曲面的第二基本形式

2.3 曲面的第二基本形式 2.3.1 第第第二二二基基基本本本形形形式式式 前面我们引进出了曲面的第一基本形式I , 研究了曲面的一些内蕴性质, 即只依赖于曲 面本身, 而不依赖于曲面在空间中如何弯曲的几何性质. 在理论和实际应用中, 必须考虑曲 面在空间中的弯曲程度, 为此, 我们将引进曲面的另一个二次微分式. 对正则Ck(k 2)曲面S : r = r(u,v), 单位法向量n = rurv |rurv| 作为参数u,v的函数, 其微分表示为dn = nudu + nvdv. 由于0 = d(n n) = 2n dn, 所以dn是切平面中的向 量. 令II = dr dn, 称II 为曲面S的第二基本形式. 下面我们首先计算第二基本形式的 参数表示. 由于dr = rudu + rvdv, 所以 II = dr dn = (rudu + rvdv) (nudu + nvdv) = Ldu2+ 2Mdudv + Ndv2, 其中L = ru nu,M = (ru nv+ rv nu)/2,N = rv nv, 它们作为参数u,v的函 数, 称为曲面S的第二基本形式系数. 由于ru n = 0,rv n = 0, 两式分别关于u,v求偏导数, 我们有 ruu n + ru nu= 0,ruv n + ru nv= 0, rvu n + rv nu= 0,rvv n + rv nv= 0, 因此第二基本形式系数可以表示为 L = ruu n = ru nu= (ruu,ru,rv) EG F 2 , M = ruv n = ru nv= rv nu= (ruv,ru,rv) EG F 2 , N = rvv n = rv nv= (rvv,ru,rv) EG F 2 . 另外, 因为n dr = 0, 微分便得d2r n = dr dn, 于是我们得到曲面的第二基本形式的 以下三种等价的表示 II = Ldu2+ 2Mdudv + Ndv2 = n d2r = dr dn. 78 【例 1】对平面, 因法向量n为常向量, 所以II = dn dr 0. 对中心径矢为r0, 半径为a的球面, 因其单位法矢量n = 1 a(r r0)或n = 1 a(r0 r), 于 是II = dn dr = 1 aI. 【例 2】求旋转曲面r(u,v) = f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)的第二基本形式. 【解】直接计算得到以下各量 ruu= f cosu,f sinu,0, ruv= f0sinu,f0cosu,0, rvv= f00cosu,f00sinu,g00, n = 1 p f02+ g02 g0cosu,g0sinu,f0, 因此 L = ruu n = fg0 p f02+ g02 , M = ruv n = 0, N = rvv n = f00g0 f0g00 p f02+ g02 . 【例 3】求曲面z = f(x,y)的第二基本形式. 【解】我们知道: 曲面z = f(x,y)可以写成向量形式 r(u,v) = u,v,f(u,v), 直接计算得到以下各量 ru= 1,0,fu,rv= 0,1,fv, n = ru rv |ru rv| = 1 p1 + f 2 u+ f2v fu,fv,1, ruu= 0,0,fuu, ruv= 0,0,fuv, rvv= 0,0,fvv, 因此 L = n ruu= fuu p1 + f 2 u+ f2v , M = n ruv= fuv p1 + f 2 u+ f2v , N = n rvv= fvv p1 + f 2 u+ f2v , 79 曲面z = f(x,y)的第二基本形式是 II = 1 p1 + f 2 u+ f2v fuudu2+ 2fuvdudv + fvvdv2. 2.3.2 第第第二二二基基基本本本形形形式式式的的的几几几何何何意意意义义义 对曲面S : r = r(u,v)上的给定点P(u,v)及其邻近点Q(u+du,v+dv), 令d = PQn, 即位移向量 PQ在点P 处单位法向量n方向上的投影. |d|即从Q点到P 点切平面的垂直距 离, 而d的正负号依赖于Q点是位于P 点切平面的一侧或另一侧, 换句话说, d的正负号反 映曲面S在P 点处的弯曲方向. 利用向量形式的Tayloy展开式及事实nru= 0,nrv= 0, 有 d = PQ n = (r(u + du,v + dv) r(u,v) n = dr + 1 2d 2r + o(du2 + dv2) n = dr n + 1 2d 2r n + o(du2 + dv2) = 1 2II + o(du 2 + dv2) 由此可见, II 代表起点在P 的位移向量 PQ在法向量上投影的主要部分的二倍, 它描 述了Q点在法方向上相对于P 的改变, 即描述了曲面在P0点附近弯曲的状况. 【例 4】容易验证平面r(u,v) = u,v,0与圆柱面r(u,v) = cosu,sinu,v具 有相同的第一基本形式du2+dv2, 但平面的第二基本形式II 0, 而圆柱面的第二基 本形式II = du2, 这表明它们在空间中的形状完全不同(事实正是如此). 与第一基本形式I 不同, 曲面的第二基本形式II 作为(du,dv)的二次型, 当LN M2 0时是正定或负定; 当LN M2 0的点. 在椭圆点处, 第二基本形式沿任何方向都 不变号, 而且曲面在椭圆点邻近总位于切平面的一侧(如图2(1). (2)双曲点使LN M2 0的点. 在双曲点的切平面上, 有通过该点的两条 直线将切平面分成四部分, 第二基本形式在这四部分或为正, 或为负, 而沿这两条直 线, 第二基本形式为零. 曲面在双曲点邻近位于切平面的两侧(如图2(2). (3)抛物点使LN M2= 0, 且L2+ M2+ N26= 0的点. 在抛物点的切平面 81 上, 有通过该点的惟一一条直线, 沿这条直线, 第二基本形式为零; 而沿其它任何方向 第二基本形式都不变号(如图2(3). (4)平点使L = M = N = 0的点. 【例 5】对环面r(,) = (b + asin)cos,(b + asin)sin,acos, 其中 a b是正常数, 参数0 , 2. 直接计算知 L = ruu n = (b + asin)sin, M = ruv n = 0, N = rvv n = a, 而且 LN M2= a(b + asin)sin, 注意到第二基本形式系数只依赖于参数, 即沿参数曲线 = 0, 第二基本形式系数 为常数. 又因为0 a 0, 所以LN M2与sin同号. 最后我们 得到环面上点的如下分类(如图3): (1)参数满足0 的点是椭圆点(对应环面的外侧点); (2)参数满足 2的点是双曲点(对应环面的内侧点); (3)参数 = 0及 = 的点是抛物点(对应环面的内外侧交界点). 2.3.3 第第第二二二基基基本本本形形形式式式的的的性性性质质质 定理 3.2在容许相差一个正负号的意义下, 第二基本形式II 与曲面S上正则参 数(u,v)的选取无关. 证明设r = r(u,v)和r = r( u, v)是曲面S的两个不同参数表示, 相应的单位法 向量分别为n和 n. 利用下面两组等式 d u = u udu + u vdv, d v = v udu + v vdv, 及 ru= r u u u + r v v u, rv= r u u v + r v v v, 82 容易验证, dr = d r(或者直接利用一阶微分形式的不变性), 同理有dn = d n(正负 号依赖于参数变换(u,v) ( u, v)是同向或反向参数变换). 因此 dr dn = d r d n, 即在同向参数变换下, 第二基本形式不变, 而在反向参数变换下, 第二基本形式改变 符号. 定理 3.3曲面的第二基本形式在R3的刚性运动下不变; 而在R3的反刚性运动 下改变符号. 证明设f : f(P) = P T + P0是R3的任一刚性或反刚性变换, 曲面S : r = r(u,v)在f 下的像为S: r(u,v) = f r(u,v). 则