自动控制原理(胡寿松)第五版(总复习)

1,第一章自动控制的一般概念,1-1自动控制的基本原理与方式1-2自动控制系统示例1-3自动控制系统的分类1-4对自动控制系统的基本要求1-5自动控制系统的分析与设计工具,2,1-1自动控制的基本原理与方式,自动控制技术及其应用,自动控制定义：在无人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控量）自动地按预定的规律（给定量）运行。（强调控制的目的，自动的含义）,自动控制系统：指能够完成自动控制任务的设备，一般由控制器和被控对象组成。,3,4,5,反馈：把取出输出量送回到输入端，并与输入信号相比较产生偏差信号的过程。负反馈：若反馈的信号是与输入信号相减，使产生的偏差越来越小。正反馈：若反馈的信号是与输入信号相加，使产生的偏差越来越大。反馈控制：采用负反馈并利用偏差进行控制的过程。闭环控制：由于引入了被控量的反馈信息，整个控制过程成为闭合过程，因此反馈控制也称为闭环控制。反馈控制原理：由负反馈产生偏差，并利用偏差进行控制直到最后消除偏差的过程，就是负反馈控制原理，简称反馈控制原理。,6,7,控制系统从信号传送的特点或系统的结构形式看，可分为开环控制系统和闭环控制系统（按反馈控制的原理构造的系统）,8,9,10,11,自动控制系统控制原理方框图,控制器,比较环节,输入量,偏差,测量值,输出量,控制量,扰动量,控制动作,广义对象,自动控制装置,12,元素：（1）：元件（2）：信号（物理量）及传递方向（3）：比较点（信号叠加）（4）：引出点（分支、信号强度）（5）+/-：符号的意义（正、负反馈）,13,14,15,16,.典型外作用,1-4对自动控制系统的基本要求,在工程实践中，自动控制系统承受的外作用形式多种多样，既有确定性外作用，又有随机性外作用。对不同形式的外作用，系统被控量的变化情况（即响应）各不相同，为了便于用统一的方法研究和比较控制系统的性能，通常选用几种确定型函数作为典型外作用。可选做典型外作用的函数应具备以下条件：1）这种函数在现场或实验室中容易得到。2）控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能。3）这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。控制工程设计中常用的典型外作用函数有阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数以及正弦函数等确定性函数，还有伪随机函数。,17,1-4对自动控制系统的基本要求,（1）阶跃函数,其数学表达式为：,18,A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)。因此，幅值为A的阶跃函数也可表示为：,出现在时刻的阶跃函数，表示为：,19,20,-,21,数学表达式为:,其面积为A。即:,面积A表示脉冲函数的强度。的脉冲函数称为单位脉冲函数，记作，即:,22,对于强度为A的脉冲函数可表示为。,表示在时刻出现的单位脉冲函数，即:,单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数,23,1-4对自动控制系统的基本要求,（4）正弦函数,其数学表达式为：,f(t),式中A为振幅，为角频率，正弦函数为周期函数，为初始相角。当正弦信号作用于线性系统时，系统的稳态分量是和输入信号同频率的正弦信号，仅仅是幅值和初相位不同。根据系统对不同频率正弦输入信号的稳态响应，可以得到系统性能的全部信息。,24,它的数学表达式为:,曲线如图所示。当A=1时，称为单位抛物线函数。抛物线函数是斜坡函数对时间的积分。,（5）抛物线函数（等加速度函数）,25,1、定义自动控制、被控对象、控制装置（控制器）、被控量、自动控制系统；自动控制科学反馈、负反馈、正反馈、反馈控制（闭环控制）、反馈控制原理；,26,课程的性质和特点,自动控制原理与其它课程的关系如下。,微积分（含微分方程）,电机与拖动,模拟电子技术,线性代数,电路理论,信号与系统,自动控制理论,复变函数、拉普拉斯变换,大学物理（力学、热力学）,27,2、反馈控制系统的基本组成测量元件、给定元件、比较元件、放大元件、执行元件、校正元件（补偿元件）前向通路、反馈通路，主反馈、局部反馈，单回路系统、多回路系统；输入信号、输出信号、反馈信号、偏差信号、误差信号、扰动信号3、自动控制系统基本控制方式反馈控制方式、开环控制方式、复合控制方式,28,29,第二章控制系统的数学模型,2-1时域数学模型2-2复域数学模型2-3结构图与信号流图,30,第二章控制系统的数学模型,时域的数学模型：微分方程、差分方程、状态方程复数域的数学模型：传递函数、结构图频域的数学模型：频率特性,31,32,33,2-1控制系统的时域数学模型,线性系统的基本特征,叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。,例:设线性微分方程式为,若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当时，必存在，即为可叠加性。,34,35,用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时，需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：1)对微分方程两边进行拉氏变换。2)求解代数方程，得到微分方程在s域的解。3)求s域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。,线性定常微分方程的求解,36,式中ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。,（2）D(s)=0有重根。设有r个重根p1，则,37,i=r+1,n,38,3.举例例2-10,，求原函数x(t)。,解：s2+4s+3=(s+3)(s+1),39,的原函数x(t)。,例2-11求,解：s2+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1j),40,的原函数x(t)。