第5章-空间力系

第5章空间力系,1了解力在空间坐标轴上的投影、力对轴的矩。2掌握空间力系的平衡条件和平衡方程。3了解重心的概念及其求法。,5.1力在空间坐标轴上的投影,工程中常常遇到各力的作用线不在同一平面内的力系如图所示的各种力系，统称为空间力系。而当各力的作用线汇交于一点的力系又称为空间汇交力系(图(a)；各力的作用线彼此平行的力系称为空间平行力系(图(b)；各力的作用线在空间任意分布的力系称为空间任意力系(图(c)。它们是最一般的力系。空间力系的研究方法与平面力系基本相同。,一、力在空间的表示及在空间坐标轴上投影,设空间力F作用于物体的0点，空间表示如图所示,1一次投影法,若已知力F与坐标轴间的方向角、，则力F在x、y、z三个坐标轴上的投影为(如图(a),X=Fcos，Y=Fcos，Z=Fcos,此为一次投影法，也叫直接投影法。,反过来若已知力F在三轴z、y、z上的投影X、Y、Z，也可求出力F的大小和方向，即,由直角坐标中矢量沿各坐标轴的分量与其在该轴上的投影的关系，则力F沿空间直角坐标轴分解表达式可表示为,式中，i、j、k为沿z、y、z三个坐标轴正向的单位矢量。Fx=Xi，Fy=YjFz=Zk，它们是力F沿三个方向的分量。,例题力系中，F1=100N，F2=300N，F3=200N，各力作用线的位置如图所示。试将力系向原点O简化。,解由题意得,X=Fcoscos，Y=Fcossin，Z=Fsin,此为二次投影法。,注意:力在轴上的投影是代数量，而力在xy平面上的投影F。是矢量，因为它也有大小和方向.,2二次投影法,若已知力F与坐标轴间的仰角和俯角，则先将力F投影在xy平面和z轴上，然后将xy平面上的投影Fxy。再投影到x、Y轴上。即,5.2力对轴的矩、力对点的矩与合力矩定理,一、力对轴的矩的概念及计算,平面内力对点的矩可以看成是空间物体绕通过O点且垂直于该平面的z轴转动（如图所示），所以平面内力对点的矩实际上就是空间的力对轴之矩。,符号规定（右手螺旋法则）,两种特殊情况：,代数量,二、力对点的矩的概念及计算,在平面力系中力对点的矩和空间力对轴的矩都是用代数量表示，这是因为它们力与矩心所在的平面(力矩作用面)是固定不变的。,空间力对点的矩是一个矢量，用m0(F)表示(如图)。该矢量通过矩心0，垂直于力矩作用面。,方向：遵循右手规则即对着力矩矢看去，逆时针方向为正，顺时针为负。,大小:,说明：力矩矢量为一定位矢量，当矩心的位置改变时，m0(F)的大小及方向也随之而变。,矢量式:,力对于任一点的矩等于矩心至力的作用点的矢径与该力的矢积。上式称为力对于点的矩的失积表达式。,平面力对点之矩和空间力对点之矩的区别,1.平面问题中，由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内，因此力矩矢总是垂直于该平面，即力矩的方向不变、指向可用正、负号区别，是一个代数量。,2.空间问题中，矩心与力矢不在同一平面内，力矩矢垂直于矩心和力共同确定的平面，即力矩的方向随矩心或力位置的不同而改变、指向可用正、负号区别，是一个矢量。,三、力对点的矩与力对通过该点轴的矩的关系,即：力对任意一点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴之矩（力矩关系定理）。,力F对于O点矩矢的大小为,力F对于通过O点的任一z轴的矩的大小为,由几何关系可知,可得,应用力矩关系定理可以求出力对于坐标轴的矩的解析表达式。若以矩心D点为原点作坐标系0 xyz，力F及其作用点A的矢径r可表示为,力F对于O点矩矢为,力F对于各坐标轴的矩,四、合力矩定理,与平面力系情况类似，在空间力系中也有合力矩定理，空间力系的合力对某一轴的矩等于力系中所有备分力对同一轴的矩的代数和。,例5-1已知力P=2000N，作用于曲柄的C点上(c点在Oxy平面内)，尺寸如图所示。试求该力对图示三个坐标轴的矩。,解首先将力P向z、y、z三个坐标轴分解，通过二次投影法，可求得力P在x、y、z三个坐标轴的分力为,Px=Pcos45sin60，Py=Pcos45cos60，Pz=Psin45,应用合力矩定理可得,例题水平圆盘的半径为r，外缘C处作用有已知力F。力F位于铅垂平面内，且与C处圆盘切线夹角为60，其他尺寸如图a所示。求力F对x，y，z轴之矩。,解（1）方法1，如图b所示，由已知得,（2）方法2,5.3空间汇交力系的合成与平衡,1)几何法,几何法也是应用空间力多边形法则。