数学分析 第七讲 反常积分

第七讲 非黎曼积分（反常积分）1、 知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题.1、 一元函数的反常积分(1) 一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间或有限闭区域，如果将积分区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点）或，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点,即函数在点处无界）.定义1 函数在无限区间连续，则定义，如果极限存在，我们称反常积分收敛.定义2 函数在非闭区间连续，而在点右邻域内无界（是被积函数的瑕点）即函数在点无界，则定义,如果极限存在，我们称反常积分收敛.函数在点右邻域内无界的意思是：.注意: 函数在点没有定义,但函数在点右极限可以存在,这时不是被积函数的瑕点.例如,函数在点处没有定义,但,所以不是积分 的瑕点. 不是反常积分. 将积分看作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数在闭区间上仅有有限个第一类间断点, 则积分为推广的黎曼积分,它也是收敛的.定义3 函数在开区间内连续，都是函数的瑕点，则定义,如果极限和均存在，我们称反常积分收敛.定义4 函数在无限区间连续，是函数的瑕点，则定义,如果极限和均存在，我们称反常积分收敛.积分区域无限且被积函数有瑕点（了解）.2、一元函数反常积分的性质与收敛判别请同学们切记如下例子中的结论.例 讨论积分和的敛散性.解 显然和均发散.在区间上, 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像下方,这时收敛(请同学给出证明). 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散(请同学给出证明).在区间上, 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散(请同学给出证明). 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像下方,这时收敛(请同学给出证明). 结论: 和 (1) 无穷积分的性质与收敛性判别无穷积分的性质(a)若与收敛, 则也收敛, 且.(b)若在任何有限闭区间上可积, 则与同敛态(同时收敛或同时发散),并且.(c) 若在任何有限闭区间上可积, 且有收敛，则收敛，且.当收敛时, 称绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.无穷积分的收敛判别(a) 柯西收敛准则对无穷积分的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则) 无穷积分收敛的充要条件是: 对, , , 当时, 有.无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到.(b) 比较法则定理2(比较法则) 设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积,且满足,则当收敛时必收敛; 当发散时必发散.考虑当收敛时必收敛是否正确? 当发散时必发散是否正确?推论1设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积, 且, 则有当时, 与同敛态; 当时, 由收敛可推知也收敛; 当时, 由发散可推知也发散.利用不等式，即可证上述结论.推论2 设是定义在()的函数,且在任何有限区间上可积,则有:当,且时, 收敛;当,且时, 发散.利用结论 可证上述结论.推论3设是定义在()的函数,在任何有限区间上可积,且, 则有:当时, 收敛;当时, 发散.利用不等式，即可证上述结论.(c) 狄利克雷判别法定理3(狄利克雷判别法) 若在上有界,在上当时单调趋于,则收敛(了解).(d) 阿贝尔(Abel)判别法定理4(阿贝尔(Abel)判别法) 若收敛，在上单调有界,则收敛(了解).(2) 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质(a) 若与都以为瑕点，为常数，则当瑕积分与收敛时, 瑕积分必定收敛, 且.(b) 设函数以为瑕点，为任一常数，则瑕积分与同敛态(同时收敛或同时发散),并且，其中为定积分.(c) 设函数以为瑕点， 若在的任一内闭区间上可积,则当收敛时，也必收敛，且.当收敛时, 称绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛. 瑕积分的收敛判别(a) 柯西收敛准则对瑕积分的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则) 瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是: 对, , , 当时, 有.瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到.(b) 比较法则定理2(比较法则) 设定义在上的两个函数和，瑕点同为，和都在任何有限区间上可积,且满足,则当收敛时必收敛; 当发散时必发散.考虑当收敛时必收敛是否正确? 当发散时必发散是否正确?推论1又若 , 且, 则有当时, 与同敛态; 当时, 由收敛可推知也收敛; 当时, 由发散可推知也发散.利用不等式，即可证上述结论.推论2 设是定义在的函数,瑕点为， 且在任何有限区间上可积，则有:当,且时, 收敛;当,且时, 发散.利用结论 可证上述结论.推论3设是定义在的函数,瑕点为， 且在任何有限区间上可积，且, 则有:当时, 收敛;当时, 发散.2、多元函数的反常积分(1)积分区域无限且被积函数没有瑕点函数在无限区域上的反常积分定义5 函数在无限区域连续，则定义,如果极限存在， 我们称反常积分收敛. 函数在无限区域上的反常积分定义6 函数在无限区域连续，则定义,如果极限存在， 我们称反常积分收敛.由于式中的积分上限中的与被积函数中的不同,所以经常表示为. 这种积分是概率论与数理统计中常用求概率分布函数的积分, 即,其中. 函数在无限区域上的反常积分 (请同学给出其定义). 函数在无限区域上的反常积分(请同学给出其定义). 函数在无限区域上的反常积分(请同学给出其定义).上述积分在概率中经常用到.已知随机变量,函数是随机变量的概率密度函数,表示随机变量的分布函数,则概率,其中,分别称为边缘概率密度函数, ,分别称为边缘分布函数.例如(考研2010年数学一)设二维随机变量的概率密度函数为,求常数及条件概率密度.解: 因为,所以 作变量替换，即.则. 所以, 进而. 注: 由余元公式得: . 还可以用以下方法计算.余元公式的证明过程很繁杂,在此证明略.先计算, 其中区域: .因为, . 则,即.令, . 则.令, . 则.所以. 因为, , 所以, 进而. 上面的积分给出了反常积分计算的一个重要方法: 夹逼方法.同学们应切记这种方法. (2) 多元函数反常积分性质与收敛性判别3、含参量的反常积分（考数学专业的同学需要掌握）(1) 含参量反常积分的概念和定义(2) 含参量反常积分性质与收敛性判别二、解证题方法1、反常积分的计算反常积分的计算题在考研中很少出现, 如果出现, 一般用变量替换法求解.例1(南京农业大学2004年)求.解 令,则. 进而.例2(南京大学2000年)求.解 令,则,所以. 例3(南京农业大学2004年)求.解 作变量替换,则 .例4(上海理工大学2003年)已知积分,计算.解 .例5(兰州大学2005年)求.解 首先判断积分反常性。因为在上有间断点，并且，所以积分是反常积分。.(2) 反常积分的收敛性判别例1(数学(一)2010年)设为正整数，则反常积分的收敛性A. 仅与的取值有关；B. 仅与的取值有关;C.与的取值都有关；D. 与的取值都无关.解 选D.理由如下：反常积分可能有两个瑕点.所以,其中. (1) 先讨论积分的收敛性.因为，所以当时，不是的瑕点，进而收敛. 当时，是的瑕点, 由于, , 由瑕积分比较判别法知, 收敛.再讨论的收敛性.作变量替换,则. 因为，所以是积分的瑕点。可找到满足的,使得, 其中. 由瑕积分的敛散性判定的比较法则知, 收敛. 综上所述, 反常积分的收敛性与的取值都无关. 例2 (汕头大学2003年)判断无穷积分的敛散性,并证明你的结论. 解 因为,所以, 当时, 收敛, 当时, 发散. 例3 (中山大学2007年)判断积分. 解 因为.所以