第9章基于MATLAB优化工具箱的优化计算

第9章基于MATLAB优化工具箱的优化计算,9.1MATLAB优化工具箱,一、常用的优化功能函数求解线性规划问题的主要函数是linprog。求解二次规划问题的主要函数是quadprog。求解无约束非线性规划问题的主要函数是fminbnd、fminunc和fminsearch。求解约束非线性规划问题的主要函数是fgoalattain和fminimax。,二、一般步骤,建立目标函数文件,针对具体工程问题建立优化设计的数学模型,不等式约束条件表示成g(X)0的形式,建立调用优化工具函数的命令文件,文件内容：必须的输入参数、描述标函数表达式等存储：以自定义的目标函数文件名存储在文件夹中,建立约束函数文件,文件内容：必须的输入参数、约束函数表达式等存储：以自定义的约束函数文件名存储在文件夹中,将优化设计的命令文件复制到MATLAB命令窗口中进行运算求解。,分析优化设计的数学模型，选择适用的优化工具函数文件内容：初始点，设计变量的边界约束条件，运算结果输出等内容存储：以自定义的命令文件名存储于文件夹中。,9.2线性规划问题,一、线性规划数学模型,1.主要应用对象：（1）在有限的资源条件下完成最多的任务；（2）如何统筹任务以使用最少资源。2.数学模型形式：minfTXs.t.AXb（线性不等式约束条件）AeqX=beq（线性等式约束条件）lbXub（边界约束条件）,约束条件,决策变量,目标函数,非负数,线性,3.MATLAB中函数调用格式xopt,fopt=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options),最优解,最优值,目标函数各维变量系数向量,初始点,可选项,二、例题,生产规划问题：某厂利用a,b,c三种原料生产A,B,C三种产品，已知生产每种产品在消耗原料方面的各项指标和单位产品的利润，以及可利用的数量，试制定适当的生产规划使得该工厂的总利润最大。,x1,x2,x3,2x1,4x2,3x3,3x1,4x2,2x3,2x1,x1,x2,3x2,2x3,2x3,+,+,+,+,+,+,+,+,3.确定约束条件：,X=x1,x2,x3T,4.编制线性规划计算的M文件f=2,4,3A=3,4,2;2,1,2;1,3,2;b=600;400;800;Aeq=;beq=;lb=zeros(3,1);xopt,fopt=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb),二、例题,解：1.确定决策变量：,max2x1+4x2+3x3,3x1+4x2+2x3600,2x1+x2+2x3400,x1+3x2+2x3800,设生产A、B、C三种产品的数量分别是x1,x2,x3，决策变量：,根据三种单位产品的利润情况，按照实现总的利润最大化，建立关于决策变量的函数：,2.建立目标函数：,根据三种资料数量限制，建立三个线性不等式约束条件,5.M文件运行结果：Optimizationterminatedsuccessfully.xopt=0.000066.6667166.6667fopt=-766.6667,x1,x2,x30,xopt,fopt=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options),-,-,-,9.3二次规划问题,1.研究意义：（1）最简单的非线性规划问题；（2）求解方法比较成熟。2.数学模型形式：s.t.AXb（线性不等式约束条件）AeqX=beq（线性等式约束条件）lbXub（边界约束条件）,一、二次规划问题数学模型,约束条件,决策变量,目标函数,二次函数,3.MATLAB中函数调用格式xopt,fopt=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options),最优解,最优值,目标函数的海赛矩阵,初始点,可选项,目标函数的一次项系数向量,结果xopt=2.571,1.143,0.000fopt=-16.4898,二、例题,求解约束优化问题,s.t.,解：(1)将目标函数写成二次函数的形式,，其中：,xopt,fopt=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options),(2)编写求解二次规划的M文件：H=4,-2,0;-2,4,0;0,0,2;C=0,0,1;A=1,3,2;b=6;,Aeq=2,-1,1;beq=4;lb=zeros(3,1);,xopt,fopt=quadprig(H,C,A,b,Aeq,beq,lb),9.4无约束非线性规划问题,无约束非线性规划问题的MATLAB函数有,fminbnd,要求目标函数为连续函数,只求解单变量问题,fminunc,可求解单变量和多变量问题,适用于简单优化问题,可求解复杂优化问题,fminsearch,1.使用格式：xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2,options),9.4.1函数fminbnd,设置优化选项参数,迭代搜索区间,目标函数,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,2.例题：求解一维无约束优化问题f(x)=(x3+cosx+xlogx/ex)在区间0,1中的极小值。解：(1)编制求解优化问题的M文件。