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文档简介

椭圆一个性质的应用 性质 如图1，椭圆上任意一点与过中心的弦的两端点、连线、与坐标轴不平行，则直线、的斜率之积为定值证明 设，则图1所以 由得， 所以，所以为定值这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明一、证明直线垂直例1 如图2，已知椭圆，是其左、右顶点，动点满足，连结交椭圆于点求证：图2证明 设，由性质知，即 直线，的斜率分别为 ，所以 将代入得，所以例2 如图3，PQ是椭圆不过中心的弦，A1、A2为长轴的两端点，A1P与Q A2相交于M，P A2与A1Q相交于点N，则MNA1A2图3证明 设M（x1，y1），N（x2，y2）由性质知，即，所以 ， 即，所以 比较与得，所以，所以所以MNx轴，即MNA1A2二、证明直线定向xyAOBCDMN图4例3 如图4，已知A(2，1)，B(2，1)是椭圆E：1上的两点，C，D是椭圆E上异于A，B的两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点NCA，CB，DA，DB的斜率都存在 求证：直线MN的斜率为定值证明 设，由性质知，即， ，即 所以， ， 由得所以，即直线MN的斜率为定值三、证明点的纵坐标之积为定值例4 如图5，已知椭圆C：1，过椭圆C的右焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，求证：yMyN为定值图5证明 当直线AB的斜率k不存在时，易得yMyN9.当直线AB的斜率k存在时，由性质知kPAk，所以kPA.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x2，y2)，所以直线PA的方程为yy2(xx2)，因为右准线l的方程为，所以yM(x24)y2，因为三点共线，所以直线AB的斜率k.所以yMy2.因为直线PB的方程为yx，所以yN.所以yMyN3.又因为1，所以4y123x，所以yMyN39，所以yMyN为定值9.由以上几个例题，同学们会看到，这个性质
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