解：,例2-12求,41,2.2控制系统的复数域模型,42,43,2.2控制系统的复数域模型,（2）传递函数的性质,传递函数为复变量的真有理分式，即，因为系统或元件总是具有惯性的，而且输入系统的能量也是有限的。且所有系数均是实数。传递函数是系统本身的一种属性，它只取决于系统的结构和参数，与输入量和输出量的大小和性质无关，也不反映系统内部的任何信息。且传递函数只反映系统的动态特性，而不反映系统物理性能上的差异，对于物理性质截然不同的系统，只要动态特性相同，它们的传递函数就具有相同的形式。,44,2.2控制系统的复数域模型,推导如下：脉冲响应是在零初始条件下，线性系统对理想单位脉冲输入信号的输出响应。因此，输入量,45,2.2控制系统的复数域模型,2、传递函数的表现形式,有理分式表达形式：如(2.29)式表示，同时传递函数还可以表示为零、极点和时间常数形式。,零极点表达形式（首1型）,式中，,是分子多项式的零点，称为传递函数的零点；,是分母多项式的零点，称为传递函数的极点,称为传递函数的传递系数，也是第四章将要介绍的根轨迹增益。这种用零点和极点表示传递函数的方法在根轨迹中使用较多。,（2.33）,46,47,48,49,2.3控制系统的结构图与信号流图,控制系统的结构图和信号流图都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形，它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算，是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法。与结构图相比，信号流图符号简单，更便于绘制和运用。信号流图只适用于线性系统，而结构图也可用于非线性系统。,50,2.3控制系统的结构图与信号流图,1、系统结构图的组成和绘制,结构图是将方块图与传递函数结合起来的一种将控制系统图形化了的数学模型。如果把组成系统的各个环节用方块表示，在方块内标出表征此环节输入输出关系的传递函数，并将环节的输入量、输出量改用拉氏变换来表示，这种图形成为动态结构图，简称结构图。如果按照信号的传递方向将各环节的结构图依次连接起来，形成一个整体，这就是系统结构图。结构图不但能清楚表明系统的组成和信号的传递方向，而且能清楚地表示出系统信号传递过程中的数学关系。,51,2.3控制系统的结构图与信号流图,结构图的组成：控制系统的结构图，是由许多对信号进行单向运算的方块和一些连线组成，包含四种基本单元。,（1）（函数）方框（或环节）：表示元件或环节输入、输出变量的函数关系，指向方块图的箭头表示输入信号，从方块出来的箭头表示输出信号，方块内是表征其输入输出关系的传递函数。如图所示，此时,。,52,53,2.3控制系统的结构图与信号流图,系统结构图的绘制,建立系统结构图的步骤如下：（1）首先应分别列写系统各元部件的微分方程，在建立微分方程时，应分清输入量和输出量，同时应考虑相邻元件之间是否存在负载效应。（2）设初始条件为零时，将各元件的微分方程（组）进行取拉氏变换，并作出各元件的结构图（函数方块）。（3）将系统的输入量放在最左边，输出量放在最右边，按照各元部件的信号流向，用信号线依次将各元件的结构图（函数方块）连接起来，便构成系统的结构图。,54,2.3控制系统的结构图与信号流图,2、结构图的等效变换及简化,常用的结构图变换方法有两种：一是环节的合并，二是信号引出点或比较点的移动。结构图变换过程中必须遵循的原则是变换前、后的数学关系保持不变。即前后有关部分的输入量、输出量之间的关系不变，所以，结构图变换是一种等效变换。,55,1).三种基本连接形式(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。,由图可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去变量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s),56,(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。,由图有C1(s)=G1(s)R(s)C2(s)=G2(s)R(s),R(s),C(s),57,C(s)=C1(s)C2(s)消去C1(s)和C2(s)，得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。,58,(3)反馈连接连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。,由图有C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得C(s)=G(s)R(s)H(s)C(s),上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。,59,定义：G(s)：前向通道传递函数E(s)C(s)H(s)：反馈通道传递函数C(s)B(s)H(s)=1单位反馈系统G(s)H(s)开环传递函数E(S)B(s),式中负反馈时取“+”号，正反馈时取“-”号。,60,2.3控制系统的结构图与信号流图,比较点和引出点的移动,（1）比较点前移,等效运算关系,61,62,63,64,等效运算关系,2.3控制系统的结构图与信号流图,比较点和引出点的移动,（2）引出点后移,65,（3）引出点互换,2.3控制系统的结构图与信号流图,比较点和引出点的移动,66,67,68,结构图等效变换方法,69,信号流图的基本概念1）定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=a12x1式中，x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。信号传递关系函数运算关系变量因果关系,x1,a12,x2,3、信号流图的组成及性质,70,2）信号流图的基本元素(1)节点：用来表示变量，用符号“O”表示，并在近旁标出所代表的变量。(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。支路具有两个特征：有向性限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。