%求解一维优化问题fun=inline(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x),x);%目标函数x1=0;x2=1;%搜索区间xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2)(2)编制一维函数图形的M文件。ezplot(fun,0,10)title(x3+cosx+xlogx)/ex)gridon,9.4.1函数fminbnd,运行结果：xopt=0.5223fopt=0.3974,1.使用格式：xopt,fopt=fminsearch(fun,x0,options),9.4.2函数fminsearch,设置优化选项参数,初始点,目标函数,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,2.例题：求解二维无约束优化问题f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2+6)的极小值。解：(1)编制求解二维无约束优化问题的M文件。%求解二维优化问题fun=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6;x0=0,0;%初始点xopt,fopt=fminsearch(fun,x0)(2)讨论。将目标函数写成函数文件的形式：%目标函数文件search.mfunctionf=search(x)f=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6;则命令文件变为：%命令文件名称为eg9_4.mx0=0,0;%初始点xopt,fopt=fminsearch(search,x0),9.4.2函数fminsearch,运行结果：xopt=1.00002.0000fopt=4.0000,1.使用格式：x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(fun,x0,options,P1,P2),9.4.3函数fminunc,设置优化选项参数,初始点,调用目标函数的函数文件名,目标函数在最优解的海色矩阵,返回目标函数在最优解的梯度,优化算法信息的一个数据结构,返回算法的终止标志,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,附加参数,管道截面积：,其中设计变量：,9.4.3函数fminunc,2.例题：已知梯形截面管道的参数是：底边长度c，高度h，面积A=64516mm2，斜边与底边夹角为。管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系。试按照使液体流速最大确定该管道的参数。解：(1)建立优化设计数学模型管道截面周长,min,x1,x2,f(X),目标函数的文件(sc_wysyh.m)：functionf=sc_wysyh(x)%定义目标函数调用格式a=64516;hd=pi/180;f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd);%定义目标函数,9.4.3函数fminunc,2.例题：解：(1)建立优化设计数学模型(2)编写求解无约束非线性优化问题的M文件,x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminbnd(fun,x0,options,P1,P2),求最优化解时的命令程序：x0=25,45;%初始点x,Fmin=fminunc(sc_wysyh,x0);%求优语句fprintf(1,截面高度hx(1)=%3.4fmmn,x(1)fprintf(1,斜边夹角x(2)=%3.4f度n,x(2)fprintf(1,截面周长sf=%3.4fmmn,Fmin),计算结果截面高度hx(1)=192.9958mm斜边夹角x(2)=60.0005度截面周长sf=668.5656mm,xx1=linspace(100,300,25);xx2=linspace(30,120,25);x1,x2=meshgrid(xx1,xx2);a=64516;hd=pi/180;f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd);subplot(1,2,1);h=contour(x1,x2,f);clabel(h);axis(100,300,30,120)xlabel(高度h/mm)ylabel(倾斜角theta/(。),9.4.3函数fminunc,2.例题：解：(1)建立优化设计数学模型(2)编写求解无约束非线性优化问题的M文件(3)编写绘制一维函数图形的M文件,title(目标函数等值线)subplot(1,2,2);meshc(x1,x2,f);axis(100,300,30,120,600,1200)title(目标函数网格曲面图),控制参数options,1,2,3,控制参数options,1,2,3,9.5约束非线性规划问题,1.数学模型形式：minf（X）s.t.AXb（线性不等式约束）AeqX=beq（线性等式约束）C(X)0（非线性不等式约束条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）LbXUb（边界约束条件）,约束条件,2.