平面向量知识点易错点归纳

5.1平面向量和线性运算的概念1.向量的相关概念名字定义评论矢量有大小和方向的数量；向量的大小称为其长度(或模数)平面向量是自由向量零矢量长度为0的向量；它的方向是任意的。记为0单位矢量长度等于1个单位的向量非零向量的单位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量0与任何向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量也称为共线向量。等向量相同长度和方向的向量这两个向量只是相等或不相等，大小无法比较。反向向量长度相等方向相反的向量0的逆向量是02.向量的线性运算向量运算定义定律(或几何意义)运输法则添加求两个向量之和的运算(1)交换法：a b=b a. (2)结合法：(a b) c=a (b c)。减法求A和B-B的相反向量之和的运算称为A和B之间的差三角形规则a-b=a+(-b)数字乘法实数与向量A乘积的运算(1)|a |=| | a |；(2)当0时，a的方向与A的方向相同；当0时，a的方向与A的方向相反；当=0时， a=0(a)=()a；(+)a=a+a；(a+b)=a+b3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是只有一个实数，因此b= a。方法和技术1.向量的线性运算必须满足三角形法则和平行四边形法则。做这道题时，我们应该注意三角形法则和平行四边形法则的要素。矢量加法三角形法则的要素是“端到端，指向末端”；矢量减法的三角形法则元素是“起点重合，指向简化矢量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”。2.矢量共线性可以用来证明线段是平行的或三点共线的。如果和AB与CD不共线，ABCD；如果,点a，b和c是共线的。错误与预防1.解决向量的概念问题，要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。应特别注意零矢量的特殊性。2.当使用向量减法时，很容易得到两个向量的错误顺序，从而得到所需向量的相反向量，导致错误。5.2平面向量基本定理和坐标表示1.平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面上的两个非共线向量，那么对于该平面上的任何向量A，只有一对实数1和2，使得A= 1E1 2E2。其中，非共线向量e1、e2被称为表示该平面中所有向量的一组基。2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘法和向量模让a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，然后a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，a=(x1，y1)，|a|=。(2)矢量坐标的求解(1)如果矢量的起点是坐标的原点，那么终点的坐标就是矢量的坐标。(2)如果设置了A(x1，y1)和B(x2，y2)，则=(X2-X1，Y2-Y1)，| |=。3.共线平面向量的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b0 . abx1y 2-x2y 1=0。方法和技术1.平面向量基本定理的实质是利用向量加法的平行四边形法则分解向量。向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标算法是运算的关键。2.共线平面向量的坐标表示(1)两个向量平行的充要条件如果a=(x1，y1)和b=(x2，y2)，则a b的充要条件是a= b，这与x1y2-x2y1=0基本相同，但形式不同。(2)三点共线的判断方法要判断这三个点是否共线，首先找到由这三个点组成的任意两个向量，然后根据这两个向量的共线性进行判断。错误与预防1.为了区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标包含两种信息：向量大小和方向；两个矢量共线，方向相同，方向相反。2.如果a=(x1，y1)和b=(x2，y2)，a b的充要条件不能是如果已知两个非零向量a和b，并且它们的夹角为，则量|a|b|cos 称为a和b的量(或内积)的乘积，表示为ab=| a | | b | cos。规定：零矢量和任意矢量的乘积是_0_。两个非零向量a垂直于b的充要条件是ab=0，两个非零向量a平行于b的充要条件是ab=| a | | b |。2.平面向量个数乘积的几何意义定量积ab等于a |a|的长度与b在a |b|cos 方向上的投影的乘积。3.平面向量积的重要性质(1)ea=AE=| a | cos；(2)非零向量a，b，aBab=0；(3)当a和b在同一方向时，ab=| a | | b |当a和b相反时，ab=-| a | | b |，aa=a2，| a |=；(4)cos=；(5)| ab | _ _ _ a | | b |。4.平面矢量积的运算法则(1) ab=ba(交换法)；(2) ( a) b= (ab)=a ( b) (是实数)；(3)(a+b)c=ac+bc。5.平面向量数量积相关性质的坐标表示让向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，然后ab=x1x2 y1y2，从而得到(1)如果a=(x，y)，则| a | 2=x2 y2或| a |=。(2)如果设置了A(x1，y1)和B(x2，y2)，则A和B点之间的距离| ab |=| |=。(3)如果两个非零向量a，b，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a b=(x2 y1y2=0。方法和技术1.计算量的乘积应灵活选择三种方法：定义、坐标运算和量的乘积的几何意义，图形不应忽视量的乘积的几何意义的应用。2.求向量模的常用方法：利用公式| A | 2=A2，将模的运算转化为向量的量积的运算。3.通过使用向量垂直或平行条件来寻找参数或最大值问题来构造方程或函数是一种常见的方法和技巧。错误与预防1.(1)0和实数0之间的差：0A=0 0，A (A)=0 0，A0=00；(2)0的方向是任意的，而不是没有方向。0平行于任何向量。我们只定义非零向量的垂直关系。2.ab=0不能推出a=0或b=0，因为当ab=0时，ab是可能的。5.4平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是利用向量的线性运算和量的乘积来解决平面几何中的平行、垂直、平移、同余、相似、长度、夹角等问题。(1)证明线段或点的共线问题，包括类似问题。共线矢量定理：ABa=B(B0)X1Y2-X2 Y1=0。(2)证明垂直问题的公共量积的运算性质abab=0x1x2+y1y2=0.(3)要找到夹角，使用夹角公式Cos =(是a和b之间的角度)。2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度和位移都是矢量，它们的分解和合成类似于矢量的加法和减法，可以用矢量知识来解决。(2)物理学中的功是标量，它是力f和位移s的乘积，即w=fs=| f | | s | cos (是f和s之间的角度)。3.平面向量与其他数学知识的交集平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识相结合。当平面向量给出的形式包含未知数时，可以从向量平行或垂直的充要条件中得到关于未知数的关系式。在此基础上，可以解决函数、不等式、三角函数和数列的综合问题。解决这些问题的方法是将它们转化为代数运算。主要有两种变换方法：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量积的公式和性质。方法和技术1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合，为向量与函数的结合提供了前提。一