华科大数理方程课件――贝塞尔函递推公式和展开成级数(2014)

5.2贝塞尔函数的递推公式,不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系，,本节,来建立反映这种联系的递推公式。,(18),由,的表达式(18)可推出下列两个基本,递推公式：,(25),(26),2,(25),(26),事实上，在(18)式的两边乘上,然后对,求导，得,令,得,3,同样可以证明公式(25)。,(25),(26),事实上，在(18)式的两边乘上,然后对,求导，得,4,(25),(26),如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得,先后消去,与,则得,(27),(28),显然(25)(26)式与(27)(28)式是等价的。,5,(25),(26),(27),(28),与,若已知,之值，,由(27)式可算出,之值。,这样一来，通过(27)式，可以用0阶与1阶,贝塞尔函数来表示任意正整数阶的贝塞尔函数。,6,(25),(26),特别的，当,时，由(26)式得,当,时，由(25)式得,(29),(27),(28),7,例,(27),(28),(29),求,解,由(27)式知，,则有,(25),(26),(27),(28),(29),内容小结,9,5.3按贝塞尔函数展开为级数,应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题,时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为,级数。本节我们将讨论这个问题。,本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题,中，导出了贝塞尔方程的固有值问题：,方程(32)的通解为,(32),(33),10,无穷大，,方程(32)的通解为,(32),(33),由于,由边界条件(33)中的有界性条件,可知,从而,另外，再利用(33)中的条件,得,(34),11,所谓贝塞尔函数的零点，,指的是使,的那些,的值。,关于贝塞尔函数的零点有下面几点结论。,5.3.1贝塞尔函数的零点,有无穷多,个正零点；,与,没有公共零点。,整数阶贝塞尔函数应用更多，,特别是,与,12,(34),应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设,为,的正零点，,则由方程(34)得,与这些固有值相对应的固有函数为,(35),(36),(36),5.3.2贝塞尔函数系的正交性,阶贝塞尔函数序列(36)在区间,上带权,正交，即,(37),5.3.3贝塞尔函数的模,定积分,(39),的平方根，称为贝塞尔函数,的模。,(37),5.3.3贝塞尔函数的模,定积分,(39),的平方根，称为贝塞尔函数,的模。,为了求模，,将贝塞尔方程(32)改写如下,(32),15,为书写方便，记,其中,为任意参变量。,则有,将上面两式分别乘以,和,为书写方便，记,其中,为任意参变量。,则有,上两式相减得,为书写方便，记,其中,为任意参变量。,则有,上式两边对,从,到,积分得,(38),当,时，由(38)式得,18,在上式中，令,仍为任意参数，,由于,故上式化为,19,(40),形式的不定型，,当,时，上式右端为,应用洛必达法则，得,20,(40),由递推公式,以及,得,从而(40)式变为,(41),由于贝塞尔函数,与,没有公共零点，,由(41)式知贝塞尔函数的模不为0.,5.3.4傅里叶-贝塞尔级数,在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解,问题时，往往需要把已知函数按贝塞尔函数系,展成级数。,(42),其中系数,由下式确定,(43),由公式(43)确定的,称为傅里叶-贝塞尔系数，,级数(42)称为傅里叶-贝塞尔级数。,22,例,(43),设,是函数,的正零点，,试将,函数,在,上展成,的傅里叶-,贝塞尔级数。,解,由(42)(43)式有,先计算分子，,(42),23,例,设,是函数,的正零点，,试将,函数,在,上展成,的傅里叶-,贝塞尔级数。,解,由(42)(43)式有,先计算分子，,令,则,代入,得,24,例,设,是函数,的正零点，,试将,函数,在,上展成,的傅里叶-,贝塞尔级数。,解,由(42)(43)式有,代入,得,于是,25,(25),(26),特别的，,(29),1贝塞尔函数的递推公式,2.傅里叶