函数周期性的五类经典题型

周期性类型一：判断周期函数1.求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足答案：（1）令 T=2周期函数（2） T=4周期函数（3） T=4（4） T=8类型二：求值1.已知函数f(x)是定义在(，)上的奇函数，若对于任意的实数x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时f(x)log2(x1)，则f(2 013)f(2 014)的值为()A1 B2C2 D1解析：选A因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(2 013)f(2 014)f(2 013)f(2 014)f(1)f(0)又当x0,2)时，f(x)log2(x1)，所以f(2 013)f(2 014)101.2.若偶函数yf(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f(6)等于_（对定义域的运用）解析：yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(xa)(3x3)，f(x)x2(1a)xa,1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.答案：13.定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2 016)_.解析：x0时，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)，相加得f(x1)f(x2)，即f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，进而f(2 016)f(3366)f(0)31.答案：4.已知函数f(x)的定义域为R，当x时，ff，则f(6)_. （转化）答案2解析当x时，ff，即f(x)f(x1)，T1，f(6)f(1).当x0时，f(x)x31，且1x1，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)2.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)_. （利用周期和奇函数改变范围）押题依据利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性.答案1解析由f(x2)f(x2)f(x)f(x4)，因为4log2205，所以0log22041，14log2200在1，3上的解集为() （数形结合，类似于正余弦函数图像）A(1，3) B(1，1)C(1，0)(1，3) D(1，0)(0，1)解析：选C.f(x)的图象如图当x1，0)时，由xf(x)0，得x(1，0)；当x0，1)时，由xf(x)0，得x；当x1，3时，由xf(x)0，得x(1，3)故x(1，0)(1，3)2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_解析：因为f(x)为奇函数并且f(x4)f(x)（对称轴）所以f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)，且f(x8)f(x4)f(x)，即yf(x)的图象关于x2对称，并且是周期为8的周期函数因为f(x)在0，2上是增函数，所以f(x)在2，2上是增函数，在2，6上为减函数，据此可画出yf(x)的图象其图象也关于x6对称，所以x1x212，x3x44，所以x1x2x3x48.类型五：综合1.偶函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且在x0,1时，f(x)，若直线kxyk0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是_.答案(，)解析因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，又f(x)是偶函数，所以f(x1)f(1x)，即有f(2x)f(x)，所以f(x)是周期为2的函数.由y，得x22xy20，即(x1)2y21，画出函数f(x)和直线yk(x1)的图象.因为直线kxyk0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，所以根据函数图象易知，k.2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为_答案7解析因为当0x2时，f(x)x3x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，所以f(3)f(5)0