第五章频率特性法

第五章频率特性法,教学目的,频域分析法是经典控制理论中针对控制系统频域模型的分析方法，讨论控制系统的频率特性，反映正弦信号作用下，系统响应的性能。通过本章学习，使学生们掌握频率特性的基本概念，掌握控制系统的频域分析方法，频率特性曲线的绘制方法，控制系统频率稳定判据和频域指标的估算。,教学重点,1、振荡环节的频率特性曲线2、开环幅相曲线绘制3、开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念,教学内容,1、频率特性的概念2、典型环节频率特性3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念6、闭环系统的频域指标,5-1频率特性,频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法。优点：具有明确的物理意义；计算量很小，采用近似作图法，简单、直观，易于在工程技术中使用；可以采用实验的方法求出系统或元件的频率特性。,对于图5-1所示的电路,当ui(t)是正弦信号时,我们已知uo(t)也是同频率的正弦信号,简单推导如下:设ui(t)=Usint,则其拉氏变换为,而RC电路的传递函数为,(5.1),图5-1RC电路,式中,=RC。则有,(5.2),对式(5.2)进行拉氏反变换（p641-26）,可得,(5.3),式中,=-arctg。,式(5.3)的等号右边,第一项是输出的暂态分量,第二项是输出的稳态分量。当时间t时,暂态分量趋于零,所以上述电路的稳态响应可以表示为,(5.4),若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示,可以得到:,(5.5),式中,G(j)是上述电路的稳态响应与输入正弦信号的复数比,称为频率特性。对比式(5.1)和式(5.5)可见,将传递函数中的s以j代替,即得频率特性。A()是输出信号的幅值与输入信号幅值之比,称为幅频特性。()是输出信号的相角与输入信号的相角之差,称为相频特性。上述RC电路的幅频和相频特性如图5-2所示。,图5-2RC电路的幅频和相频特性,系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下,系统的稳态响应与输入正弦信号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比|G(j)|称为幅频特性,系统稳态输出信号与输入正弦信号的相移()称为相频特性。线性定常系统的传递函数为零初始条件下,输出和输入的拉氏变换之比,频率特性：幅频特性：相频特性：负相角称为相位滞后，正相角称为相位超前。,复量可以写成指数式、三角式或实部与虚部相加的代数式,相位角为,正弦输入信号的频率很高时，输出信号的幅值一定很小。实际系统中传递函数分子阶次低于分母阶次。,5-2典型环节的频率特性,频率特性G(j)是复数，使用很不方便。常用图形表示G(j)的幅值和相角与频率的关系。5.2.1频率特性的表示方法:1.幅相频率特性（奈氏图）2.对数频率特性（Bode图）3.对数幅相特性（尼氏图）,控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换。,极坐标图：在复数的直角坐标或极坐标平面上，由0时，G(j)的轨迹。又称Nyquist图，奈奎斯特图，幅相特性图。波德图（对数频率特性曲线）：由对数幅频特性和对数相频特性组成。伯德图的横坐标按lg分度,即对数分度,单位为弧度/秒(rad/s),对数幅频曲线的纵坐标按线性分度,单位是分贝(dB)。对数相频曲线的纵坐标按()线性分度,单位是度()。对数幅相特性（尼氏图）:将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。,5.2.1极坐标图,惯性环节幅相曲线,2.积分环节积分环节频率特性的极坐标图是虚轴。,3纯微分环节和一阶微分环节纯微分环节一阶微分环节,一阶微分环节的幅相曲线,4振荡环节,振荡环节的幅相曲线,5.延迟环节,概略绘制开环幅相曲线有三个要素：a.确定幅相曲线的起点(=0)和终点(=)b.确定幅相曲线与实轴的交点，设=x时，幅相曲线与实轴相交，则有：,求出x值后，代入实部表达式ImG(jx)H(jx)得到实轴的交点。c.判断开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）,开环幅相曲线的绘制,例：51概略绘制0型系统幅相曲线,解：系统由一个比例环节、二个惯性环节组成。,1.确定开环幅相曲线的起点和终点,2.确定开环幅相曲线与实轴的交点,令虚部j(T1+T2)x=0求得：x=0,说明系统的开环幅相曲线仅在x=0处与实轴有交点。,3.由于惯性环节单调地从0-90,因为该系统有二个惯性环节，所以曲线变化范围为第四、第三象限(-180)。,综上所述，概略绘制幅相曲线的步骤为：1.零型系统在=0时的幅值恰好是开环传递系统k。2.本例中是由两个惯性环节组成，因为惯性环节当=时，幅相曲线趋于0-90。所以本例中当=时，幅相曲线趋于02(-90)=0-180。推而广之，若系统包含n个惯性环节，则=时，幅相曲线必然趋向于0n(-90)。