第九章-系综理论

1,热统,第九章,系综理论,2,热统,但是，自然界中的实际系统内部粒子间的相互作用不能忽略时，系统的能量除每个粒子的能量外，还存在粒子间的作用势能。单粒子态能级l不是由粒子自身的坐标和动量决定，也不能从整个系统的状态中分离出来。因此用单粒子态能级上的分布描述系统的分布是不适合的。,本章介绍系综统计法，处理有相互作用的粒子组成的系统的分布问题。,最概然统计法讨论的是彼此独立或近似独立的粒子系统处于平衡态时的统计规律。总能量为单粒子能量之和。是单粒子能级上的粒子数。,导引,3,热统,为了形象地描述系统的微观状态，引入空间:设粒子自由度为r，以描述系统状态的Nr个广义坐标和Nr个广义动量为直角坐标而构成的2Nr维空间，称为空间或系统相空间。,设整个系统的自由度f=Nr。则经典描述方法中系统的微观状态可用f个广义坐标q1,qNr和f个广义动量p1,pNr表示。,特点：a空间中的一个点代表系统的一个微观态，这个点叫做代表点。,当粒子间的互作用不能忽略时,必须把系统当作一个整体来考虑。,1.空间,b若系统有个微观态，则空间中就有个代表点与之相应。,一系统微观状态的经典描述,9.1相空间刘维尔定理,4,热统,d孤立系E=恒量，系统状态代表点在空间中形成一个等能面（2Nr1维）。,准孤立系：,，能壳,e空间中的体积元,可见，空间是空间的子空间。,c系统微观状态随时间变化时,代表点在空间中描绘出一条相轨道。,经过空间中任一点的轨道只有一条（轨道不能相交），所以从某状态出发，代表点在空间的轨道要么是一条封闭曲线，要么是自身永不相交的曲线。,5,热统,经典理论中，可能的微观状态代表点在空间中连续。取相体积元：,则系统的微观状态处在d内的概率为,统计物理学的基本观点认为，力学量的宏观测量值等于相应微观量对微观状态的统计平均值。,不同微观状态在统计平均中的贡献由概率分布函数体现。要想计算统计平均值，必须知道概率分布函数。,2.相概率分布函数,6,热统,把系统的每一个微观状态假想成一个处于该微观状态下的系统。系统所有可能的微观状态的总数为M，由此，M个微观状态就对应于M个假象的系统，它们各自处在相应的微观状态，这个假象的系统的集合就成为统计系综，或简称为系综。概括为：,系综：大量结构完全相同，处于相同宏观条件下的互相独立的假想系统的集合。,结构相同：同类物质组成（种类、成分等相同）,相同宏观条件：孤立系、闭系、开系。,3.统计系综,7,热统,在足够长的时间内，一个实际系统的微观状态数目很多(设为M个)。描述这一系统的系综里面系统的个数就等于这个实际系统所能实现的微观状态的个数M。,在同一时刻，系综里各个系统都有确定的微观态，它分布在空间中，这些微观态就是实际系统在长时间内所实现(经历)的微观态。,因此统计系综里各个系统在同一时刻的状态反映了实际系统在不同微观时刻的面貌(状态)，这样，某物理量在长时间内的平均就等于系综平均。,8,热统,即系综分布与概率分布等价，故,是在统计系综上的平均系综平均。,则系统的微观状态处在d内的概率为,系统微观状态代表点在空间形成一个分布系综分布D(q,p,t),(q,p,t)表示t时刻在q,p位置附近的代表点密度（单位体积元内的系统微观状态数）。此处体元d内的代表点数(系综中微观状态状态处于d内的系统数)为,9,热统,4.各态历经假说,上述平均值的积分区域是整个相空间系综平均。实际测量值是在一定时间内的平均时间平均：,引入系综的概念后，就可用系综平均值代替时间平均值。,所谓系综平均值，就是微观量B(与微观态对应的物理量)在统计系综中对一定宏观条件下系统所有可能的微观态求平均。,玻耳兹曼提出各态历经假说：孤立系从任一初状态出发，经过足够长的时间后，将经历能量曲面上的一切微观运动状态,于是：时间平均=系综平均,二者应有差别。,10,热统,5.刘维定理（代表点密度随时间的变化规律）,刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中并未引入任何的统计概念；,相空间中的代表点在运动中没有集中或分散的倾向，而保持原的密度。或者说一群代表点经一定时间后由一个区域移动到另一个区域，在新区域中代表点的密度等于在出发点区域中的密度。,定理成立的条件：系统是保守系，即H不显含时间。在所考察的时间内系统不受外界作用的干扰。,如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数-刘维尔定理,说明：,11,热统,物理量B的平均值,要计算宏观量,必须知道系综分布函数S(t)和在各微观态s上B的取值BS。确定S(t)是系综理论的根本问题。,量子理论中，系统的微观状态叫做系统的量子态。,系统处于某s的概率用S(t)表示，则,自由度为f=Nr的系统，要f个量子数确定系统的量子态。,二、系统微观状态的量子描述,12,热统,不同宏观条件下的系统的分布函数不同。本节讨论孤立系(N、E、V一定)。,孤立系是与外界既无能量交换又无粒子交换的系统。由于绝对的孤立系是没有的。所以孤立系是指能量在EE+E之间，且EE的系统。尽管E很小，但在此范围内，系统可能具有的微观状态数仍是大量的，设其为。由于这些微观状态满足同样的已经给定的宏观条件，因此它们应当是平权的。一个合理的假设是，平衡态的孤立系，系统处在每个微观态上的概率是相等的。,由完全相同的极大数目的孤立系统所组成的系综称为微正则系综。微正则系综的概率分布称为微正则分布。,即为等概率原理也称微正则分布,统计意义,9.2微正则系综,13,热统,.量子表达式,设EE+E内系统可能的微观状态数为，则每个状态出现的概率为：,只要求出，则可得微正则分布函数S,.经典表达式,系统的微观状态用q1,qNr,p1,pNr=q,p来描述，状态连续。由等概率原理得,(q,p)=,常数.（当E1和Jz1时，则有m=N的非零解，相应于具有自发磁化强度的铁磁状态。临界温度Tc由Jz=1得到,78,热统,根据计算伊辛模型的平均近似场下的临界指数，可得到与朗道理论相同的结果，说明朗道理论与平均场理论相当。,back,对于一维晶格，平均场近似给出，严格解给出Tc=0，即在有限温度下不存在自发磁化。对于二维平方晶格，平均场近似给出，严格解给出。对于三维立方晶格，平均场近似给出，数值计算给出。我们知道，涨落倾