使用格式：x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),设置优化选项参数,初始点,调用目标函数的函数文件名,目标函数在最优解的海色矩阵,返回目标函数在最优解的梯度,优化算法信息的一个数据结构,返回算法的终止标志,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,附加参数,非线性约束条件的函数名,设计变量的下界和上界,线性等式约束的常数向量,线性等式约束的系数矩阵,线性不等式约束的常数向量,线性不等式约束的系数矩阵,无定义时以空矩阵符号“”代替,控制参数options,控制参数options,例9-6,某二级斜齿圆柱齿轮减速器，高速级输入功率P1=6.2kW，转速n1=1450r/min；总传动比i=31.5，齿轮宽度系数a=0.4，齿轮材料和热处理：大齿轮45号钢正火187207HB，小齿轮45号钢调质228255HB，工作寿命10年以上。要求按照总中心距a最小来确定齿轮传动方案。解:(1)建立优化设计的数学模型设计变量：将涉及总中心距a齿轮传动方案的6个独立参数作为设计变量X=mn1,mn2,z1,z3,i1,T=x1,x2,x3,x4,x5,x6T目标函数：减速器总中心距a最小为目标函数,二、例题,约束条件:含性能约束和边界约束,高速级齿轮接触强度条件,低速级齿轮接触强度条件,高速级大齿轮弯曲强度条件,低速级大齿轮弯曲强度条件,大齿轮与轴不干涉,低速级齿轮副模数的下限和上限,高速级小齿轮齿数的下限和上限,高速级小齿轮齿数的下限和上限,低速级小齿轮齿数的下限和上限,高速级传动比的下限和上限,齿轮副螺旋角的下限和上限,性能约束,边界约束,二、例题,(2)编制优化设计的M文件,x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),%两级斜齿轮减速器总中心距目标函数functionf=jsqyh_f(x);hd=pi/180;a1=x(1)*x(3)*(1+x(5);a2=x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5);cb=2*cos(x(6)*hd);f=(a1+a2)/cb;,%两级斜齿轮减速器优化设计的非线性不等式约束函数functiong,ceq=jsqyh_g(x);hd=pi/180;g(1)=cos(x(6)*hd)3-3.079e-6*x(1)3*x(3)3*x(5);g(2)=x(5)2*cos(x(6)*hd)3-1.701e-4*x(2)3*x(4)3;g(3)=cos(x(6)*hd)2-9.939e-5*(1+x(5)*x(1)3*x(3)2;g(4)=x(5)2.*cos(x(6)*hd)2-1.076e-4*(31.5+x(5)*x(2)3*x(4)2;g(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*hd)+x(1)*x(2)*x(3)-x(2)*x(4)*(31.5+x(5);ceq=;,文件名为：Jsqyh_g.m,文件名为：Jsqyh_f.m,二、例题,(2)编制优化设计的M文件,x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),x0=2;4;18;20;6.4;10;%设计变量的初始值lb=2;3.5;14;16;5.8;8;%设计变量的下限ub=5;6;22;22;7;15;%设计变量的上限x,fn=fmincon(jsqyh_f,x0,lb,ub,jsqyh_g);disp*两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解*fprintf(1,高速级齿轮副模数Mn1=%3.4fmmn,x(1)fprintf(1,低速级齿轮副模数Mn2=%3.4fmmn,x(2)fprintf(1,高速级小齿轮齿数z1=%3.4fmmn,x(3)fprintf(1,低速级小齿轮齿数z2=%3.4fmmn,x(4)fprintf(1,高速级齿轮副传动比i1=%3.4fmmn,x(5)fprintf(1,齿轮副螺旋角beta=%3.4fmmn,x(6)fprintf(1,减速器总中心距a12=%3.4fmmn,fn)g=jsqyh_g(x);disp=最优点的性能约束函数值=fprintf(1,高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值g1=%3.4fmmn,g(1)fprintf(1,低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值g2=%3.4fmmn,g(2)fprintf(1,高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值g3=%3.4fmmn,g(3)fprintf(1,低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值g4=%3.4fmmn,g(4)fprintf(1,大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值g5=%3.4fmmn,g(5),文件名为eg9_6.