3.如果系统还包含一阶微分环节(TS1)，因为时，一阶微分环节相频特性从090，所以，总的相频特性有如下特点：G(j)=(m-n)90,m：一阶微分环节个数；n：惯性环节个数。,例52，绘制型系统幅相曲线,系统由比例、积分和二个惯性环节组成,由频率特性,幅相曲线在起点处的幅值,与实轴的交点,5.2.2对数频率特性图,伯德(Bode)图。容易绘制，分析直观，应用最广。包括幅频特性图和相频特性图。横轴坐标实际是lg，但标注的是角频率(rad/s)，对数分度，可展现很宽的频率范围。2的频带宽度称2倍频程，10的频带宽度称10倍频程或10倍频，记dec。为0.1、1、10、100、1000的各点间横轴间的距离相等。Lg0=-,横轴上画不出=0的点。幅频特性图纵坐标表示20lgG(j),单位dB（分贝），线性分度。0dB表示G(j)=1，无G(j)=0点。相频特性图纵坐标G(j)，单位是（）或rad,线性分度。Bode图绘制在半对数坐标纸上。传递函数可写成基本环节传递函数相乘的形式，幅频特性由相应的基本环节幅频特性的代数和得到。,1.放大（比例）环节G(s)=K,G(j)=K20lgG(j)=20lgKG(j)=0对数幅频特性是平行于横轴的直线，相距20lgKdB。K1,直线位于横轴上方；K0，则系统闭环稳定性取决于闭合的奈氏曲线包围（-1，j0）点的圈数。当开环传递函数的某些系数发生变化时，闭合的奈氏曲线包围（-1，j0）点的情况也随之变化。因此，在稳定性研究中，称（-1，j0）点为临界点，而闭合曲线相对于临界点的位置即偏离临界点的程度，反映系统的相对稳定性。频域的相对稳定性即稳定裕度常用相角裕度和幅值裕度来衡量。,1相角裕度,幅值穿越（剪切）频率：开环幅值为1的频率。开环极坐标图与单位圆的交点，开环Bode图与0dB线的交点。相角裕度g：表示开环极坐标图与单位圆的交点与（-1,j0）的远近程度。开环稳定的系统，相角裕度为正时闭环稳定，相位裕度为负时闭环不稳定。通常要求g40。,2幅值裕度,相位穿越频率：开环频率特性相位为-180的频率。幅值裕度极坐标图Bode图幅值裕度表示开环极坐标图与负实轴的交点与点（-1,j0）的远近程度。开环稳定的系统，相位裕度为正时闭环稳定，相位裕度为负时闭环不稳定。通常要求,55闭环系统的频域指标,控制系统中最直接的性能指标是时域指标。但频域分析法中涉及到的一些重要特征值，如开环频率特中的相位裕量、增益裕量；闭环频率特性中的谐振峰值、频带宽度和谐振频率等与控制系统的瞬态响应和稳态误差存在着间接或直接的关系。,55闭环系统的频域指标,1.控制系统的频带宽度：设系统闭环频率特性如下图，当闭环幅频特性下降到频率为0时的分贝值以下3分贝时，对应的频率称为带宽频率，记为b。,系统的频带宽度反映了系统复现输入信号的能力，具有宽的带宽的系统，其瞬态响应的速度快，调整的时间小。,闭环频率特性的谐振峰值Mr与谐振频率r,截止频率b和频带宽度0b,(),55闭环系统的频域指标,系统的单位响应速度和带宽成正比。以一阶系统的上升时间为例,带宽b大，则上升时间tr小，系统响应速度快,55闭环系统的频域指标,对于一阶系统和二阶系统，带宽和系统参数具有确定的解析关系,一阶系统：,二阶系统：,一阶系统的带宽和时间常数T成反比，二阶系统的带宽和自然频率n成正比。,带宽是频域分析中的一项重要指标，带宽大，表明系统能通过较宽的频率信号，带宽小，则系统只能通过较低的信号。带宽大的系统，一方面重现输入信号的能力强，而另一方面，抑制高频噪声的能力就弱。,时域指标稳态指标：稳态误差，误差度v，开环放大系数K。动态指标：过渡过程时间，最大超调，上升时间，峰值时间，振荡次数N。频域指标开环指标：幅值穿越（剪切）频率，相位裕度，幅值裕度。闭环指标：闭环谐振峰值，谐振频率，截止频率。,二阶系统性能指标间的关系,准确关系式阻尼大小：响应速度：,高阶系统性能指标间的关系,经验公式,55闭环系统的频域指标,3.闭环系统频域指标和时域指标的转换系统时域指标物理意义明确、直观，而开环频域指标相角裕度和截止频率c的大小在很大程度上决定了系统的性能，故，工程上常用和c来估算系统时域性能指标。,相角裕度与超调量%，调节时间ts存在内在联系。,对于二阶系统，相角裕度与时域指标有确定的关系。,对于高阶系统，相角裕度与时域指标没有确定的函数关系，但对于大多数实际系统，相角裕度相同的系统，其时域指标差别也有限，因此可以用相角裕度来粗略估算时域指标。,55闭环系统的频域指标,证明：由确定二阶系统时域指标，设二阶系统开环传递函数:,作出开环幅相图，由相角裕度的定义，开环幅相曲线与单位圆交点处的频率称为截止频率c。,所以，在=n时，开环频率特性为,方程两边同时平方，解此方程得：,55闭环系统的频域指标,再由相角裕度的定义：,56闭环系统的频域指标,从（5120式）可知，与阻尼比存在一一对应的关系，见p228图551，越大，就越大，为了使系统具有良好的动态特性，一般希望：3070,由估算时域指标方法：1）根据要求的相角裕度，从图551查出；2）由可求出超调量,，则可求出调节时间。,如能确定,由公式,n,n,s,t,w,xw,5,.,3,=,3）,小结,1、频率分析法是在频域内应用图解法分析控制系统性能的一种工程方法，。,2、频率特性是指线性系统在正弦输入信号作用下的稳态输