第一章 逻辑代数基础-数制码制

第一章逻辑代数基础,1.1概述1.2数制1.3码制与编码1.4逻辑代数1.5逻辑代数的基本公式和定理1.6逻辑函数及其表示方法1.7逻辑函数的化简方法,第一章第一部分,1.1概述1.2数制1.3码制与编码,数字,说明数字是一套符号，可以表示数量或不同的逻辑状态/对象。一套数字符号，加上明确的逻辑运算关系，构成了数学。如果用数字符号数量有限，需要数制/进制扩大表示对象的数量。在数字电路（硬件）中，数量运算：采用用二进制逻辑运算：采用布尔代数,十进制,二进制,进制之间的转换,1.2数制,十六进制,八进制,数字要表示的对象是无限的，而表示数字符号是有限的，同时生产生活中很多数字有往复循环的特性。各种不同的应用中使用不同进制：2，10，12，16，60,什么是数制/进制？,一、特点：1、十进制是以10为基数的计数体制。任何一位数可以而且只可以用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数码表示。2、进位规律是“逢十进一”。即9+1=10=1101+0100例如：,式中，102、101是根据每一个数码所在的位置而定的，称之为“权”。,3、在十进制中，各位的权都是10的幂，而每个权的系数只能是09这十个数码中的一个。,十进制数,二、十进制一般表达式:,在数字电路中，计数的基本思想是要把电路的状态与数码一一对应起来。显然，采用十进制是十分不方便的。它需要十种电路状态，要想严格区分这十种状态是很困难的。,一、定义与特点:,二、二进制数的一般表达式为:,1、任何一位数可以而且只可以用0和1表示。2、进位规律是：“逢二进一”。3、各位的权都是2的幂。,二进制数,例如：1+1=,10,=121+020,二进制的定义:以2为基数的计数体制,二进制数特点:,1.位数太多，不符合人的习惯，不能在头脑中立即反映出数值的大小，一般要将其转换成十进制后，才能反映。2.MSB最高有效位，LSB最低有效位，计算机的字长,三、二进制的优点：,1、易于电路实现-每一位数只有两个值，可以用管子的导通或截止，灯泡的亮或灭、继电器触点的闭合或断开来表示。2、基本运算规则简单,运算操作方便。,四、二进制的特点：,例试将二进制数(01010110)B和(10011.101)B转换为十进制数。,解：将每一位二进制数乘以位权然后相加便得相应的十进制数。,(01010110)B=26+24+22+21=(86)D,(10011.101)B=124+121+120+12-1+12-3=(19.625)D,常用方法是“按权相加”。,一、二进制数转换成十进制数：,十二进制之间的转换,二、十进制数转换成二进制数：,1.整数部分:,用“辗转相除”法，将十进制数连续不断地除以2,直至商为零，所得余数由低位到高位排列，即为所求二进制数,整数部分小数部分,问题：如何从(19)D求出右边表达式中的系数？(19)D=(10011)B=124+023+022+121+120,例如:(63)10=(?)2,(63)10=(111111)2,MSB,LSB,技巧,(0.625)D=(0.101)B=12-1+02-2+12-3,2.十进制小数转换为二进制小数：,问题：如何根据小数部分0.625求出等式右边的系数？,十进制小数可表示为：,等式两边依次乘以2,取整可分别得b-1、b-2.直到乘积小数部分为0:,例1.3.5将(0.706)D转换为二进制数，要求其误差不大于2-9。,解：按式(1.3.5)所表达的方法，可得、如下：,0.7062=1.4121b10.4122=0.8240b20.8242=1.6481b30.6482=1.2961b40.2962=0.5920b50.5922=1.1841b60.1842=0.3680b70.3682=0.7360b80.7362=1.4721b9,所以，(0.706)D=(0.101101001)B根据误差要求，至少保留小数点后9位二进制数,MSB,LSB,一、八进制数特点：,八进制和十六进制,1、采用0,1,2,3,4,5,6,7八个数码表示任何一位数。2、进位规律是“逢八进一”。3、各位的权都是8的幂。,例如(144)O=182+481+480=,64+32+4=(100)D,八进制:以8为基数的计数体制,二、二进制数转换成八进制数：,三、八进制数转换成二进制数：将每位八进制数展开成三位二进制数，排列顺序不变即可。