必修四平面向量基本定理(附答案)

平面向量基本定理学习目标 1。理解平面向量基本定理的内容，理解基于向量的集合的意义。2.在平面内选取一组基准面后，将使用这组基准面表示其他向量。3.应用平面向量基本定理解决平面向量的综合问题。知识点平面向量基本定理(1)定理：如果E1，E2是不在同一平面内共线的两个矢量，则此平面内的任意矢量a只有一对实数1，2，而a=1 E12。(2)基底：非共线向量E1，E2称为基底集合，表示此平面内的所有向量。如图所示，E1，E2是两个非共线矢量，E1，E2表示矢量，a答案可以通过观察得到：=2e1 3e2，=-E1 4e2，=4e1-4e2，=-2e1 5e2，=2e1-5e2，a=-2e1。知识点两个向量的角度和垂直(1)夹角：如果您知道两个非零向量a和b，例如图=a，=b，则AOB=(0180)称为向量a和b之间的角度。范围：矢量a和b之间的角度范围为0，180。 =0时，a与b方向相同。 =180时，a和b相反。(2)垂直：如果a和b之间的角度为90，则a与b垂直，记录为ab。请在等边三角形ABC中写出以下矢量的夹角。、回答和的角度是60。 120之间的角度；夹角为60。与的角度为180。基本了解问题类型的矢量对范例1 E1，E2是平面内不共线的两个向量时，以下描述不正确_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。 E1 E2 (，/r)可表示平面内的所有矢量；平面内所有矢量a的a= E1 E2的实数对(，)是无限的。如果矢量 1 E1 1e 2和 2e 1 2e 2共线， 1 E1 1e 2= ( 2e 1 2e 2)只有一个实数。实数，为 E1 E2=0时=0。答案 分析可以通过平面矢量的基本定理知道。那是正确的。从平面向量的基本定理可以看出，一个平面的基准确定后，其基底上任意向量的实数对是唯一的。情况下，当两个矢量的系数都为0时，即 1= 2= 1= 2=0时，这样的有无数个数。追踪训练1是E1，E2不是共线的两个向量，给出了以下四组向量：e1和E1 E2 E1-2e 2和E2-2e 1； E1-2e2和4e2-2e 1； E1 E2和E1-E2。其中基底组的序号可以是平面内的所有向量_ _ _ _ _ _ _ _。(记录满足条件的所有序号)答案 4e2-2e1=-2e1 4e2的分析=-2 (E1-2e2)，E1-2e2与4e2-2e1共线，不能用作基准。问题2以基座表示向量示例2如图所示，在“-ABCD”中，e，f分别是BC，DC边的中点，=a，=b表示a，b是缺省值，解决方案/四边形ABCD是平行四边形，e，f分别是BC，DC边的中点。875=2，=2，=b，=-=-a=-=-b a b=a-b，=b-a途径培训2图，已知ABC中，d是BC的中点，e，f是BC的三等分点，例如=a，=b，a，b，解决方案=a(B- a)=a b；=a(B- a)=a b；=a (b-a)=a b问题类型3向量角度问题示例3已知的| a |=| b |=2，a和b之间的角度为60，a b和a的角度为，a和a的角度为， 。图=a、=b和/AOB=60，以OA，OB为邻居，创建了“Rick OACB”，=a b，=-=a-b，=a| a |=| b |=2，因此OAB是正三角形。所以OAB=60=ABC，A-b和a之间的角度=60。平行四边形OACB是钻石，因为| a |=| b |。所以oc ab，也就是coa=90-60=30，A b和a之间的角度=30，所以 =90。追踪训练3寻找与a0、b0和| a |=| b | | a-b |、a b的角度。A b由向量运算的几何意义知道，a-b是以a，b为邻居的平行四边形的两条对角线。图，| a |=| b |=| a-b |，宝儿=60。菱形=从a+b到/a b，对角OC平分BOA，与a b的角度为30。问题4平面向量基本定理的应用在OAB中，=a，=b，=b，点m是AB中接近b的三等分点，点n是OA中接近a的四等分点之一，如图4所示。OM和BN与点p相交。解决方案=(-)=a b，因为与共线，所以可以设定=t=a b。您可以设定共线且=s、=s=s (-)=(1-s) a sb，所以解开了所以=a b轨迹训练4如图所示，在ABC中，点m是AB的中点，=，BN在e与CM相交。设定=a，=b，测试基准a，b表示向量。轻松解决方案=b，=a，n，e，b在三点共线且具有实数m的情况下满足=m (1-m)=m b (1-m) a .符合实数n:=n(1-n)=na(1-n)b因此，m b (1-m) a=na (1-n) b，因为a，b是基数所以=a b矢量角度的概念不明确。范例5已知为=2a，=2b，=-a 3b，以取得向量的夹角。无效解释为：=-=2a-2b，=-=(-a 3b)-2b=-a b，显然=-2，由于与可见共线，因此两者之间的角度为零。当两个向量共线且相互共线时，如果两个向量之间的角度为0，两个向量反转并共线，则两个向量之间角度为180的向量共线时，上述回答无法识别此问题，从而导致错误。正解决方案为，=-=2a-2b，=-=(-a 3b)-2b=-a B。显然，=-2，与可见共线，翻转线，因此之间的角度为180。1.如果将E1，E2设定为平面中所有向量的预设集，则无法将E1，E2用作以下四组向量的预设集()A.E1 E2和E1-e2b.3e1-4e2和6e1-8e2C.E1 2e2和2e1 e2d.e1和E1 E22.