,71,3）信号流图的几个术语节点及其类别输入节点(源节点)只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。,混合节点既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。,输出节点(阱节点)只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。,1,x2,72,通道及其类别前向通道从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。,回路如果通道的起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。如a23a32，a33(自回环)。,73,不接触回路回路之间没有公共的节点和支路。4）信号流图的基本性质1）信号流图只能代表线性代数方程组。2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。5）对于给定的系统，信号流图不唯一。,74,2）翻译法例2-20画出下图所示系统的信号流图。,解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。,R(s),E1(s),C(s),E2(s),G2(s),G1(s),-H(s),75,系统结构图信号流图变量节点输入变量源节点比较点引出点混合节点传输线方框支路输出端汇节点,76,5、梅逊增益公式1）梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为,式中P总传输(增益)；n从源节点至汇节点前向通道总数；Pk第K条前向通路的传输；信号流图的特征式；k第k条前向通路特征式的余因子式,77,线性代数方程的克莱姆法则,为所有不同回环的增益之和；,为每两个互不接触回环增益乘积之和；,为每三个互不接触回环增益乘积之和；,为在中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条前向通路特征式的余因子。,78,解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)bidjfkP1=abcdefgh1=10=1,例2-21求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G。,79,例2-23试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。,解：单回路：G1，G2，G3，G1G2两两互不接触回路:G1和G2，G1和G3，G2和G3，G1G2和G3,80,三个互不接触回路:G1，G2和G3前向通道：P1=G1G2G3K1=1,P2=G2G3K2=1+G1,P3=G3K3=1+G2,P4=G2(1)G3K4=1,81,解：,82,e,1,a,b,c,d,f,g,h,C(s),R(s),C(s),R(s),=,1,+,+,信号流图,83,6、闭环系统的传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。,（1）控制输入下的闭环传递函数令N(s)=0有,84,（2）扰动输入下的闭环传递函数令R(s)=0有,（3）两个输入量同时作用于系统的响应,85,（4）控制输入下的误差传递函数,（5）扰动输入下的误差传递函数,（6）两个输入量同时作用于系统时的误差,86,闭环控制系统的几个特点,闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制较好的抗干扰能力（2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关,87,学习指导与小结,1.基本要求通过本章学习，应该达到1）正确理解数学模型的概念。2）了解动态微分方程建立的一般方法。3）掌握运用拉氏变换法解微分方程的方法，并对解的结构、零输入响应、零状态响应等概念，有清楚的理解。4）正确理解传递函数的定义、性质和意义。5）正确理解系统的开环传递函数、闭环传递函数、前向通道传递函数，并对重要传递函数如：控制输入下闭环传递函数、扰动输入下闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数，能够熟练掌握！,88,6）掌握系统结构图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化结构图，并能用梅逊公式求系统传递函数。2.内容提要本章介绍了数学模型的建立方法。线性定常系统数学模型的形式，介绍了两种解析式（微分方程和传递函数）和两种图解法（结构图和信号流图），对于每一种形式的基本概念、基本建立方法及运算，用以下提要方式表示出来。,89,（1）微分方程式,基本方法,直接列写法,原始方程组线性化消中间变量化标准形,转换法,由传递函数微分方程式由结构图传递函数微分方程由信号流图传递函数微分方程,基本概念,物理、化学及专业上的基本定律中间变量的作用简化性与准确性要求,90,（2）传递函数,基本概念,定义,线性定常系统零初始条件一对确定的输入输出,典型环节,传递函数零极点分布图单位阶跃响应特性,基本方法,定义法由微分方程传递函数,图解法,由结构图化简传递函数由信号流图梅逊公式传递函数,91,（3）结构图,基本概念,数学模型结构的图形表示可用代数法则进行等效变换结构图基本元素（方框、相加点、分支点、支路）,基本方法,由原始方程组画结构图,用代数法则简化结构图,由梅逊公式直接求传递函数,串联相乘并联相加反馈等效分支点与比较点的移动,92,第三章线性系统的时域分析法,3-1系统时间响应的性能指标3-2一阶系统的时域分析3-3二阶系统的时域分析3-4高阶系统的时域分析3-5线性系统的稳定性分析3-6线性系统的稳态误差计算3-7控制系统时域设计,93,几个重要的拉氏变换,94,阶跃响应的时域性能指标,c(t)=ct(t)+css(t)=暂态响应+稳态响应,1.暂态性能指标,图32,95,(1)延迟时间td：c(t)从0到0.5c()的时间。,(2)上升时间tr：c(t)第一次达到c()的时间。无超调时,c(t)从0.1c()到0.9c()的时间。