中考数学压轴题(重叠面积问题)

例1: 在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR中，QPR=120，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值 25（1）t4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是例2：如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MCOA于点C，MDOB于D（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与AOB重叠部分的面积为S试求S与的函数关系式并画出该函BxyMCDOABxyOABxyOA数的图象解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为x+4（0x0，x+40）； 则：MCx+4x+4，MDxx；C四边形OCMD2（MC+MD）2（x+4+x）8当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S四边形OCMDMCMD（x+4） xx2+4x(x-2)2+4四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0x4）的二次函数，并且当x2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当时，；如图10（3），当时，；S与的函数的图象如下图所示：例3：已知：如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P（1）求点P的坐标（2）请判断的形状并说明理由FyOAxPEB（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EFx轴于F，EBy轴于B设运动t秒时，矩形EBOF与OPA重叠部分的面积为S求： S与t之间的函数关系式 当t为何值时，S最大，并求S的最大值解：(1) 2分解得： 3分F第24题图1yOAxPEBD点P的坐标为(2，) 4分(2)将代入 ，即OA=4 4分做PDOA于D，则OD=2，PD=2 tanPOA= POA=60 5分F第24题图2PxOBCEAy OP= POA是等边三角形 6分(3) 当0t4时，如图1在RtEOF中，EOF=60，OE=tEF=t，OF=tS=OFEF= 7分当4t8时，如图2设EB与OP相交于点C易知：CE=PE=t4，AE=8tAF=4，EF=(8t) OF=OAAF=4(4t)=tS=(CE+OF)EF=(t4+t)(8t)=+4t89分 当0t4时，S=， t=4时，S最大=2当4t2，当t=时，S最大=12分例4: 已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求OAB的度数，并求当点A在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。解：(1) A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)， ， 当点A在线段AB上时，TA=TA， ATA是等边三角形，且， ，AyE ，xOCTPBA 当A与B重合时，AT=AB=， 所以此时。 (2)当点A在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA与CB的交点)，Ayx 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0) 又由(1)中求得当A与B重合时，T的坐标是(6，0)PBE 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。FC (3)S存在最大值ATO 当时， 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，当t=6时，S的值最大是。当时，由图，重叠部分的面积AEB的高是， 当t=2时，S的值最大是；当，即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA与CB的交点，F是TP与CB的交点)，四边形ETAB是等腰形，EF=ET=AB=4，综上所述，S的最大值是，此时t的值是。例6：如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为（1）请直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积备用图（14分）（1）；2分 （2）设抛物线为，抛物线过， 解得2分1分（3）当点A运动到点F时，当时，如图1，图1 ， ；2分 当点运动到轴上时，图2当时，如图2， ， ；（2分） 当点运动到轴上时，当时，如图3，图3， =（2分）（解法不同的按踩分点给分）（4）,（2分） = =（1分）图4例7:如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合 （1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围（1）解：由得点坐标为由得点坐标为（2分）由解得点的坐标为（3分）（4分） （2）解：点在上且 点坐标为（5分）又点在上且点坐标为 全（6分）（7分） （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）过作于，则ADBEORFxyyM（图3）GCADBEOCFxyyG（图1）RMADBEOCFxyyG（图2）RM即即（10分）（2013玉林压轴题）如图，抛物线y=（x1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（1，0）（1）求点B，C的坐标；（2）判断CDB的形状并说明理由；（3）将COB沿x轴向右平移t个单位长度（0t3）得到QPEQPE与CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围解答：解：（1）点A（1，0）在抛物线y=（x1）2+c上，0=（11）2+c，得c=4，抛物线解析式为：y=（x1）2+4，令x=0，得y=3，C（0，3）；令y=0，得x=1或x=3，B（3，0）（2）CDB为直角三角形理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）如答图1所示，过点D作DMx轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OBOM=2过点C作CNDM于点N，则CN=1，DN=DMMN=DMOC=1在RtOBC中，由勾股定理得：BC=；在RtCND中，由勾股定理得：CD=；在RtBMD中，由勾股定理得：BD=BC2+CD2=BD2，CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，B（3，0），C（0，3），解得k=1，b=3，y=x+3，直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，直线QE的解析式为：y=（xt）+3=x+3+t；设直线BD的解析式为y=mx+m，B（3，0），D（1，4），解得：m=2，n=6，y=2x+6连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（，3）在COB向右平移的过程中：（I）当0t时，如答图2所示：设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3t设QE与BD的交点为F，则：，解得，F（3t，2t）S=SQPESPBKSFBE=PEPQPBPKBEyF=33（3t）2t2t=t2+3t；（II）当t3时，如答图3所示：设PQ分别与BC、BD交于点K、点JCQ=t，KQ=t，PK=PB=3t直线BD解析式为y=2x+6，令x=t，得y=62t，J（t，62t）S=SPBJSPBK=PBPJPBPK=（3t）（62t）（3t）2=t23t+综上所述，S与t的函数关系式为：S=（2013鄂州压轴题）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）（1）若M（2，5），请直接写出N点坐标（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将ABP沿边PE折叠，APE与PBE重叠部分的面积恰好为此时的ABP面积的，求此时BP的长度解答：解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，由点M到点M可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，故点N的坐标为（55，1+3），即（0，2）N（0，2）；（2）N（0，2）在抛物线y=x2+x+k上k=2抛物线的解析式为y=x2+x+2 （3）y=x2+x+2=（x+2）2B（2，0）、A（0，2）、E（，1）CO：OF=2：CO=m，FO=m，BF=2+mSBEC=SEBF+SBFC=（2+m）（m+1）=整理得：m2+m=0m=1或0 m0m=1 （4）在RtABO中，tanABO=ABO=30，AB=2AO=4当BPEAPE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，EHP是重叠部分E为AB中点，SAEP=SBEP=SABPSEHP=SABP=SEHP=SBHP=SABPA1H=HP，EH=HB=1四边形A1BPE为平行四边形BP=A1E=AE=2即BP=2 当BPE=APE时，重叠部分面积为ABP面积的一半，不符合题意；当BPEAPE时则对折后如图3，A1为对折后A的所落点EHP是重叠部分E为AB中点，SAEP=SBEP=SABPSEHP=SABPSEBH=SEHP=SABPBH=HP，EH=HA1=1又BE=EA=2EHAP，AP=2在APB中，ABP=30，AB=4，AP=2来源:学。科。网Z。X。X。KAPB=90，BP=，综合知：BP=2或；（2013浙江丽水12分）如图1，点A是轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90得到点C，过点C作轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为（1）当时，求CF的长；（2）当为何值时，点C落在线段BD上？设BCE的面积为S，求S与之间的函数关系式；（3）如图2，当点C与点E重合时，CDF沿轴左右平移得到CD F，再将A，B，C，D为顶点的四边形沿CF剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C的坐标。（2013浙江丽水12分）如图1，点A是轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90得到点C，过点C作轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为（1）当时，求CF的长；（2）当为何值时，点C落在线段BD上？设BCE的面积为S，求S与之间的函数关系式；（3）如图2，当点C与点E重合时，CDF沿轴左右平移得到CD F，再将A，B，C，D为顶点的四边形沿CF剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C的坐标。解：（1）当时，OA=2， 点B，O