m,二、例题,(3)M文件运行结果,*两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解*高速级齿轮副模数Mn1=2.0461mm低速级齿轮副模数Mn2=3.6059mm高速级小齿轮齿数z1=18.5156mm低速级小齿轮齿数z2=16.0000mm高速级齿轮副传动比i1=5.8000mm齿轮副螺旋角beta=8.0000减速器总中心距a12=317.4186mm=最优点的性能约束函数值=高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值g1=0.0000mm低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值g2=0.0000mm高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值g3=-1.0042mm低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值g4=-15.1854mm大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值g5=-761.8043mm,2mm,4mm,19,16,5.8,8,338.292mm,340mm,9.838,(4)优化结果处理,9.6多目标优化问题,多目标优化问题的MATLAB函数有,fgoalattain,需确定各分目标的加权系数,需知各分目标的单个的最优值,目标函数的最大值逐次减小,fminimax,9.6.1函数fgoalattain,minvs.t.fi(X)-wivgoalii=1,2,tAXb（线性不等式约束）AeqX=beq（线性等式约束）C(X)0（非线性不等式约束条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）LbXUb（边界约束条件）,一、多目标优化问题数学模型,标量变量,各分目标函数,分目标函数的权重,各分目标函数的目标值,二、优化函数使用格式x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),设置优化选项参数,各分目标权重,各分目标期望值,目标函数在最优解的海色矩阵,返回目标函数在最优解的梯度,优化算法信息的一个数据结构,返回算法的终止标志,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,附加参数,非线性约束条件的函数名,设计变量的下界和上界,线性等式约束的常数向量,线性等式约束的系数矩阵,线性不等式约束的常数向量,线性不等式约束的系数矩阵,无定义时以空矩阵符号“”代替,9.6.1函数fgoalattain,初始点,目标函数文件名,三、例题,设计带式输送机传动装置上的普通V带传动。已知电机额定功率P=4kW，转速n1=1440r/min，传动比i=3，采用A型V带，每天工作不超过10小时。要求传动结构紧凑（带的根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小）。解:(1)建立优化设计的数学模型设计变量：V带传动的独立设计变量是小带轮直径dd1和带的基准长度LdX=dd1,LdT=x1,x2T目标函数：小带轮直径：中心距:带的根数:,9.6.1函数fgoalattain,1.1,拟合直线,P0=(0.02424dd1-1.112879)(kW),0.17kW,KL=0.20639Ld0.211806,拟合幂函数方程,拟合双曲线方程,minf1(X)=dd1=x1,约束条件:含性能约束和边界约束,小带轮直径=推荐的A型带轮最小直径,最大带速120,带传动的中心距要求,小带轮基准直径的下限和上限,带基准长度的下限和上限,性能约束,边界约束,三、例题,9.6.1函数fgoalattain,9.6.1函数fgoalattain,三、例题,解:(1)建立优化设计的数学模型设计变量：X=dd1,LdT=x1,x2T目标函数：小带轮直径：中心距:带的根数:,minf1(X)=dd1=x1,80100mm,320400mm,14,按容限值确定权重，以使目标函数值在数量级上统一,约束条件:(2)确定分目标和它们的权重,(3)编制优化设计的M文件,x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),%V带传动多目标优化设计的目标函数文件functionf=VDCD_3mb_MB(x)P=4;i=3;KA=1.1;%已知条件：功率，传动比，工况系数f(1)=x(1);%f1-小带轮基准直径:目标函数1a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(1)2*(i-1)2/8;a=a1+sqrt(a12-a2);f(2)=a;%f2,中心距：目标函数2P0=0.02424*x(1)-1.1128789;%单根带额定功率DP0=0.17;%功率增量alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a;%小带轮包角Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114);%包角系数KL=0.20639*x(2)0.211806