从三次数学危机浅谈数学史

从三次数学危机浅谈数学史电气1503 李子扬 15291073摘要:科学的发展与变革往往离不开危机的产生,它的出现迫使人类对现有成果产生怀疑与思考,进而推动着科学不断的向前.数学史的发展也正是这样,三次重大的危机,也带来了等价的转机.本文将跟随时间的脚步,浅谈数学史的发展脉络.危机是一种被激化的、不可调和的矛盾，矛盾存在于事物的发展变化的整个过程。库恩认为，任何一个范式在一个学科中的统治地位都不是一劳永逸的。在常规科学的发展中，出乎科学家意料之外的现象的出现是不可避免的，当一种反常现象与主流理论相矛盾，且这种矛盾无法克服并不断出现时，就会出现理论方面的生存危机。库恩认为，危机并不可怕，因为危机常常会产生出新的发明。虽然数学以确定性和分析性为特征，但是在整个数学发展的历史上，数学的发展并非线性的，而是不断面临着各种各样“矛盾”的挑战。在矛盾激化到威胁整个数学的基础时，就会产生数学危机。矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的研究内容，新的理论体系，甚至引起革命性的变革。这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展.1. 第一次数学危机毕达哥拉斯学派不把物质的东西看作万物之本，而把精神的产物正整数当作万物之原,提出了“数本原说”。万事万物皆出自于数，回归于数，并只有通过数才能得到理解。总之，数就是毕达哥拉斯学派的宗教，其地位仅次于上帝。他非常重视数学，企图用数（有理数）来解释一切。从仪器测量的角度,无论如何测量始终都是有限的,始终也都局限于整数与整数之比(即有理数).换言之,数学理论发展水平是与实践运用相统一,符合当时人们的认知.问题是毕达哥拉斯学派是一个政治、哲学、宗教、数学的混合组织，所以这个结论就被作为一种宗教信仰而变得神圣不可侵犯了。也正因为如此，当无理数被发现而对这个信条产生威胁时，这个学派的根基就发生了信仰危机。公元前470 年，毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯（Hippasus）考虑了这样一个问题：边长为1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2 的诞生。 危机的出现表明，建立在直觉和经验基础上的看起来毫无疑问的算学并不是绝对无误的信条，而是必须经受严格的理性思维的推理才能为人所接受。从此希腊人开始重视演绎推理，走上了与毕达哥拉斯学派完全不同的道路。他们由“自明的”公理出发，经过演绎推理建立几何学体系。这是数学思想史上一次大革命，也是第一次数学危机的自然产物。可见，无理数的出现，虽然给古希腊数学带来了麻烦，但同时也带来了新生。因为它解除了数学家们思想禁锢，无理数就像催化剂一样，加快了古希腊理论数学的建设。数学家们清楚地认识到，直观和经验是带来我们的不一定是真理，它有时给以错觉和假象数学的真理必须通过严密的逻辑证明，而证明又要以公理为依据，这就倡导了古希腊几何学的公理化方向。 第一次数学危机对古希腊哲学的发展也有着深刻的影响。危机彻底动摇了毕达哥拉斯的数本原说的基础，并且使得哲学由对经验和直觉的迷信转向对理性的崇尚。2. 第二次数学危机在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数（导数）“是消失了的量的鬼魂能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。数学真理是相对真理绝不是赞同相对主义，即认为针对同一问题、从同一个角度进行分析，却可以得出不同的甚至互相矛盾的说法，而且都对，不再需要是非观念，也没有什么真理可言。数学真理是存在的。不容否认。以前面说明的微积分中的导数为例，我们应该接受010的结果，而“回避”的意见显然是错误的。新的极限定义和理论目前还是新事物，正在发展和进步。但是它的方向是正确的，最终它一定会成为主流。有人认为目前的一8定义的极限是相对真理“。不然。它是形而上学的产物。有人把不同的、有矛盾的理论的存在比喻成汽车和火车，认为可以共同发展，互相促进。就极限理论而言，不宜这样认识。也许，用历史上的心说和日心说的斗争作为比喻更合适。托勒密的地心说应该有一定的意义，至少它肯定了行星是运动的。但是它和哥白尼的日心说是不能并存的。相对于哥白尼的日心说，它毕竟是错误的，应该被抛弃。