大学物理第五章机械振动课件

振动振动振动振动: :凡是描述凡是描述凡是描述物体运动状态的物理量凡是描述物体运动状态的物理量(如位移、电流等如位移、电流等) ， 在某一数值附近作周期性变化的 。 ， 在某一数值附近作周期性变化的 。 第五章第五章第五章 第五章 机械振动机械振动机械振动机械振动 所有振动中最简单是简谐振动。所有振动中最简单是简谐振动。 特点：特点： 有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。 机械振动机械振动机械振动机械振动: : 物体在一定位置附近来回往复的运动。物体在一定位置附近来回往复的运动。 5-1 简谐振动简谐振动 一、简谐振动的基本特性：一、简谐振动的基本特性： 弹簧振子弹簧振子: k m ox X kxF 2 2 dt xd mkxmaF 2 2 0 d xk x dtm 单摆单摆: 2 2 dt d mlmamgf tt mgmgftsin 0 2 2 l g dt d 平衡位置平衡位置O：物体受合外力 为零的位置。 ：物体受合外力 为零的位置。 较小 5-1 简谐振动简谐振动 一、简谐振动的基本特性：一、简谐振动的基本特性： k m ox X 1. 受力特点: 线性恢复力 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx) 2. 动力学方程动力学方程0 2 2 2 x td xd 弹簧振子弹簧振子: m k 单摆单摆: l g 2 T 1 T 1 T 【例题【例题1】系统开始处于静止状态， 证明 】系统开始处于静止状态， 证明m在外界干扰下将作简谐振动。在外界干扰下将作简谐振动。 解：如图建立坐标，考虑解：如图建立坐标，考虑m沿 沿 X轴正方向移动一小位移轴正方向移动一小位移x sin 0 mgkx maTmg 1 sin 12 T RT RJ )( 02 xxkT aR x R J m k a 2 0 2 2 2 x R J m k dt xd 2 R J m k 2 T 1 T 1 T 分析步骤：分析步骤： 1、找到平衡位置O，建立坐标系； 2、沿X轴正方向移动一小位移x； 3、证明 【例题【例题1】系统开始处于静止状态， 证明 】系统开始处于静止状态， 证明m在外界干扰下将作简谐振动。在外界干扰下将作简谐振动。 解：如图建立坐标，考虑解：如图建立坐标，考虑m沿 沿 X轴正方向移动一小位移轴正方向移动一小位移x sin 0 mgkx 2 2 2 0 d x x d t 二、二、简谐振动的运动规律简谐振动的运动规律 0 2 2 2 x td xd x(t)=Acos( t+ ) 结论：结论： 简谐振动简谐振动凡是位移是时间的正弦 或余弦函数表示的运动都是简谐振动。 凡是位移是时间的正弦 或余弦函数表示的运动都是简谐振动。 cos()cos()AtAtT 1. 周期周期T：完成一次全振动所需的时间 完成一次全振动所需的时间 定义：物体受到的作用力 与位移正比反向的振动。 定义：物体受到的作用力 与位移正比反向的振动。 kxF 谐振动（运动）方程 谐振动微分方程 谐振动（运动）方程 谐振动微分方程 2. 振幅振幅 A：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 )sin( tA td dx x(t)=Acos( t+ ) 2 2 2 xA 2 2 0 2 0 xA 00 0 vx t tAt T Ax2cos) 2 cos( T 2 称为角频率（或圆频率）称为角频率（或圆频率） 2 1 T 称为称为振动频率振动频率 3. 相位相位 (1) ( t + + )是是 t 时刻的相位时刻的相位 (2) 是是t =0时刻的相位时刻的相位- 初相初相 已知已知0tcos 0 Ax sin 0 Av 0 0 x v tg由此可得出：由此可得出： A x0 cos 确定其中的一个 或或 三、简谐振动的速度、加速度 1.速度 三、简谐振动的速度、加速度 1.速度 )sin( tA td dx ) 2 cos( tA 2. 加速度加速度 ) 2 cos( tvm Avm )cos( 2 2 2 tA td xd a )cos(tam 2 Aam 四、简谐振动的描述方法四、简谐振动的描述方法 1. 解析法解析法 由由 x=Acos( t+ ) 已知表达式 已知表达式 A、T、 已知已知A、T、 表达式 表达式 2. 