n个振型；,模态矩阵,1.5多自由度无阻尼系统自由振动,振型正交性：,1.5多自由度无阻尼系统自由振动,1.5多自由度无阻尼系统自由振动,当i=j时，定义模态质量（主质量）,当i=j时，定义模态刚度（主刚度）,振型正交性：,第j阶模态惯性力在第i阶模态运动中做功为零；第j阶模态弹性力在第i阶模态运动中做功为零。,1.5多自由度无阻尼系统自由振动,模态质量与模态刚度：,模态质量矩阵,模态刚度矩阵,频响函数：,1.5多自由度无阻尼系统简谐振动,频响函数矩阵的模态展式,脉冲响应函数：,1.5多自由度无阻尼系统冲击载荷,1.6多自由度系统的振动粘性比例阻尼系统,多自由度粘性阻尼系统的运动方程：,其中：,进行坐标变换，设物理坐标系中矢量x在模态坐标系中的坐标为：,ms第s阶模态质量ks第s阶模态刚度cs第s阶模态阻尼系数qs第s阶模态坐标,1.6多自由度系统的振动粘性比例阻尼系统,左乘sT,令,则,不考虑起始条件，可得位移响应：,1.6多自由度系统的振动粘性比例阻尼系统,1.6多自由度系统的振动频响函数,位移响应,频响函数,物理意义为：在j点作用单位力时，在i点引起的响应,1.6多自由度系统的振动频响函数,频响函数,脉冲响应函数：脉冲响应函数的傅氏变换,频响函数与模态参数的关系,频响函数矩阵中任一行为如果在结构上的某一固定点i点拾振，轮流激励所有点，即可求得H中的一行。（单点拾振法）,1.6多自由度系统的