用空间力多边形的封闭边来表示空间汇交力系的合力，其合力的作用线通过力系的汇交点，用矢量式表示为,2)解析法,空间汇交力系F1，F2，Fn汇交于点O。以O为空间坐标系原点。各力分解表达式为,一、空间汇交力系的合成,代人式(5-11)后得,则有,这就是空间力系的合力投影定理即空间力系的台力在某一轴上的投影等于力系中所有备力在同一轴上投影的代数和。,合力R的大小为,合力R的方向为,二、空间汇交力系的平衡,由于空间汇交力系的合成结果为一合力，所以空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力为零，即,即空间汇交力系几何法平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭。,空间汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：该力系中所有各力在三个坐标轴中每一个坐标轴上投影的代数和等于零即,此式称为空间汇交力系的平衡方程。,例5-2重为P的物体由杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承(如图)。杆AB在B处由铰链与铅垂面连接。巳知P=1000N，CE=ED=12cm，EA=24cm，=45，不计杆重，求绳索的拉力和杆AB所受的力。,解取节点A为研究对象，作用于A点的力有重力P、绳索的拉力Tc与TD及杆的约束反力s(因不汁杆重，故杆AB为二力杆，s方向必沿杆AB的连线)。这些力组成一空间汇交力系。,选取坐标系Axyz如图(b)所示，由,解得,为求Tc和TD，将各力投影在Axy水平面内，得一平面汇交力系(图(c)，其中S是力s的投影，其大小为s=sin。对此投影力系列平衡方程,而,解得,例题空间构架由3根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图a所示。A，B和C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物重P=10kN，求铰链A，B和C的约束力。,解取节点D为研究对象，设各杆受拉力，受力如图b所示。在力系作用下平衡：,又有,解得,例题在图a所示起重机中，已知AB=BC=AD=AE；点A，B，D和E等均为球铰链连接，如三角形ABC的投影为AF线，AF与y轴夹角为。求铅直支柱和各斜杆的内力。,解（1）节点C为研究对象，受力及坐标系如图d所示，其中x轴沿BC，y轴铅直向上。,解得,(2)节点B为研究对象，受力及坐标系如图b、c所示,解得,5.4空间任意力系的平衡方程与空间约束,1空间任意力系的平衡方程,设刚体上作用有空间任意力系F1，F2，Fn。(图(a)，该力系既可能使刚体沿空间x、y、z三个轴方向移动，又可能使刚体绕空间x、y、z三个轴方向转动。若刚体在该空间任意力系作用下保持平衡，则要求刚体既不能沿空间z、y、z三个轴移动，也不能绕空间x、y、z三个轴转动(图(b)。,若保证刚体沿x、y、z三个坐标轴方向都不移动。则必须要求此空间任意力系各力在z、y、z三个坐标轴中，每个轴上投影的代数和为零。同理若保证刚体不绕x、y、z三个空间坐标轴转动，也必须要求该空间任意力系各力对x、y、z三个轴中每个轴的矩的代数和为零。即,这就是空间任意力系平衡的必要与充分条件。,对于空间汇交力系，若选择空间汇交力系的汇交点为坐标系0 xyz的原点（如图），则由于各力与三个坐标轴x、y、z轴都相交，因此，不论此力系是否平衡，各力对三个坐标轴中每个轴的矩都恒为零，即,所以，空间汇交力系的平衡方程为,对于空间平行力系，假设力系中各力均与z轴平行(如图)，则各力对z轴的矩必等于零，又由于平行于z轴的力在x、y轴上的投影必为零。所以有,因此，空间平行力系的平衡方程为,2空间约束,例5-3三轮起重机可简化为图所示，车身重G=100kN，重力通过E点(E点为A、B、C三个轮组成等边三角形的中心)。巳知a=5m，b=3m，起吊物重P=20kN，且重力通过F点，FHA在一条直线上且垂直平分BC。设轮A、B、与地面为光滑接触，求地面对起重机二个轮的约柬反力。