,(3)峰值时间tp：c(t)到达第一个峰值的时间,(4)调节时间ts：c(t)衰减到与稳态值之差不超过2%或5%所需的时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号表示，即=2%或=5%。,(5)超调量s%：c(t)最大峰值偏离稳态值的部分，常用百分数表示，描述的系统的平稳性。,96,2.稳态性能指标稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即,97,凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。,TRC，时间常数。其典型传递函数及结构图为：,3.2一阶系统的时域分析,98,T2T3T4T,当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。,3.2.1单位阶跃响应,响应曲线在0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。无振荡,0.632,0.95,0.982,0.865,1.0,99,一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts定义：c(ts)1=(取5%或2%),一阶系统响应具备两个重要的特点：可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。响应曲线的初始斜率等于1/T。,T反映了系统的惯性。T越小惯性越小，响应快！T越大，惯性越大，响应慢。,100,3.2.2单位斜坡响应r(t)=t,r(t)=t,c(t)=tT+Tet/T,稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数T的斜坡函数。,T,T,稳态分量（跟踪项+常值）,暂态分量,101,表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：,在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。,102,3.2.3单位脉冲响应R(s)=1,它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以h(t)标志。,求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。,对应,103,3.3.1二阶系统的数学模型标准化二阶系统的结构图为：,闭环传递函数为,二阶系统有两个结构参数(阻尼比)和n(无阻尼振荡频率)。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。,3.3二阶系统的时域分析,104,3.3.2二阶系统的闭环极点,二阶系统的闭环特征方程，即s2+2ns+n2=0,其两个特征根为：,上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：,s1,s2,1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。,105,(3)01时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。,(2)=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。,s1=s2=n,n,s1,s2,jd,n,106,(4)=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。,jn,(5)1,=1,01,=0,108,3.3.3单位阶跃响应,由式,，其输出的拉氏变换为,式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。,对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。,109,（1）欠阻尼情况01,响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。调节速度慢。（不同于一阶系统）,113,（5）不稳定系统0,总结：1）1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢；3）0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡；4）01时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，合理选择可使既快又平稳，工程上把0.707的二阶系统称为二阶最优系统；,114,Mp,3.3.4二阶系统的动态性能指标,1.欠阻尼,用tr,tp,Mp,ts四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。,1,0.5,0.05或0.02,tr,tp,ts,td,115,(1)上升时间tr：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。,(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。,116,(3)超调量Mp：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。,117,Mp只是的函数，其大小与自然频率n无关。Mp,(4)调节时间ts：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%所需要的时间。c(t)c()c()(tts),118,工程上，当0.10(i,j=1,2,n)即，闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。,135,赫尔维茨判据,系统特征方程的一般形式为：,各阶赫尔维茨行列式为：,（一般规定）,136,1.劳斯判据系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。