第三章-一维稳态和非稳态导热

,内容结构,1稳态导热,2非稳态导热,（1）定义及分类（2）温度变化的不同阶段（3）温度分布和热量变化（4）学习非稳态导热的目的（5）两个相似准数,（1）概述（2）单层平壁的导热（3）多层平壁的导热（4）关于平壁的例题（5）单层圆筒壁的导热（6）N层圆筒壁的导热（7）临界绝热层直径（8）关于圆筒壁的例题,3薄材的非稳态导热,（1）定义（2）温度分布（3）热流量（4）集总参数法的应用条件（5）例题,4半无限大的物体,（1）概念（2）求解过程（3）例题,（1）求解（2）查图（3）例题,5有限厚物体的一维非稳态导热,1稳态导热（1）概述,研究内容：研究固体中的导热问题，重点是确定物体中的温度场和通过物体的导热速率。求解思路:一般来说，对于固体因此，分析导热，先用导热微分方程求得温度场，然后利于傅立叶定律求得导热速率,温度场,固体中温度场,导热速率,热量传输微分方程,固体导热微分方程,傅立叶定律,1稳态导热（1）概述,求解方法：通过导热微分方程求解直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：求解导热微分方程的方法：（1）分析解法；（2）数值解法。,1稳态导热（2）单层平壁的导热,几何条件：单层平板；物理条件：、c、；时间条件：稳态导热，t/=0；边界条件：第一类。且已知；无内热源。由此可得：直接积分：第一类边界条件：,控制方程,边界条件,1稳态导热（2）单层平壁的导热,将边界条件带入控制方程可得：将结果带入微分方程，可以得到下面的单层平壁的导热方程式。热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况,1稳态导热（3）多层平壁的导热,多层平壁：由几层不同材料组成，房屋的墙壁白灰内层、水泥沙浆层、红砖(青砖)主体层等组成；假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等；,边界条件：,热阻：,1稳态导热（3）多层平壁的导热,问：如已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？,由热阻分析法得：,多层、第三类边条件：,1稳态导热（4）关于平壁的例题,例题3：图为具有内热源并均匀分布的平壁，壁厚为2s。假定平壁的长宽远大于壁厚，平壁两表面温度为恒温tw，内热源强度为qv，平壁材料的导热系数为常数。试求稳态导热时，平壁内的温度分布和中心温度。解：因平壁的长、宽远大于厚度，故此平壁的导热可认为是一维稳态导热，这时导热微分方程式可简化为：,相应的边界条件为：x=s时，t=twx=-s时，t=tw,可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：,求解上述微分方程，得：,式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：,所以，平壁内温度分布为：,1稳态导热（4）关于平壁的例题,1稳态导热（4）关于平壁的例题,例题4：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，它们的厚度分别为s1=460mm；s2=230mm，导热系数分别为：1=0.7+0.6410-3tW/m；2=0.14+0.1210-3tW/m。炉墙两侧表面温度各为t1=1400；t3=100，求稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖交界处的温度。解：按试算法，假定交界面温度为t2=900，计算每层砖的导热系数,计算通过炉墙的热通量和界面温度分别为：,将求出的t2与原假设的t2相比较，若两者相差甚大，需重新计算。重设t2=1120，计算的方法同上，中间过程略去，可以得到：,t2与第二次假设的温度值很相近，故第二次求得的q和t2即为所求的计算结果。,1稳态导热（4）关于平壁的例题,计算假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的1/10。圆柱坐标系：一维、稳态、无内热源、常物性，可得下面的方程，考虑第一类边界条件：,1稳态导热（5）单层圆筒壁的导热,第一类边界条件：,可得方程：,1稳态导热（5）单层圆筒壁的导热,应用边界条件：,对该方程积分两次得：,求得系数：,带入第二次积分结果得圆筒壁内温度分布：,圆筒壁内温度分布曲线的形状：圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况：,1稳态导热（5）单层圆筒壁的导热,虽然稳态情况，但热流密度q与半径r成反比！