,解取起重机为研究对象，作用于起重机上的力有重力G与P，以及地面对三个轮的反力NA、NB、NC，这五个力组成一个空间平行的平衡力系，选坐标系Hxyz如图所示，列空间平行力系的平衡方程：,由（2）式得,由（3）式得,代入（1）式得,例5-4车床主轴装在轴承A与B上(如图)，其中A为向心推力轴承，B为向心轴承。圆柱直齿齿轮C的节圆半径Rc=l00mm，在它的最下点与另一齿轮啮合，且受力为Q。在轴的右端固定一半径为RD=50mm的圆柱体工件，车刀给工件的切削力Px=466N，Py=352N，Pz=1400N，试求齿轮C所受的力Q和两轴承A、B处的反力。,解选主轴连同齿轮C和工件一起为研究对象，受力如图所示，共受九个力作用，是空间任意力系。,方法1：直接应用空问任意力系平衡方程求解。,选取坐标系Axyz如图，列平衡方程，先列出只含有一个未知数的平衡方程，使得每列一个方程就能解出一个未知数。由,解得,由,解得,由,解得,由,解得,由,解得,由,解得,方法2：将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解,首先将图中的空间任意力系投影到Axz平面，如图(a)。由,解得,投影在Ayz平面，如图(b)所示。由,解得,由,解得,由,解得,投影在Axy平面，如图(c)所示。由,由,解得,解得,例题图a所示空间桁架由杆1，2，3，4，5和6构成。在节点A上作用1个力F，此力在矩ABDC平面内，且与铅直线成45角。EAK=FBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。,解(1)节点A为研究对象，受力及坐标如图b所示,解得,（2）节点B为研究对象，受力如图b所示,解得,例题：均质长方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球铰链固定，角B处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角B在x，z方向的运动,EC为钢索，将板支持在水平位置上,试求板在A,B处的约束力及钢索的拉力。,解：1.以板为对象画出受力图,2.列平衡方程,5.5空间平行力系的中心与物体的重心,物体的重力就是地球对物体的引力，物体上每个微小部分都受地球引力的作用，这些引力组成的力系是一个空间汇交力系（交于地球的中心）。由于物体的尺寸与地球的半径相比小得多，因此可近似地认为这个力系是一空间平行力系，此平行力系的合力W，称为物体的重力。通过实验我们知道，无论物体怎样放置，这些平行力的合力总是通过物体内的一个确定点（即平行力系的中心），这个点叫做物体的重心。,质心即物体的质量中心，只与物体的质量分布有关，与物体是否受引力作用无关。一般情况下，物体的质心与重心是相重合的。,1.空间平行力系的中心和重心的概念,均质物体,薄板物体,2.物体重心坐标公式,合力矩定理,形心：物体几何形状的中心。对于均匀物体，与重心重合,对y轴取矩,对x轴取矩,对x轴取矩,一般物体,3.物体重心的求法,1.组合法它是将形状比较复杂的物体分成几个部分，这些部分形状简单，其重心位置容易确定，再根据重心坐标公式求出组合形体的重心。,2.对称性法具有对称轴、对称面、对称中心物体，其重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。,3.负面积法若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心时，仍可应用分割法，只是切去部分的面积（或体积）应取负值。,4.实验法（形状复杂而不便于计算或非均质物体）（1）悬挂法：先将物体悬挂与任一点A,根据二力平衡原理,重心必在经过悬挂点的铅直线上，在物体上画出此线。然后再将物体悬挂与另一点B，同样画出另一直线，两线的交点即为重心。（2）称重法：先称得重物的重量,然后将其放在水平面上,测出相关的距离尺寸，根据物体受力分析求出其重心。,例5-5已知组合体如图所示，S1和S2分别是长方形和半圆形均质薄板，求该组合体的重心。,解该组合体由两部分组成，长方形和半圆形，选坐标系如图5-18所示，由表5-2可查得各单个形体的重心和面积为,因为Y轴为对称轴，故组合体的重心必在Y轴上，由重心坐标公式,而xc显然为0,例题:图为Z形钢的截面,图中尺寸单位为cm。求Z形截面的重心位置。,解：将Z形截面分割为三部分，每部分都是矩形。设坐标Oxy，它们的面积和坐标分别为：,将数据代入薄板重心坐标公式中，得到Z形截面重心位置为,例题：已知振