小学数论基础知识

数论基础知识素数和复合数(1)一个数除了1和它本身没有除数。这个数叫做质数(也叫质数)。除了1和它本身，一个数还有其他的除数。这个数叫做复合数。(2)自然数根据除0和1之外的除数的多少分为素数和复合数。任何复合数都可以写成几个质数的乘积。请特别记住：0和1不是质数，也不是复合数。(3)最小质数是2，2是唯一的偶数质数，其他质数是奇数；最小和是4。(4)素数是一个数和一个包含两个除数的自然数。互质数是指两个数，它们只是一个公约数。构成互质数的两个数可以是两个质数(3和5)、一个质数和一个复合数(3和4)、两个复合数(4和9)或一个和另一个自然数。(5)如果质数是数的除数，那么质数就是数的质因数。通过乘以质因数来表示一个复合数叫做因式分解质因数。(6)100内有25个质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97可除性(1)概念一般来说，如果A，B和C是整数，b0，ab=c，即整数A除以可除数b(b不等于0)，通过除法得到的商C正好是一个没有余数的整数(或余数为0)，我们说A可以被B整除(或B可以被A整除)。把它记为b | a，否则，它被称为a不能被b整除(或b不能被a整除)，它被记为b a。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的除数。(2)自然性质1:(可除性的加法和减法)如果A和B能被C整除，那么它们的和和差也能被C整除也就是说，如果c | a，c | b，那么c | (ab)。例如，如果2 | 10、2 | 6，则2 |(10 6)和2 | (10-6)。换句话说，在被除数上加或减一些除数的倍数并不影响除数的可除性。性质2:如果b和c的乘积能精确地除a，那么b和c也能精确地除a。也就是说，如果bc | a，那么b | a，c | a。性质3:(可积性和可积性的可积性)如果B和C能整除A，并且B和C是互质的，那么B和C的乘积能整除A。也就是说，如果b | a，c | a，和(b，c)=1，那么BC | a。例如，如果2 | 28、7 | 28和(2，7)=1，所以(27) | 28。性质4:(可除性的传递性)如果c能除b，b能除a，那么c能除a。也就是说，如果c | b，b | a，那么c | a。例如，如果3 | 9，9 | 27，那么3 | 27。(3)数字的可分性(1)可被2整除的数的特征：单个数字是0、2、4、6和8的整数。(2)可被5整除的数的特征：位数是0或5。违背(3)可被3(或9)整除的数的特征：每个数字的和可被3(或9)整除。要判断这个数能被3(或9)整除，我们还可以用“放弃3(或9)法”:例如，8351746能被9整除吗？解答：8 1=9，3 6=9，5 4=9，只有7，7不是9的倍数，所以8351746不能被9整除。(4)可被4(或25)整除的数的特征：最后两位数字可以被4(或25)整除。可被8(或125)整除的数的特征：最后三位数字可被8(或125)整除。可被11整除的数的特征：该整数的奇数位数的和与偶数位数的和之差(大幅度减小)是11的倍数。可被7(11或13)整除的数的特征：整数的最后三位数字与最后三位数字之前的数之间的差(大幅度减少)可被7(11或13)整除并重复检查。例如，判断3546725是否能被13整除？解决方法：将3546725分成3546和725个数字。因为3546-725=2821。将2821分成2和821个数字。因为821-2=819和13 | 819，13 | 2821和13 | 3546725。上述方法也可用于判断余数和最终数字。对于其他数，它可以分解成上述几个互素数的乘积，然后逐一考虑。三个除数和倍数(1)公约数和最大公约数几个数的公约数被称为这些数的公约数。最大的一个叫做这些数的最大公约数。例如：4是12和16的最大公约数，可记为：(12，16)=4(2)公倍数和最小公倍数几个数的公倍数叫做这些数的公倍数。最小的一个被称为这些数的最小公倍数。例如，36是12和18的最小公倍数，记录为12，18=36。(3)最大公约数和最小公倍数之间的关系如果a和b用来表示两个自然数1.那么这两个自然数的最大公约数和最小公倍数之间的关系是：(a，b)a，b=ab .(主要用于查找最不常见的倍数)2 、(a，b) a，b a，b3，a，b是(a，b)的倍数，(a，b)是a，b的除数4，(a，b)是a b和a-b的除数，也是(a，b) a，b和(a，b)-a，b的除数(4)求最大公约数的方法很多。主要建议是：短除法、分解素因子法和轮换除法。例如：1。(短除法)用一个数除30，60，75，你就能精确地除它。最大数量是多少？解决方案：(30，60，75)=53=15最大数量是15。(分解素因子法)1001和308的最大公约数是多少？解决方案：1001=71113(通常用于此定性分解)，308=7114所以最大公约数是711=77在这种方法中，首先对数进行定性分解，然后它们的“所有公共素因子的乘积”就是最大公约数。3.(辗转反侧除法)通过辗转反侧除法找出4811和1981的最大公约数。解决方案：4811=21981 849，1981=2849 283，849=3283，(4811,1981)=283。补充说明：如果需要三个或三个以上数字的最大公约数，可以先计算任意两个数字的最大公约数，然后再计算这个公约数和另一个数字的最大公约数，这样计算就可以继续，直到得到最终结果。(5)除数公式一个复合数的除数等于其素因子分解公式(即指数)中每个素因子数的乘积加上1的乘积。例如，找出240的除数。解决方案：240=243151，240的除数是(4+1)(1 1)(1+1)=20，240有20个除数。四个平价(1)奇数和偶数整数可以分为奇数和偶数。被2整除的数称为偶数，被2整除的数称为奇数。偶数通常可以用2k表示(k是整数)，奇数可以用2k 1表示(k是整数)。应该特别注意0是偶数，因为它可以被2整除。最小的奇数是1，最小的偶数是0。(2)奇数和偶数的运算性质属性1:偶数偶数=偶数。奇数奇数=偶数。属性2:偶数奇数=奇数。属性3:偶数奇数加起来就是偶数。性质4:奇数加起来就是奇数。属性5:偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。偶数=偶数(3)反证法例如，桌子上有9个杯子，都是嘴朝上的，其中6个同时被“翻转”。请解释：无论这种“翻转”经过多少次，所有的9个杯子都不能被翻转。解决方法：要把杯子倒过来，你必须经历奇数次“旋转”。要把九个杯子都倒过来，你必须把九个奇数的“转数”加起来。也就是说，总的“圈数”是奇数。然而，根据规定，不管一次转动六个杯子多少圈，总的转动次