曲线法曲线法 ox m x0 = 0 o A -A t x = /2 T 已知曲线 已知曲线 A、T、 已知已知 A、T、 曲线 曲线 ) 2 2 cos( t T Ax cos 0 Axsin 0 Av 相位差相位差 : =( 2 t+ 2 )-( 1 t+ 1 ) 对两同频率对两同频率的谐振动 的谐振动 = 2 - 1 初相差初相差 当当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同,称两振动步调相同,称同相同相 当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相 。反相 。 t x o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T 同相同相 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 反相反相 若若 = 2 - 1 0, 则则 x2比 比 x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称x2比 比 x1超前 超前 (或或x1比比x2落后落后)。 x2 T x o A -A x1 t ttt t 12 3. 旋转矢量法3. 旋转矢量法 t+ o xx t = t t = 0 x = A cos( t + ) A A 1）旋转矢量的矢端在x轴上的投影点的运动可以 表示物体在x轴上的谐振动。振幅为 ）旋转矢量的矢端在x轴上的投影点的运动可以 表示物体在x轴上的谐振动。振幅为 2）旋转矢量以角速度）旋转矢量以角速度 旋转一周，相当于谐振动 的物体在 旋转一周，相当于谐振动 的物体在x轴上作一次完全振动。所用的时间 与谐振动周期相同。 轴上作一次完全振动。所用的时间 与谐振动周期相同。 A 旋转矢量法优点：旋转矢量法优点： 直观地表达谐振动的各特征量。 便于解题 直观地表达谐振动的各特征量。 便于解题, 特别是确定初相位。 便于振动合成。 特别是确定初相位。 便于振动合成。 3）t=0时刻，旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相，时刻，旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相， t时刻旋转矢量与x轴夹角时刻旋转矢量与x轴夹角 t + 为谐振动的相位。 为谐振动的相位。 注意：旋转矢量本身并不在作谐振动，而旋转矢 量矢端在x轴上的投影点在x轴上作谐振动。 注意：旋转矢量本身并不在作谐振动，而旋转矢 量矢端在x轴上的投影点在x轴上作谐振动。 由由x、v 的符号确定 所在的象限：的符号确定 所在的象限：A 【例题【例题2】 一简谐振动的振幅为】 一简谐振动的振幅为A，角频率为，角频率为 ，以下 列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式： 物体过平衡位置向 ，以下 列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式： 物体过平衡位置向X轴正方向运动； 物体被压缩到最大位移处； 过 处向 轴正方向运动； 物体被压缩到最大位移处； 过 处向X轴负方向运动； 过 处向 轴负方向运动； 过 处向X轴正方向运动。轴正方向运动。 2 A A 2 3 X O 解：先写出简谐振动的标准 表达式，并画旋转矢量图 解：先写出简谐振动的标准 表达式，并画旋转矢量图 )cos( tAx)sin(tAv 物体过平衡位置向物体过平衡位置向X轴正方向运动； 物体被压缩到最大位移处； 过 处向 轴正方向运动； 物体被压缩到最大位移处； 过 处向X轴负方向运动； 过 处向 轴负方向运动； 过 处向X轴正方向运动。轴正方向运动。 2 A A 2 3 X O cos() 2 xAt cos()xAt cos() 6 xAt cos() 3 xAt )cos( tAx)sin(tAv 0cosA 0sin Av 作业：作业： 5 -2 -10 -19 -24 机械振动机械振动机械振动机械振动 )cm(x 24o 解：解：作作t = 0时刻的旋转矢量时刻的旋转矢量 0 A 求：求：质点运动到质点运动到x = -12 cm处所需最短时间。 【例题 处所需最短时间。 【例题3】已知：已知：A = 24cm, T = 3s, t = 0时时 00 12cm,0,xv 作作x = -12cm处的旋转矢量处的旋转矢量 A 12-12 0 A A s5 . 0 6 1 min Tt 3 minmin 2 t T t 五、简谐振动的能量五、简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例 k m ox X (1) 动能动能 2 2 1 mEk )(sin 2 1 22 tkA 0, 2 1 min 2 max kk EkAE 2 4 11 kAdtE T E Tt t kk (2) 势能势能（以平衡点为势能零点）（以平衡点为势能零点） 2 2 1 kxE p )(cos 2 1 22 tkA 情况同动能情况同动能。 