长度为l的圆筒壁的导热热阻：,1稳态导热（5）单层圆筒壁的导热,1稳态导热（6）N层圆筒壁的导热,不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算通过单位长度圆筒壁的热流量,分别考虑单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热，单位长度热阻,1稳态导热（6）N层圆筒壁的导热,由单层圆筒壁考虑多层圆筒壁，见左公式,对于平壁在平壁上敷上绝热层后，热阻:对于圆筒壁在管道外敷上绝热层后，热阻：讨论：(1)对于平壁，敷上绝热层后，热阻增加，散热量减少；(2)对于圆筒壁，当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx（绝热层外径）的函数。当dx增大时，增大，减小，总热阻的情况比较复杂。,1稳态导热（7）临界绝热层直径,当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx（绝热层外径）的函数。求极值：将RL对dx求导，并令其等于0。,1稳态导热（7）临界绝热层直径,1稳态导热（7）临界绝热层直径,继续求RL对dx的二阶导数，可得:说明dc为是总热阻的极小值，即此时热损失最大。,说明：(1)管道外径d2dc，则增加绝热层，可以减小热损失。,1稳态导热（8）关于圆筒壁的例题,例题5：有一半径为R，具有均匀内热源、导热系数为常数的长圆柱体。假定圆柱体表面温度为tw，内热源强度为qv，圆柱体足够长，可以认为温度仅沿径向变化，试求稳态导热时圆柱体内温度分布。解：对于一维稳态导热，柱坐标系的导热微分方程简化得到，即:,两个边界条件中：一个为r=R时，t=tw，由于内热源均匀分布，圆柱体表面温度均为tw，圆柱体内温度分布对称于中心线，另一个边界条件可表示为r=0时，dt/dr=0。将微分方程分离变量后两次积分，结果为根据边界条件，在r=0时，dt/dr=0。可得C1=0；利用另一个边界条件，在r=R时，t=tw，可得,1稳态导热（8）关于圆筒壁的例题,圆柱体内温度分布,1稳态导热（8）关于圆筒壁的例题,例题6：高炉热风管道由四层组成：最内层为粘土砖，中间依次为硅藻土砖和石棉板，最外层为钢板。厚度分别为(mm)：s1=115；s2=230；s3=10；s4=10，导热系数分别为(W/m)：1=1.3；2=0.18；3=0.22；4=52。热风管道内径d1=1m，热风平均温度为1000，与内壁的给热系数1=31W/m2，周围空气温度为20，与风管外表面间的给热系数为10.5W/m2，试求每米热风管长的热损失。,1稳态导热（8）关于圆筒壁的例题,解：已知d1=1m；d2=d1+2s1=1+0.23=1.23m；d3=d2+2s2=1.23+0.46=1.69m；d4=d3+2s3=1.69+0.02=1.71m；d5=d4+2s4=1.71+0.02=1.73m。tf1=1000；tf2=20可求出每米管长的热损失为：,1稳态导热（8）关于圆筒壁的例题,例题7：热介质在外径为d2=25mm的管内流动，为减少热损失，在管外敷设绝热层，试问下列二种绝热材料中选用哪一种合适：(1)石棉制品，=0.14W/m；(2)矿渣棉，=0.058W/m。假定绝热层外表面与周围空气之间的给热系数2=9W/m2。解：计算石棉制品和矿渣棉临界绝热层直径分别为上述条件下用石棉制品作绝热层时，因d石棉d矿热棉，敷设绝热层，热损失将增加，故不合适。而用矿渣棉作绝热层时，d石棉rh，因此，可以忽略对流换热热阻；当Bi0时，rrh，因此，可以忽略导热热阻。,Bi准数对无限大平壁温度分布的影响,由于面积热阻与导热热阻的相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：,2非稳态导热（5）两个相似准数,当1/h/,Bi，这时，由于表面对流换热热阻1/h几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到t。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于t。,当/0，x=0，t=tw0，x=，t=t0解得：三个量x、t、，已知其中任意两个，便可求得第三个量。,4半无限大的物体（2）求解过程,称为高斯误差函数,当时，即t=t0。表明在x处的温度尚未变化，仍为初始温度t0。(1)确定经过时间后壁内温度开始变化的距离；(2)确定x处温度开始变化所需的时间。时刻通过表面(x=0处)的导热通量。应用傅立叶定律。=0到=时间内，在x=0处通过单位表面积的总热量。,4半无限大的物体（2）求解过程,例题2用热电偶测得高炉基础内某点的温度为350，测定时间离开炉120h，若炉缸底部表面温度为1500，炉基材料的热扩散系数为0.002m2/h，炉基开始温度为20，求炉缸底部表面到该测温点的距离。