如图所示，如果显示为=a、=b、=3、a、b，则等于()A.a b.a bC.a b D. a b3.在直角三角形ABC中，BAC=30时，与的角度等于()A.30b.60C.120d.1504.向量m=2a-3b，n=4a-2b，p=3a 2b，评估版m，n为p，p=_ _ _ _ _ _ _ _。5.如图所示，在已知梯形ABCD中，ABCD、ab=2cd、e和f分别是DC、AB的中间点，=a，=b，评估版a、b是基本表示法，一、选择题1.以下关于基板的声明是正确的()平面上不共线的两个矢量可以用作一组基准。基板的矢量可以是0矢量。平面内的基础确定后，该平面内的向量对于基础的线性分解形式是唯一确定的。A. B. C. D. 2.如图所示，在矩形ABCD中，=5 E1，=3e2等于()A.(5 E1 3e 2) B. (5 E1-3e 2)C.(3e 2-5 E1) D. (5e 2-3e 1)3.在图中，e，f分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF和AC在点g处划分，如果=a，=b，则表示a，b等于()A.a b.a bC.a-b D. a b4.如果集矢量E1和E2是3xe1 (10-y) E2=(4y-7) E1 2xe2，则实数y的值为()A.3 b.4 C.-D.-5.如果d点位于三角形ABC的边BC上，=4=r s，则3r s的值为()A.b.c.d二、填空6.已知E1，E2不共线，a=E1 2e2，b=2e 1 E2，若要启用平面中的a，b做为基准集，实数的值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _。7.例如，在四边形ABCD中，如果AC和BD在点o相交，=a、=b和=2，则=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(显示为a和b)。8.| a |=| b |=| a-b |=r (r0)时，a和b之间的角度为_ _ _ _ _ _ _ _ _。9.如图所示，在平行四边形ABCD中，e和f分别是边四边形CD和BC的中点，= ，其中/r表示 =_ _ _ _ _ _ _ _。10.设定d，e分别设定ABC的边AB、BC的点、ad=ab、be=BC，并且= 1 2 ( 1，2为实数时， 1 2的值为_ _ _ _ _ _ _ _)第三，解决问题11.判断以下命题的错误并说明原因。(1)如果ae1 be2=ce1 de2 (a，b，c，d/r)，则a=c，b=d；(2)如果E1和E2是表示平面内所有向量的一组基础，则平面内的所有向量都可以表示为E1 E2，E1-E2。12.在图解中，平面包含3个向量：到120的角度，到30的角度，以及| |=|=1，| |=2。 (，/r)，寻找值。13.已知单位圆o的两点a、b和具有单位圆的平面中的点p不共线。(1)在OAB中，点p位于AB中，=2，对于r s，我们得到r s的值。(2)P满足=m (m是常数)当四边形OABP是平行四边形时，取得m的值。党会检测答案1.回应b在分析b中，-6 E1-8e 2=2(3e 1-4e 2)，6 E1-8e2-(3e1-4e2)、3e1-4e2和6e1-8e2不能用作基准。2.回应b语法分析=(-)=a b3.回答d分析由矢量角度定义，角度为150。4.回答-m n语法分析p=XM yn，3a 2b=x(2a-3b)y(4a-2b)=(2x 4y)a(-3x-2y)b，是的5.连接FD、DC 8直流在线FB。四边形DCBF是平行四边形。标题，=b，=-=-=a-b，=-=-=-=-(a-b)-b=b-a .上课时间批改答案一、选择题1.回答c错，正确，因为零矢量与任意矢量共线，所以零矢量不能成为基板的矢量。2.回答a分析=(-)=(5 E1 3e2)。3.回答d易于理解的分析=，=。设定=，可以通过平行四边形法则得到。= ()=2 2 ，如果e，g，f 3点共线，则2 2 =1，=，因此=，因此=(a b)。4.回答b3xe1 (10-y) E2=(4y-7) E1 2xe2，因此，(3x-4y 7) E1 (10-y-2x) E2=0，您可以选取b，因为E1和E2是平面中所有向量的预设集。5.回答c分析=4=r s，=(-)=r s，r=，s=-。3r s=-=。二、填空6.答案(-，4) (4，)如果分析可以作为平面内的一组基准进行操作，则a和b不共线。A=E1 2e2，b=2e 1 E2，在Akb中得到4。7.回答a b解析设定=，()=()=。 =1，因此=，所以=a B8.回答60解释为：=a，=b表示=a-b，| AOB是a和b之间的角度，| a |=| b |=| a-b |已知如果AOB是等边三角形，| AOB=60。9.答案分析设置=a，=b，A b，=a b，另外，/a b，=()，即=，=。10.答案语法分析知道=(-)=-。所以 1 2=。第三，解决问题11.解(1)在E1和E2共线时，结论不一定成立。(2)假设正确且E1 E2与E1-E2共线，则存在E1 E2= (E1-E2)，即(1-) E1=-(1 ) E2。1-和1 不同时为0，因此E1与E2共线，E1和E2不共线。因此，E1 E2与E1-E2不共线，因此平面中的所有矢量都