,转换时，由小数点开始，整数部分自右向左，小数部分自左向右，三位一组，不够三位的添零补齐，则每三位二进制数表示一位八进制数。,因为八进制的基数8=23，所以，可将三位二进制数表示一位八进制数，即000111表示07,例(10110.011)B=(010110.011)B,例(752.1)O=,=(26.3)O,(111101010.001)B,一、十六进制数特点：1、十六进制数采用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A、B、C、D、E、F十六个数码表示。2、进位规律是“逢十六进一”。3、各位的权都是16的幂。,十六进制,二、二进制数转换成十六进制数：,三、十六进制数转换成二进制数：,因为16进制的基数16=24，所以，可将四位二进制数表示一位16进制数，即00001111表示0-F。,例(111100010101110)B=(0111100010101110)B,将每位16进制数展开成四位二进制数，排列顺序不变即可。,例(BEEF)H=,=(78AE)H,(1011111011101111)B,(1010-A,1011-B,1100-C,1101-D,1110-E,1111-F),八进制数和十六进制数之间转换采用间接转换法：先将八进制数或十六进制数转换为二进制数，再将二进制数转换为相应的进制数。如（75.4）8（111101.100）2(3D.8)16,四、十六进制的优点,十六进制在数字电路中，尤其在计算机中得到广泛的应用，因为：,1、与二进制之间的转换容易；,2、计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二进制最多可计至1111B=15D；八进制可计至7777O=4095D；十进制可计至9999D；十六进制可计至FFFFH=65535D，即64K。其容量最大。,3、计算机系统中，大量的寄存器、计数器等往往按四位一组排列，使十六进制的使用独具优越性。,表1.3.1几种数制之间的关系对照表,1.4二进制算术运算,在数字电路中,0和1既可以表示逻辑状态,又可以表示数量大小,当表示数量时,两个二进制数可以进行算术运算。,不带符号数的计算例：1001+0101=11101000-0101=0011,技巧：减法时，可以把1000看成111+1,带符号数的反码和补码,符号位0代表正数，1代表负数符号位和真值组成机器数（带符号原码）例：X=-1011B，X原码为11011带符号数反码（1scomplement）正数反码就是正数本身负数反码是数值位按位取反（符号位保持不变）反码再求反得到原码例：X=-1011B，X原码=11011，X反码=10100，X反码反码=11011,带符号数补码（2scomplement）正数补码就是正数本身负数补码是负数原码的反码再加1补码再求补得到原码例：X=-1011B，X原码=11011，X反码=10100，X补码=10101，X补码补码=11011,为什么要设计反码和补码？对于计算机，需要把运算电路设计得尽量简洁，为此需要做到：符号位参与运算，这样就不需要符号识别电路2.用加法电路计算减法设计了补码（反码是一个过渡码）达到上述要求。,1.3码制与编码,建立二进制代码与十进制数值、字母、符号等的一一对应的关系称为编码。,若需编码的信息有N项，则需用的二进制数码的位数n应满足如下关系：,代码不表示数量的大小，只是不同事或物的代号，为了便于记忆和处理，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就称为码制。,用二进制数码对事物(文字符号或信息)进行表示，称为二进制代码。,数字系统中的信息分两类：,数值码,代码,(编码表示数码0-9),(编码表示不同对象),09十个数字的编码BCD码,通常用四位0或1表示一位十进制数，只取十个状态。,有多种可能，便产生了多种编码，其中使用最多的是8421码。,四位0或1可产生16个数00001111，而表示十进制数只需要十个代码，其余六个成为伪码。,表1.4.1几种常见的码,余3码,余3循环码,例15=1111（二进制数码）15=00010101（8421码）15=00011011（2421码）15=01001000（余3码）,二进制数与BCD码的区别,格雷码在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码（