ppp EEE, minmax x=Acos( t+ )sin(tA k m ox X (3) 机械能机械能 2 2 1 kAEEE pk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒 五、简谐振动的能量五、简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例 x=Acos( t+ )sin(tA 22 1 sin () 2 k EkAt 22 1 cos () 2 p EkAt 2 2 sin d mglJ dt 为为m绕绕O点转动的转动惯量。点转动的转动惯量。J 六、复摆（物理摆） 复摆的角谐振动方程 六、复摆（物理摆） 复摆的角谐振动方程 C O mg lOC 0 2 2 J mgl dt d mgl J T2 J mgl 2 sin当时当时 竖直悬挂的弹簧振子竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 )()( 2 1 )0 2 0p xxmgxxkE )()( 2 1 00 2 0 xxkxxxk 2 0 2 2 1 2 1 kxkx 222 PK0 111 () 222 EEEkxmvkx 恒量 2 0 2 2 1 2 1 kxkA k m O x k x0 EP =0 mg-kx0 =0 x k 恰当选择零势点，可去掉第二项。恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点以平衡位置为坐标原点和势能零点 2 0 2 0p 2 1 )( 2 1 kxmgxxxkE 2 00 2 0 2 1 )( 2 1 kxxkxxxk 2 2 1 kx 22 kp 2 11 22 1 2 EEEmvkx kA k m O x k x0 EP =0 mg-kx0 =0 x k 注意：注意： 只要以平衡位置为坐标原点和零势点只要以平衡位置为坐标原点和零势点 2 2 1 kxE p 准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能） 准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能） 2 2 1 kAE 振动系统总能量振动系统总能量 5-2 阻尼振动阻尼振动 定义：振动系统因受阻力作用作振幅不断减小的振动定义：振动系统因受阻力作用作振幅不断减小的振动 dt dx bbvfr 弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：弹性力和上述阻力作用下的动力学方程： xbkxxm 令：令： m k 2 0 m b 2 02 2 0 2 2 x dt dx dt xd 称称 0为振动系统的固有角频率，称为阻尼系数为振动系统的固有角频率，称为阻尼系数 物体在流体中受到摩擦阻尼时物体在流体中受到摩擦阻尼时 22 0 )cos()( 0 tAetx t 这种情况称为这种情况称为弱阻尼弱阻尼 阻力使周期增大阻力使周期增大 A和初相位 由初始条件决定和初相位 由初始条件决定0 t 弱阻尼弱阻尼 )(tx 0 0 0 ,)0(,0V dt dx xxt t 即有即有： 000 00 cossin cos AAV Ax , )( 2 2 002 0 xV xA 0 00 0 x xV tg （1）阻尼较小时阻尼较小时，此方程的解此方程的解： tt eCeCtx )( 2 )( 1 2 0 22 0 2 )( t 过阻尼过阻尼 )(tx 无振动发生。无振动发生。 21 CC ，其中 是积分 常数，由初始条件 来决定，这种情况 称为过阻尼。 其中 是积分 常数，由初始条件 来决定，这种情况 称为过阻尼。 （2）阻尼较大时阻尼较大时， 此方程的解此方程的解： t 临界阻尼临界阻尼 )(tx 21,C C是由初始条件 决定的积分常数 是由初始条件 决定的积分常数。 t etCCtx )()( 21 （3）如果如果 2 = 02 方程的解：方程的解： 22 0 是从有周期性因子 到无周期性的 是从有周期性因子 到无周期性的临界点临界点。 5-3 受迫振动与共振受迫振动与共振 一一. 受迫振动受迫振动 1. 系统受力系统受力弹性力弹性力 -kx 2. 振动方程振动方程 周期性策动力周期性策动力 f=F0 cos t f td dx bkx td xd m 2 2 t m F x td dx td xd cos2 0 2 0 2 2 是典型的常系数、二阶、 线性、非齐次微分方程。 