;%长度系数f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL;%f3-V带根数：目标函数3,9.6.1函数fgoalattain,三、例题,(3)编制优化设计的M文件%V带传动多目标优化设计的约束函数文件functiong,ceq=VDCD_3mb_YS(x)i=3;n1=1440;%已知条件：传动比，转速g(1)=100-x(1);%小带轮直径=Ddming(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25%带速范围V=alpming(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a;%中心距范围a=aminceq=;,9.6.1函数fgoalattain,三、例题,x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),(3)编制优化设计的M文件,%V带传动多目标优化设计的调用命令P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1;%已知条件：功率，传动比，转速，工况系数x0=100;1250;%初始点（小带轮直径，V带基准长度）goal=75,280,2;%分目标w=10(-2),40(-2),1.5(-2);%分目标加权系数lb=80,630;%最小带轮直径和A型V带的基准长度ub=100;4000;%最大带轮直径和A型V带基准长度xopt,fopt=fgoalattain(VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,lb,ub,VDCD_3mb_YS),9.6.1函数fgoalattain,三、例题,x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),Optimizationterminatedsuccessfully:Searchdirectionlessthan2*options.xopt=1.0e+003*0.10001.2269fopt=100.0000281.52963.5957,(4)M文件运算结果,9.6.1函数fgoalattain,三、例题,(5)优化结果处理,dd1,100mm,1227mm,Ld,小带轮基准直径,带传动中心距,带的根数,1250mm,圆整,4,圆整,%优化结果数据处理后部分参数计算Dd1=100;Dd2=Dd1*i;z=4;Ld=1250;v=pi*Dd1*n1/6e4;a1=Ld/4-pi*Dd1*(i+1)/8;a2=Dd12*(i-1)2/8;a=a1+sqrt(a12-a2);alpha=180-180*Dd1*(i-1)/pi/a;dispdisp*计算结果*fprintf(1,小带轮基准直径Dd1=%3.0fmmn,Dd1);fprintf(1,大带轮基准直径Dd2=%3.0fmmn,Dd2);fprintf(1,V带基准长度Ld=%3.0fmmn,Ld);fprintf(1,传动中心距a=%3.2fmmn,a);fprintf(1,小带轮包角alpha=%3.2f度n,alpha);fprintf(1,V带根数z=%3.0fmmn,z);,(4)M文件运算结果,9.6.1函数fgoalattain,三、例题,(5)优化结果处理,*计算结果*小带轮基准直径Dd1=100mm大带轮基准直径Dd2=300mmV带基准长度Ld=1250mm传动中心距a=293.82mm小带轮包角alpha=141.00度V带根数z=4mm,(4)M文件运算结果,9.6.1函数fgoalattain,三、例题,(5)优化结果处理,(6)最终方案,9.6.2函数fminimax,minmaxf1,f2,f3s.t.AXb（线性不等式约束）AeqX=beq（线性等式约束）C(X)0（非线性不等式约束条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）LbXUb（边界约束条件）,一、多目标优化问题数学模型,各分目标函数,二、优化函数使用格式x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),设置优化选项参数,目标函数在最优解的海色矩阵,返回目标函数在最优解的梯度,优化算法信息的一个数据结构,返回算法的终止标志,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,附加参数,非线性约束条件的函数名,设计变量的下界和上界,线性等式约束的常数向量,线性等式约束的系数矩阵,线性不等式约束的常数向量,线性不等式约束的系数矩阵,无定义时以空矩阵符号“”代替,9.6.2函数fminimax,初始点,目标函数文件名,三、例题,已知直径为1单位长度的圆柱梁，要求将它制成矩形截面梁，满足重量最轻和强度最大的条件，试确定矩形截面尺寸。解:(1)建立优化设计的数学模型设计变量：矩形截面的宽和高X=x1,x2T目标函数：重量截面积：弯曲强度矩形截面矩量:,9.6.2函数fminimax,minf1(X)=x1x2,r=1,x1,x2,约束条件:含性能约束和边界约束,变量x1的上下限,变量x2的上下限,等式约束,性能约束,边界约束,9.6.2函数fminimax,三、例题,(2)编制