旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学

高中版 2015 年 2 月 数坛 在线 教育纵横 数坛 在线 名室荟萃 “ 椭圆的标准方程”是解析几何中圆锥曲线的起始 课，多次被选为国家、省、市评优课的课题.新教材的设 计思路遵循了椭圆发展的历史：公元前3世纪，阿波罗尼 奥斯（ Apollonius， 约公元前262年约公元前190年）在 圆锥曲线论中采用平面截对顶的圆锥得到椭圆，并由 多个命题导出椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性 质.17世纪荷兰数学家舒腾 （ F.van.Schooten，16151660） 利用椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质，给出椭 圆的画法. 直到1822年比利时数学家旦德林 （ GP. Dandelin，17941847）利用双球模型总结出椭圆的定义 1 . 新教材中第二节课才是椭圆的标准方程，但在实际教学 中 （ 包括国家、省、市评优课），由于大部分老师不习惯新 教材的设计思路，往往还是沿袭旧教材的做法，把椭圆 的标准方程和椭圆的定义安排在一节课上，报刊上发表 的有关文章大多也是把二者放在一起.下面就谈一谈按 照新教材的设计思路，旦德林双球模型定义后的 “ 椭圆 的标准方程”的教学的几点体会，以飨读者. 一、形成认知冲突，驱动探求欲望 17世纪荷兰数学家舒腾的椭圆的画法 （ 基于两个焦 半径之和等于常数）是在把圆压扁变成 “ 椭圆”之后总结 出来的，教师用几何画板再现这一历史过程，直观地可 以看出圆压扁后的曲线上任一点到两个定点F1、F2的距 离的和始终等于同一个常数 （ 大于|F1F2|），根据椭圆的定 义，圆压扁后的曲线应当是椭圆，但这只是几何直观验 证，有失严谨性，需要从代数意义上的严格证明，那么又 如何证明呢？现有的知识解决不了，这就引起认知冲突， 驱动学生进一步探求的欲望，引导学生用代数的方法研 究几何问题，这恰恰是解析几何的本质特征！ 联想类比 圆的研究过程，为了研究圆的性质，就要建立圆的方程， 而圆的方程实际上就是圆上任一点的坐标 （ x，y）中x、y 的关系，又因为坐标是存在于坐标系中的，所以首先要 建立坐标系.于是求曲线方程的一般步骤就自然浮出水 面： 建系设点列式化简证明 然后按照上述步骤推导椭圆的标准方程，直入本节 的重点与难点. 二、教学中“突兀点”的处理 数学教学追求合理顺畅. 数学概念的合理性、 数学公 式的来龙去脉、 为什么要引 入某个参数、 怎样引入才不 显 “ 突兀”、怎样引入才顺接学生认知的 “ 最近发展区”等 这些问题都值得我们注意.一方面，通过计算机模拟将 圆压扁成椭圆的演示 （ 如图1，圆心一分为二，两条重叠 的半径MF分裂成两条焦半径MF1、MF2）， 为学生推导椭 圆方程中2a的引入作了认识上的准备，这要比教材中直 接设出|MF1|+|MF2|=2a要自然的多， 避免了这个“ 突兀 点”.另一方面，如图2，当点M 运动到椭圆的上顶点时，在 RtMOF2中|MF2|=a，|OF2|=c， 所以a2-c2=|OM|2， 令b2=a2-c2， 这里引入参数b简化了计算， 更重要的是参数b具有确切的几何意义： 线段OM的长 （ 椭圆的中心到上顶点的距离）.这样的教学就比较合理 顺畅，不显得突兀. 三、努力提炼数学思想方法 通过引导学生参与探索活动，帮助学生提炼和应用 数学知识本身所隐含的数学思想方法. 1.转化与化归思想 将 |MF1|+|MF2|=2a 坐 标 化 为（ x+c）2+y2 摇 姨+ （ x-c）2+y2 摇 姨=2a， 是几何形式向代数形式的转化；将 （ x+c）2+y2 摇 姨+ （ x-c） 2+y2 摇 姨=2a化成椭圆的标准方程是化 江苏省无锡市吴宝莹数学名师工作室 旦德林双球模型定义后的 “ 椭圆的标准方程”的教学 筅江苏省锡山高级中学吴宝莹 y x M F2 b a F1O c 图 2 F M F1F2 M 图 1 69 高中版 2015 年 2 月 数坛 在线 名室荟萃 教学 参谋 解法探究 繁为简的过程，就是转化与化归思想的应用. 