是典型的常系数、二阶、 线性、非齐次微分方程。 阻尼力阻尼力 dt dx b m k 0 m b 2 其中其中 3. 稳态解稳态解x=Acos( t+ ) 4. 特点特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 (1)频率频率: 等于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅振幅: 2/122222 0 0 4)( / mF A 其解为：其解为：)cos()cos()( 22 0 tAteAtx t (3)初相初相: 22 0 2 tg 二.共振二.共振 在一定条件下在一定条件下, 振幅出现 极大值振幅出现 极大值, 振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。 (1)共振频率共振频率 : 22 0 2 r (2)共振振幅共振振幅 : 22 0 0 2 / mF Ar 若 若 1 12 21212121 : ()( ) ()( ) 2 coscos 22 xxx tt A 讨论振幅相同情况 合振动不是 简谐振动 合振动不是 简谐振动 21 2121 21 21 0 2coscos( ) 22 cos( ) 2 : 2cos 2 xAtt At AAt 合 合 若同初相 合振幅 当当 2 1 时 时 2 - 1 2 + 1 tAtA) 2 cos(2)( 12 合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动 21 : 2cos 2 AAt 合 合振幅 故称振幅被调制。 , 随时间作周期性变化 拍频拍频 拍 单位时间内合振幅加强(或减弱)的次数 12 22 12 拍 由于周期的微小差别而造成的合振幅时而加强时 而减弱的现象称为拍。 由于周期的微小差别而造成的合振幅时而加强时 而减弱的现象称为拍。 x1 t x2 t x t 三、垂直方向同频率简谐振动的合成 分振动： 三、垂直方向同频率简谐振动的合成 分振动：);cos( 11 tAx)cos( 22 tAy 合运动：合运动：)(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x (1) 合运动一般是在合运动一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 ) 范围内的一个椭圆范围内的一个椭圆 (2) 椭圆的性质椭圆的性质(方位、长短轴、顺或逆时针旋转方位、长短轴、顺或逆时针旋转) 在在 A1 、 、 A2 确定之后确定之后, 主要决定于主要决定于 = 2 - 1 讨论讨论10)( 12 x A A y 1 2 y x 讨论讨论2)( 12 x A A y 1 2 y x 相位同相相位同相 )(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x cos 2 2 2 1 22 tAAyxr 相位反相相位反相 O O 讨论讨论3 21 () 2 1 2 2 2 2 1 2 A y A x )(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 顺时针 y x O 讨论讨论4 所以是在所以是在X轴半轴长为 ，轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的 轴半轴长为 的椭圆方程，且椭圆方程，且逆逆时针旋转时针旋转。 1 A 2 A 1 2 2 2 2 1 2 A y A x ) 2 3 ( 2 )( 12 y x O )(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。 X和和Y方向的相位差决定旋转方向方向的相位差决定旋转方向。 21 AA 讨论讨论5 2 )( 12 ) 2 3 ( 2 )( 12 O )(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4 Q = /4 P . 四、垂直方向、不同频率简谐振动的合成四、垂直方向、不同频率简谐振动的合成 下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 = ( 2 - 1 ) t + ( 2 - 1 ) 两振动的频率成整数比两振动的频率成整数比 这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。 