一位哲人指出，一方面，相对真理和绝对真理的区分是不确定的，以便阻止科学变为教条，变为某种僵死的凝固不变的东西；但是一方面，它们又是非常确定的，以便最坚决果断地同信仰主义和不可知论划清界限，同哲学唯心主义和一些诡辩论以及相对主义划清界限。现在应该而且可能适当地强调唯物辩证法在数学中的作用。3. 第三次数学危机1903年，英国数学家罗素在数学原理一书上给出一个悖论很清楚弛表现出集合论的矛盾从丽动摇了整个数学的基础导致了数学危机的产生史称“第三次数学危机”。罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元袁)的集合R现在同R是否属于R?如果R属于R，则R满足R的定义因此R不属于自身。即R不属于R。另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R，这样。不论任何情况都存在矛盾这就是有名的罗索悖论(也称理发师悖论)。罗紊悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础也波及到了逻辑领域德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时收到了罗素关于这一悖论的信他立刻发现自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事典过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”这样，罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科数学和逻辑学。罗索悖论的存在明确地表示集合论的某些地方是有毛病的由于20世纪的数学是建立在集台论上的因此，许多数学家开始致力于消除矛盾，化解危机。数学家纷纷提出自己的解决方案希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。在20世纪初大概有两种方法。一种是1908年由数学家策梅洛(ZermeloErnst Friedrich Ferdinand187l一1953)提出的公理化集台论，把原来直观的集台概念建立在严格的公理基础上对集合加以充分的限釉以消除所知遵的矛盾从而避免悖论的出现这就是集合论发展的第二阶段：公理化集合。解铃还须系铃人，在此之前，危机的制造者罗素在他的著作中层次的理论以解决这个矛盾又称分支类型化。不过这个层次理论十分复杂而策梅洛则把这个方法加以简化，提出了“决定性公理(外延公理)、初等集合公理、分离公理组、幂集台公理、并集合公理、选择公理和无穷公理”。通过引进这七条公理限制排除了一些不适当的集合从而消除了罗素悸论产生的条件。后来策梅洛的公理系统又经其他人，特别是弗兰克尔(AAFraenkel)和斯科伦(TSkdem)的修正和补充，成为现代标准的“策梅洛弗兰克尔公理系统(简称ZF系统)”。这样，数学_)己回到严谨和无矛盾的领域而且更促使一门新的数学分支基础数学迅速发展。从康托尔集合论的提出至今，时问已经过去了一百多年数学卫发生了巨大的变化而这一切都与康托尔的开拓性工作密不可分也和数学家们的艰辛努力密不可分。从危机的产生到解决我们可以看到数学的发展跟提出问题和面对困难是离不开的期间要经历无数的挫折和失敢，但是只要坚持，终会走向成功。矛盾的消除危机的化解往往给数学带来新的内容，新的变化甚至革命性的变革这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史性动力的基本原理。正如数学家壳莱因fFelixChristianKleinl8491925)在数学确定性丧失)中说：“与未来的数学相关的不确定性和可疑将取代过去的确定性和自满虽然这次悖论已经找到解释，危机也已化解，但是更多的还是未知，因为只要仔细分析矛盾又将会被认识更为深刻的研究者发现这种发现不应该被认为是危机而应该感到，下一个突破的机会来到了”四.结语矛盾无处不有，数学虽是一门具有分析性特征的学科，但其内在的矛盾也是固有的，其矛盾激化带来的危机也是不可避免的。夏基松先生认为，数学中危机的实质是“数学上旧的观念的崩溃，人们不能正确认识这种现象而形成的一种危机感。数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们对数学原理的怀疑，产生危机感。然而事物就是在不断产生矛和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了，新的矛盾