若不满足，则不稳定劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。,137,（2）劳斯(Routh)判据,系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零。,138,若系统的特征方程为：,则劳思表中各项系数如下图：,139,关于劳斯判据的几点说明,如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定；如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态；第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。,140,4.劳斯稳定判据的特殊情况例系统的特征方程为D(s)=s33s+2=0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为,第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：,s3s2s1s0,1302,用一个很小的正数来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。,141,0+时，b10，劳斯表中第一列元素符号改变了两次系统有两个正根，不稳定。,用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s33s27s+6=0,s3s2s1s0,130()2,2,s4s3s2s1s0,136372/36206,会得到相同的判断结果,142,第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：,例3-10设系统的特征方程为：,试用劳思判据确定正实部根的个数。,143,解：,将特征方程系数列成劳斯表,劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。,144,用行的系数构造系列辅助方程,求导得：,用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到,145,146,表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为。再可求出特征方程的其它两个根为。,147,综上所述，应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺序进行：1、确定系统是否满足稳定的必要条件。当特征方程的系数不满足(i=0,1,2,n)时，系统是不稳定的。2、当特征方程的系数满足(i=0,1,2,n)时，计算劳斯表。当劳斯表的第一列系数都大于零时，系统是稳定的。如果第一列出现小于零的系数，则系统是不稳定的。3、若计算劳斯表时出现特殊情况（1）和（2），此时为确定系统极点的分布情况，可按情况（1）和（2）的方法处理。,运用劳斯判据，不仅可以判定系统是否稳定，还可以用来分析系统参数的变化对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。,148,3.6线性系统的稳态误差计算,稳态性能：控制系统的稳态误差，是系统控制准确度（控制精度）的一种度量，通常称为稳态性能。稳态误差是一项重要的技术指标。实际控制系统：由于系统结构、输入作用的类型（控制量或扰动量）、输入函数的形式（阶跃、斜坡或加速度）的不同，控制系统的稳态输出不可能与输入量一致，也不可能在任何扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。控制系统中不可避免存在摩擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素，这些都会造成附加的稳态误差。,149,1.误差与稳态误差,1）误差的定义误差的定义有两种：从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与反馈信号之差，即E(s)=R(s)B(s),从系统输出端定义，它定义为系统输出量的期望值与实际值之差。Eo(s)=R(s)C(s)对于单位反馈系统，两种定义是一致的。2）两种定义的关系,150,由图可知，R(s)表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的期望值。因而，E(s)是从输出端定义的非单位控制系统的误差。E(s)=R(s)B(s)=R(s)H(s)C(s),由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。,151,误差本身是时间的函数，其时域表达式为式中，为系统误差传递函数，表达式为在误差信号中，包含瞬态分量和稳态分量。由于系统必须稳定，当时间趋于无穷时，瞬态分量趋于零；因此，控制系统的稳态误差定义为误差信号的稳态分量，常以表示。,152,如果有理函数除在原点处有惟一的极点外，在s右半平面及虚轴上解析，即的极点均位于s左半平面（包括坐标原点），则可根据拉氏变换的终值定理方便求出系统的稳态误差：终值定理的条件：除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。由上式算出的稳态误差是误差信号稳态分量在t趋于无穷时的数值，有时也称终值误差。,153,例3-12设单位反馈控制系统的开环传函为：,当r(t)=t2/2R(s)=1/s3解法一：,试求当输入信号分别为r(t)=t2/2，r(t)=sint时，控制系统的稳态误差。解：,154,解法二：,e(t)=T(tT)+T2et/T,(2)当r(t)=1(t)R(s)=1/s,(3)当r(t)=tR(s)=1/s2,155,2.系统类型,对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。,156,不失一般性，闭环系统的开环传递函数可写为：,K为开环增益；为开环系统在s平面坐标原点上的极点的重数。=0称为0型系统；=1称为型系统；=2称为型系统。等等,在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：,157,令必有时，。