一般矩阵可逆的判定

一般矩阵可逆的判定Good（11统计 数学与统计学院 1111060231）摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。关键字：n阶方阵A； A0； rA=n； n0； AB=BA=In 0 引言逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。1 矩阵的概念1.0矩阵的定义定义1：令F是一个数域，用F上的mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成m行n列的矩阵列，则称为mn阵，也称为一个F上的矩阵，简记为Amn。 A=a11a12a21a22a1na2nam1am2 amn1.1逆矩阵的定义定义2：设A是数域F上的n阶方阵，若数域F上同时存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=In则称B是A的逆矩阵，记作：B=A-1。2 矩阵可逆的判定2.0矩阵可逆判定的前提对于一个矩阵，要判定该矩阵是否可逆，首先必须要知道的就是该矩阵是不是方阵。跟要判断一个四边形是不是正方形一样，如果四边形不是矩形，那么也就不可能是正方形。如果已经是矩形，那么就需要进一步判定是不是正方形。内容不一样，但思想是相通的。这里要判定矩阵是否可逆，最基本的前提就是：矩阵必须是方阵！在满足该前提的情况下，再去讨论矩阵是否可逆才具有意义，否则是没意义的。2.1由定义判定由“2.0矩阵可逆判定的前提”和定义“1.1逆矩阵的定义”可知，从满足前提的矩阵可知，若存在一个方阵B，使得矩阵AB=BA=In，那么就可以称矩阵A是可逆的，矩阵B就是矩阵A的逆矩阵。记作：B=A-1。如果不存在方阵B使得AB=BA=In，那么就说矩阵A是不可逆的。但是这种通过定义判断的方法存在局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。下面通过一个例子来分析。例子1：设存在一个方阵A和方阵C，如下所示：A=200020002 C=3-112 011-12解析：从题目可知矩阵A和矩阵C同时满足可逆的前提条件。但对于矩阵C来说，定义无法直接给出矩阵C的逆矩阵，因而无法判断C是否可逆。但是却可以马上判断出矩阵A是可逆的，并且可以马上写出矩阵A的逆矩阵B，即：AB=BA=In200020002120001200012=120001200012200020002=1000100012.2矩阵秩的判定定理1：设A是数域F上的n阶方阵，若A可逆，那么rA=n。从定理1可知，一个矩阵可逆，矩阵必须是满秩的。在例子1中，矩阵A很明显是满秩。即rA=3，即矩阵A是可逆的。那么对于矩阵C是否可逆，则需要经过矩阵的初等变换求出矩阵C是否是满秩的。C=3-112 011-12=3 -1 10 23 130 -23 53 =3 -1 10 23 130 0 2经过初等变换，可以得出rC=3,那么矩阵C也是可逆的。2.3行列式判别法定理2：设A是数域F上的n阶方阵，若A0，那么A是可逆的。对于例子1中的方阵A和方阵C，可以求出A=80，那么方阵A可逆。对于方阵C，要求相对应的行列式C的值。通过行列式的性质可将C化简。C=3-112 011-12=3 -1 10 23 130 -23 53=3 -1 10 23 130 0 2=40由于C0，所以通过行列式判断C也是可逆的。2.4特征值判别法定理3：设A是数域F上的n阶方阵，若存在特征向量使得A-I=0，若特征向量中的任意的一个元素n0，那么A是可逆的。对于例子1中的矩阵C有C-I=0，即：C-I=3-112-11-12-=0解析：22-2-3-=0-1-22=01=1,2=3=2通过求解矩阵C的特征值，对于n0，所以矩阵C是可逆的。3 逆矩阵的求解3.1定义法求逆矩阵从定义2和2.1可知用定义法求解逆矩阵存在很大的局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。