解：高炉基础可视为半无限大物体，界面(x=0处)为炉缸底部表面。因为已知表面温度，故是第一类边界条件的问题。已知：t0=20；tw=1500；t=350，根据半无限大公式可以计算出高斯误差函数：,4半无限大的物体（3）例题,首先计算Biv判断热电偶接点是否为薄材。,由相关数据表可查得：当,4半无限大的物体（3）例题,例题31650的钢水很快注入一直径为3m，高度为3.6m的钢包，钢包初始壁温均匀为650，包内钢水深度为2.4m。已知包壁材料的热物性参数为：=1.04W/m,=2700kg/m3，cp=1.25kJ/kg。试求在开始15min内：(1)由于导热传入包壁的热量；(2)包壁内热量传递的距离。解：假定钢包壁可视作半无限大物体，在钢水和包壁界面(x=0)处温度不变，恒为钢水温度。一般来说，包壁厚度与钢包直径相比很小，可按平壁处理。,4半无限大的物体（3）例题,由此可见，开始15min内，热量传递的距离比一般钢包壁的耐火材料厚度小，故按半无限大物体计算是可以的。,开始15min内传入包壁的热量为：,由热量传递距离可计算得：,4半无限大的物体（3）例题,内容结构,2非稳态导热,（1）定义及分类（2）温度变化的不同阶段（3）温度分布和热量变化（4）学习非稳态导热的目的（5）两个相似准数,3薄材的非稳态导热,（1）定义（2）温度分布（3）热流量（4）集总参数法的应用条件（5）例题,4半无限大的物体,5有限厚物体的一维非稳态导热,（1）求解（2）查图（3）例题,1稳态导热,（1）概述（2）单层平壁的导热（3）多层平壁的导热（4）关于平壁的例题（5）单层圆筒壁的导热（6）N层圆筒壁的导热（7）关于圆筒壁的例题,（1）概念（2）求解过程（3）例题,设有一厚度为2s的无限大平板，其初始温度（t0）均匀，热物性参数为常数，无内热源，开始时突然把平板周围介质温度提高到tf并保持不变，平板与介质间的换热系数为，求物体内的温度分布。（将坐标系的y轴置于平板的中心截面上）微分方程：初始条件：=0，0xs，t=t0边界条件：,5有限厚物体的一维非稳态导热（1）求解,引入过余温度=t-tf，应用分离变量法求解。求解得温度分布公式：ns为Bi的函数，故对于无限大平板，Fo=a/s2。,5有限厚物体的一维非稳态导热（1）求解,工程上，当Fo0.2，取级数的首项，误差小于1%。则有：当Fo0.2，平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度之比为：说明：当Fo0.2以后，虽然(x,)和m()各自均与有关，但其比值与无关，仅与（x/s）及Bi有关。,5有限厚物体的一维非稳态导热（1）求解,平板得到（或失去）的热量公式平板由初始温度t0变化到周围介质温度tf所交换的热量：在时间0-范围内，整个平板得到（或失去）的热量：,5有限厚物体的一维非稳态导热（1）求解,由上面温度分布可知，当Fo0.2时：即平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度之比与无关，只取决于几何位置和Bi数。为了便于计算，工程上广泛采用按分析解的级数的第一项而绘制的图线（诺模图），其中用于确定温度分布的图线称为海斯勒（Heisler）图。,5有限厚物体的一维非稳态导热（2）查图,方法：1、温度的确定：先给出m/0随Fo及Bi变化的曲线，然后根据上式确定/m的值，平板中任一点的温度便可确定。2、热交换量的确定：作出Q/Q0=f(Fo,Bi)的图线。,5有限厚物体的一维非稳态导热（2）查图,无限大平板的中心温度,5有限厚物体的一维非稳态导热（2）查图,无限大平板,5有限厚物体的一维非稳态导热（2）查图,5有限厚物体的一维非稳态导热（2）查图,例题4厚度为200mm的钢坯，在温度为1000的加热炉内双面对称加热，假定铸坯初始温度为20，在加热过程中炉内平均给热系数为=174W/m2，钢的热物性参数为=34.8W/m，a=0.55610-5m2/s，求(1)钢坯在炉内加热36min时钢坯的中心和表面温度；(2)在此时间内钢坯获得的热量。(3)若钢坯厚度为20mm，36min时钢坯的中心和表面温度为？解：因钢坯在炉内紧密排列，故相当于平板状物体的加热。双面对称加热时，其透热深度s=0.2/2=0.1m，因此，在此条件下：,5有限厚物体的一维非稳态导热（3）例题,先计算中心温度，根据1/Bi和Fo查图，得所以钢坯中心温度为tm=tf+0.64(t0-tf)=1000+0.64(20-1000）=372.8然后求钢坯表面温度，查图，当时，故表面温度为tw=tf+0.8(tm-tf)=1000+0.8(372.8-1000)=498.24,5有限厚物体的一维非稳态导热（3）例题,1.非稳态导热的