因此，可改写为：系统稳态误差计算通式可表示为,158,3.阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数,令,称为系统的静态位置误差系数,0型系统：Kp=Kess=R/(1+K)型及型以上系统：Kp=ess=0,159,4.斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数,令,静态速度误差系系数,0型系统：Kv=0ess=，0型系统无法跟踪斜坡输入型系统：Kv=Kess=R/K，有差跟踪型及型以上系统：Kv=ess=0，无差跟踪,160,5.加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数,令,静态加速度误差系数,0型系统：Ka=0ess=型系统：Ka=0ess=型系统：Ka=Kess=C/K型及型以上系统：Ka=ess=0,161,阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差,r(t)=Rt2/2,r(t)=Rt,r(t)=R1(t),静态误差系数,系统型别,ess=R/Ka,ess=R/Kv,ess=R/(1+Kp),KpKvKa,R/(1+K),K00,0,R/K,0,0,K,2,R/K,0,K0,1,162,例已知两个系统如图所示，当参考输入r(t)=4+6t+3t2，试分别求出两个系统的稳态误差。,解：图（a），型系统Kp=，Kv=10/4，Ka=0,图（b），型系统Kp=，Kv=，Ka=10/4,163,为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，假设图中,系统总的稳态误差为,给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，,164,8.减小或消除稳态误差的措施,前面分析表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定，为了进一步减小系统稳态误差，可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量，加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。,165,主要措施为：（1）增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益；K增大，减小0型系统位置误差K增大，减小I型系统速度误差K增大，减小II型系统加速度误差,166,增大扰动作用点之前的比例控制器增益K1，可以减小对阶跃转矩的稳态误差,167,（2）在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节；设,168,如果系统主反馈通道传递函数含有v3个积分环节，即则系统对扰动作用的误差传递函数这类系统称为响应扰动信号的（v1+v3）型系统,169,（3）采用串级控制抑制内回路扰动；（4）采用复合控制方法。,170,上面的分析和例题可知：通过调整系统的结构和参数，可以提高系统精度，比如：增加积分环节的个数或增大开环放大倍数；但积分环节个数一般不能超过2个，K也不能任意扩大，否则会造成动态品质变差，甚至造成系统不稳定。解决的办法是引入与给定或扰动作用有关的附加控制作用，构成复合控制系统。,171,1基本知识点A各阶系统的数学模型及典型阶跃输入下的时域响应的特点，特别是二阶系统动态性能指标的计算；B劳斯稳定判据；C稳态误差的定义及计算；D改善动态性能及提高精度的措施；,172,1,1,01,0,2,(s)=,s2+2ns+n2,二阶系统单位阶跃响应定性分析,过阻尼,临界阻尼,零阻尼,欠阻尼,173,误差定义,输入端定义：,E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s),输出端定义：,E(s)=R(s)-C(s),En(s)=C希-C实=Cn(s),174,第4章根轨迹法,4-1根轨迹法的基本概念,4-2根轨迹绘制的基本法则,4-3广义根轨迹,4-4系统性能的分析,4-5控制系统复域设计,175,基本要求,1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。,176,4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。,177,178,4-1根轨迹法的基本概念,根轨迹法是分析和设计先行定常控制系统的图解方法。本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，然后将向量形式的根轨迹方程转化为常用的相角条件和模值条件形式，最后用这些条件绘制简单系统的根轨迹。1.根轨迹概念反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根就更困难了。,179,2.根轨迹与系统性能（1）稳定性当K从0时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此二阶系统对所有的K值都是稳定的。,180,如果高阶系统的根轨迹有可能进入s右半平面，此时根迹与虚轴交点处的K值，成为临界开环增益。（2）稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于I型系统，因而根规迹上的K值就是静态速度误差系数Kv。如果给定系统对ess有要求，则对K有要求，由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。,181,（3）动态性能由图可见，当0m时，终点在原点，进入角度为(n-m)(-900)n=m时，终点在正实轴上某点，坐标和各参数有关。,综上所述，对于开环传递函数只含有左半平面的零极点的系统，其幅相曲线的起点和终点满足以下规律：1）起点若系统不含有积分环节，起点为,（K,0）。,279,4.绘制对数频率特性图叠加法：将各典型环节的图叠加。,因此一般系统的对数频率特性图可由典型环节叠加。,由前述，可得,280,典型