这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。 yxyx nnTT: 李萨如图李萨如图: m h m k 0t 0 x0 v 0 解解：振动系统为（：振动系统为（2 m, k) 确定初始条件：以物体和平板共同 运动时刻为 ) 确定初始条件：以物体和平板共同 运动时刻为t = 0 以平衡位置为坐标原点，向下为正。以平衡位置为坐标原点，向下为正。 x x 已知： 已知： k. m. h. 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 求： 求： T, , A, , 0 【例题】【例题】 m h m k 0t 0 x0 v 0 有：有： x x 以平衡位置为坐标原点，向下为正以平衡位置为坐标原点，向下为正 222 2 0 0 22 1 vm gmgh Ax kk mgkh kmg 得：得： mg kh x v arctg)(arctg 0 0 0 又：又： 0sin 0cos 00 0 0 Av A x 0sin 0 0 为三象限角 相对论小结相对论小结 1、了解狭义相对论的了解狭义相对论的两条基本原理两条基本原理。 2、掌握掌握洛仑兹坐标变换洛仑兹坐标变换公式和公式和相对论速度变换相对论速度变换公式。公式。 3、理解理解同时的相对性同时的相对性。 4、理解相对论时空观理解相对论时空观, 掌握相对论掌握相对论长度收缩长度收缩和 相对论 和 相对论时钟延缓时钟延缓效应及其应用。效应及其应用。 5、掌握相对论掌握相对论质速关系质速关系、质能关系质能关系。 6、掌握相对论掌握相对论动能动能、静能静能以及相对论以及相对论能量能量、动动量量 之间的关系及其应用。之间的关系及其应用。 1、在时空变换的具体解题时，经常用下列公式：、在时空变换的具体解题时，经常用下列公式： 2 2 2 2 2 1 1 c u c xu t t c u tux x 2 2 2 2 2 1 1 c u c xu t t c u tux x 2 2 0 1 c u ll 0 2 2 1 t t u c x x x v c u uv v 2 1 或或 2 2 0 2 0 2 2 0 2 1 c v m m cmmcE cmEmcE k 动能 静能总能量 2、相对论的能量关系：、相对论的能量关系： 22 0 222 )(cmcpE 能动关系能动关系: 振动小结振动小结振动小结振动小结 一、简谐振动的特征：一、简谐振动的特征： 0 d d 2 2 2 x t x kxF 分析步骤：分析步骤： 1、找到平衡位置、找到平衡位置O，建立坐标系；，建立坐标系； 2、沿、沿X轴正方向移动一小位移轴正方向移动一小位移x； 3、证明证明 0 d d 2 2 2 x t x 简谐振动的判定：简谐振动的判定： 二、描述简谐振动的三个物理量二、描述简谐振动的三个物理量TA 2 2 0 2 0 2 2 2 xxA 0 0 x v tg 三、简谐振动的描述三、简谐振动的描述 )(cos tAx 旋转矢量法：旋转矢量法： OAAX 0t t p 解析法： 曲线法： 解析法： 曲线法： t X O A A T 四、简谐振动的能量：四、简谐振动的能量： 2 2 1 kAEEE pk 2 4 1 kAEE Pk 五、了解阻尼振动，受迫振动和共振 六、简谐振动的合成： 五、了解阻尼振动，受迫振动和共振 六、简谐振动的合成： 1、同方向、同频率的两个简谐振动的合成：、同方向、同频率的两个简谐振动的合成： 2211 2211 1221 2 2 2 1 coscos sinsin tg )(cos2 AA AA AAAAA )(cos tAx 2、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成：、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成： 12 拍 拍频tAA 2 cos2 12 合 ) 2 cos( 2 )( cos2)( 1212 t t Atx 3、互相垂直的两种简谐振动的合成 同频率： 不同频率： 频率有简单的整数比： 、互相垂直的两种简谐振动的合成 同频率： 不同频率： 频率有简单的整数比： 运动轨道不是封闭曲线 运动轨道一般是椭圆 运动轨道不是封闭曲线 运动轨道一般是椭圆 李萨如图形李萨如图形 练习练习1 已知：已知：)tsin(Ax 3 2 求：求： ? 0 简谐振动的标准式：简谐振动的标准式： )t(Ax 0 cos )tcos(A)tsin(Ax 63 2 6 0 练习练习2 a a 是否简谐振动？是否简谐振动？ ?T ag l T 2 k