抛物线的焦点弦性质

二、抛物线的焦点弦性质,例1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.,故以AB为直径的圆与准线相切.,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;,证明：思路分析：韦达定理,F,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;,法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90。,代入抛物线得y2ms，,练习(1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.,证明：设AB的方程为=ms（m）,(2).若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点(s,0)(s0),证明：,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2,证明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=,思考：焦点弦何时最短？,过焦点的所有弦中，通径最短,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.(2001年高考题),例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，1.求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线AB过定点；3.求弦AB中点P的轨迹方程；4.求AOB面积的最小值；5.求O在AB上的射影M轨迹方程.,二、抛物线中的直角三角形问题,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；,解答(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P(x0,y0)，,OAOBkOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0,y12=2px1，y22=2px2,y10,y20,y1y2=4p2x1x2=4p2.,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(2)求证：直线AB过定点；,解答(2)y12=2px1，y22=2px2(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2),AB过定点T(2p,0).,同理，以代k得B(2pk2,-2pk).,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(3)求弦AB中点P的轨迹方程；,即y02=px0-2p2，中点M轨迹方程y2=px-2p2,(3)设OAy=kx，代入y2=2px得:k0，,(4),当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(4)求AOB面积的最小值；,(5)法一：设M(x3,y3),则,例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.,由(1)知，y1y2=-4p2，,整理得：x32+y32-2px3=0，点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0,0).,M在以OT为直径的圆上点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用(2)的结论.,OMT=90,又OT为定线段,法二：AB过定点T(2p,0).,7.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，(5)求O在AB上的射影M轨