3.2初等变换求逆矩阵定义3：矩阵的初等变换 对调矩阵中任意两行（列）的位置。 用一非零数乘以矩阵的某一行（列）。 将矩阵中的某一行（列）乘以常数加到另一行（列）。定义4：若A是数域F上可逆的n阶方阵，则A可以通过初等变换为单位矩阵I,在变换的过程中，当A转换为I时，相应的I也转换为A-1。记为：AIIA-1对于例子1中的矩阵C，由于判定的结果是可逆的，那么下面将利用初等变换法来求出矩阵C的逆矩阵C-1。解析：CIIC-1-3-112 011-12100010001-1-13130 23130-2353 1300-2310-1301-1-13130 23130-2353 1300-2310-1301-1-13130 1120 01 1300-1320-121212-100010001 1414-14-3454-14-1212 12 ，根据定义4，那么C-1= 1414-14-3454-14-1212 12CC-1=3-112 011-12 1414-14-3454-14-1212 12=100010001=InC-1C= 1414-14-3454-14-1212 123-112 011-12=100010001=In3.3伴随矩阵求逆矩阵定理4：n阶矩阵A可逆的充要条件是A非奇异,那么A-1= A*A，A*为矩阵A的伴随矩阵。定义5：伴随矩阵：A*=A11A12A21A22A1nA2nAn1An2 Ann, Aij是A中aij的代数余子式。A*为矩阵A的伴随矩阵。定义6：A=a11A11+a21A21+a31A31+an1An1=r,s=1na1rA1s若sr,则r,s=1na1rA1s=0；s=r，r,s=1na1rA1s=A，其中Aij=(-1)i+jMij分析步骤：设n阶矩阵A是非奇异阵，那么A可逆。那么AA*如下所示：AA*=a11a12a21a22a1na2nan1am2 annA11A12A21A22A1nA2nAn1An2 Ann根据定义6可知AA*的值为AI。若sr,则r,s=1na1rA1s=0；若s=r，r,s=1na1rA1s=A AA*= A0 0 A 0 0 0 0 A=A100100001例子1中的矩阵C通过前面的判别分析可以知道矩阵C是可逆的。矩阵C是非奇异的。下面用矩阵伴随矩阵法求出矩阵C的逆矩阵。求出伴随矩阵C*。C*= 11-1-35-1-22 2求出矩阵C的行列式C。C=3-112 011-12=4根据定理4求出矩阵C的逆矩阵C-1= C*CC-1= C*C=14 11-1-35-1-22 2= 1414-14-3454-14-1212 12验证AB=BA=InCC-1=C-1C=InCC-1=3-112 011-12 1414-14-3454-14-1212 12=100010001=InC-1C= 1414-14-3454-14-1212 123-112 011-12=100010001=In结论用伴随矩阵的方法和初等变换法所求的结果是一致的，只不过伴随矩阵的方法比较繁琐，当矩阵的阶数高于3阶时，初等变换法相对较方便。除此以外还有其他的一些其逆矩阵的方法，比如：分块矩阵求逆矩阵，分解矩阵求逆矩阵，递推法求逆矩阵，特征多项式法等多种方法。这里就不一一介绍这些方法了。在实践中只有最简便的方法，才是最实用的，很多的方法虽然可以求出逆矩阵，但是方法太过复杂，但不能忽略那些思想，也许在某一个领域，这种思想才是最实用的。4 总结在求解一个矩阵的逆矩阵，很多人往往直接求解而不注重分析一个矩阵是否可逆，甚至有人直接拿着一个不是方阵的矩阵去求解逆矩阵，他就不会想到一个矩阵要可逆，最基本的前提：矩阵必须是一个方阵。然而也有很多的人知道这个前提，虽然知道怎么求解一个矩阵的逆矩阵，但是却不会去判断一个矩阵是否可逆。这样做很多时候只会浪费时间去求一个不可逆的矩阵。本文中也介绍了几种判断矩阵可逆的方法，虽然不是很全面，但是对一般矩阵可逆的判断已经足够了。在知道矩阵可逆之后，再去求解矩阵的逆矩阵才是明智的。对于矩阵的逆矩阵求解，本文介绍了两种求一般矩阵逆矩阵的方法，初等变