2.数形结合思想 通过探求椭圆的标准方程，从代数层面上严谨证明 “ 圆压扁变成的曲线是椭圆”是典型的 “ 以数解形”，即几 何问题代数化. 比如，第一次平方后，从a2-cx=a （ x-c）2+y2 摇 姨到 （ a2- c2）x2+a2y2=a2（ a2-c2）的等价性，是因为M （ x，y）是椭圆上任 一点，从图形上看xa，又cb0）. 由题意可知 4 a2 =1， 3 a2 + 1 4b2 =1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 则 a2=4， b2=1 1 ，所以椭圆的 标准方程为 x2 4 +y2=1. 同理可判断焦点在y轴上时不符合 题意. 这里用到的就是分类讨论的思想，当然教师还可以 引导学生分析引起讨论的原因，为了避免讨论，可设成x2 和y2项的分母不分大小的椭圆的方程，即 x2 m2 + y2 n2 =1 （ m 0，n0，mn）， 甚至进一步设椭圆的方程为px2+qy2=1 （ p0，q0，pq），这样就有一定的灵活性，避免了讨论， 大大简化了解题过程， 很好地体现了数学的简洁之美， 同时培养了学生精益求精的良好行为习惯. 4.方程的思想 实际上，上述分类讨论中用到的待定系数法就是方 程 思 想 的 应 用 . 另 外 引 导 学 生 在（ x+c）2+y2 摇 姨+ （ x-c）2+y2 摇 姨=2a两边同乘以有理化因子（ x+c） 2+y2 摇 姨- （ x-c）2+y2 摇 姨 3 得到 （ x+c）2+y2 摇 姨-（ x-c） 2+y2 摇 姨= 2cx a ，把 （ x-c）2+y2 摇 姨和 （ x+c） 2+y2 摇 姨看作两个未知数， 通过解方 程 （ 组），解出其中一个，再平方化简得到椭圆的标准方 程，也是方程思想的应用. 数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能 力的桥梁，在数学课堂教学中，有意识地提炼和运用数 学思想方法，值得每一位数学教师认真关注. 四、注意发展学生的数学理性思维 数学是思维的体操， 这里的思维主要指理性思维. 一般认为，数学理性思维主要包括三个方面. （ 1）从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的 问题 （ 存在性、唯一性、不变性、充要性）； （ 2）运用归纳抽象、演绎证明、运算求解、空间想象、 直觉猜想等思维方式分析和思考问题； （ 3）运用数学语言进行表述和交流. 其一，上文中提到的 “ 以数解形”与 “ 以形助数”就是 从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题的具 体体现. 其二，整个标准方程的推导化简过程，既是归纳抽 象，又是演绎推理.尤其在教学时不拘泥于教材中的椭 圆标准方程的推导方法， 上述有理化的方法， 以及把 （ x+c）2+y2 摇 姨+（ x-c） 2+y2 摇 姨=2a 看 成（ x+c） 2+y2 摇 姨，a， （ x-c）2+y2 摇 姨成等差数列， 设 （ x+c）2+y2 摇 姨=a-d， （ x-c）2+y2 摇 姨=a+d 1 ， 经整体 处理，消去参量d后，可得 （ a2-c2）x2+a2y2=a2（ a2-c2）.这些教 学处理方法很好地培养了学生思维的灵活性与发散性. “ 第一次平方后，从a2-cx=a （ x-c）2+y2 摇 姨到 （ a2-c2）x2+ a2y2=a2（ a2-c2）等价吗？为什么？” “ 椭圆上的点的坐标都满 足方程 x2 a2 + y2 b2 =1吗？ 反之，以方程 x2 a2 + y2 b2 =1的解 （ x，y）为 坐标的点都在椭圆上吗？ ” “ a2-cx=a （ x-c）2+y2 摇 姨变形后 有什么几何意义？”等这些追问与思考，无不体现了数学 理性思维的严谨性与深刻性. 其三，围绕标准方程的推导展开的师生、生生之间 的对话，显然是数学语言的表述和交流.所有这些，都体 现了对数学理性思维的要求. 五、努力体现数学的文化价值 数学作为文化的一部分，其最根本的特征是：它表 达了一种勇于探索的精神.这种探索精神，将不断促进 70 高中版 2015 年 2 月 数坛 在线 名室荟萃 教学 参谋 解法探究 探寻高中数学解题中的 “ 灵感” 筅江苏省泗洪中学穆婷婷 解题教学是高中数学课程教学的重要组成部分之 一，在进行数学解题的过程中，能够有效地理解和深化数 学基本知识，熟练掌握处理问题的基本技能.可以说解题 是直接了解学生学习情况的一个窗口.新课改实施以来， 越来越注重学生解题能力的提升. 如何实现高效解题是 一线教师探究的永恒话题.从心理学角度来看，思维可以 比作解题活动，最有效的解题策略是在思维中形成的，思 维的创造性特征离不开灵感， 灵感在高中数学解题中起 到举足轻重的作用.笔者从自身教学实践出发，在本文中 重点阐述如何引导学生获取解题中的灵感， 从而提升学 生有效解题的能力，提高课堂教学的效益. 一、以问题为开端，创设合理情境，探寻数 学解题“灵感” 教育心理学理论表明：问题是思维的出发点和推动 学生能力发展的添加剂，问题情境的创设能够有效激发 学生求知的好奇心，进而形成合理的思维动向，在新的 情境中获取 “ 灵感”，实现疑难问题的合理转化. 例1已知方程组 k （ x4+1）+|x|-y=1， x2-y2=- - 1 存在唯一的实 数解，试求实数k的取值范围. 解析：根据题设中方程组的特征，若 （ x0，y0）满足该 方程组，则 （ -x0，y0）也能满足此方程组.由于题中方程组 有唯一的实数解，则x0=0. 令 （ 0，y0） 为 方 程 组 唯 一 的 实 数 解 ， 则 k （ 04+1）-y0=1， 0-y20=-1 - ， 即 k=2， y0=1 - ，或 k=0， y0=-1 - . 将k=0代入原方程组，可得到三组解，不符合题意； 将k=2代入原方程组，可得唯一的一组解 x=0， y=1 - ，则k=2. 人类的思想解放，使人成为更完全、更丰富、更有力量的 人.为此，中学数学教学必须充分发掘数学的文化教育 功能. 这节课通过引导学生推导标准方程， 努力促使教 学、学习、研究三者同步协调和谐发展.这一过程对初学 椭圆的学生来说有一定的困难，但是经过自己不畏困难 的努力与探索欣赏到数学的和谐之美、简洁之美，可以 帮助学生体会追求真理的艰辛以及成功后的愉悦，以此 培养学生的探索精神，逐步形成良好的个性品质，而这 正是数学文化价值的真谛. 新课程的一个鲜明特点是以学生的发展为本，关注 学生思维的最近发展区，注重知识的发生、发展过程的 揭示，倡导通过学生参与，自主探究，发现知识，习得知 识，重在学生潜能的开发、创新意识和探索发现能力的 培养.本节课在这方面作了有益的探索.这节课的教学内 容是在学生拥有了圆的方程等知识的基础上进行研究 的，类比圆的方程的建立过程，探求椭圆的标准方程，这 是对学生思维最近发展区的有意关注.另外，整节课以 “ 再现定义亲身感知动手推导简单应用” 为主线 将问题逐一展开. 椭圆标准方程的推导由学生自行完 成，课堂小结由师生共同完善，这既是对学习主体的充 分尊重，使学生获得亲历知识生长发展的体验，又是培 养学生自我参与意识和探索发现能力、开发学生潜能的 有效方式. 诚然，在数学教学中获得结果，特别是获得准确的 结果是重要的，但从某种意义上说，让学生经历和体验 获取知识的过程要比获得结果更重要.这是因为这种获 取知识的过程，不仅是知识生长、发展的动态延伸，更是 开启智慧、发展智力、培养潜能、提高素质的源泉.正如 一次旅行，不必太在意目的地，重要的是不要错过沿途 的风景！ 参考文献： 1.陈锋，王芳.基于旦德林双球模型的椭圆定义教学 J.数学教学，2012（4）. 2.贾士代.