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文档简介

最速下降法,最速下降法，也称为梯度下降法，是由法国著名数学家Cauchy在1847年提出的。最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。最速下降法是用负梯度方向为搜索方向，算法非常简单，并且通常对凸解析函数也有良好的收敛性。,最速下降法的基本思想,从任意一点xk出发，沿该点负梯度方向pk=-f(xk)进行一维搜索，设f(xk+kpk)=minf(xk+pk)(0)，令xk+1=xk+kpk为f(x)新的近似最优解。再从新点xk+1出发，沿该点的负梯度方向pk+1=-f(xk+1)进行一维搜索，进一步求出新的近似最优解xk+2。如此迭代，直到某点的梯度为零向量或梯度的范数小于事先给定的精度为止。,给定x0，0，k=0,计算pk=-f(xk),|f(xk)|0),xk+1=xk+kpk，k=k+1,停止，打印xk,Y,N,算法,例.用最速下降法求函数f(x1,x2)2x12+x22的极小点,取x0=1,1T,=0.1。,解由题意得,由于,故进行第一次迭代,从x0=(1,1)T出发进行一维搜索，即构造,得,从而得,故进行第二次迭代运算:,令,从x1=(-1/9,4/9)T出发进行一维搜索，即构造,得,从而得,令,故进行第三次迭代运算:,从x2=(2/27,2/27)T出发进行一维搜索，即构造,得,从而得,令,停止迭代,故最优解为,最速下降法的搜索路径呈直角锯齿形,设xk=(xk1,xk2.xkn),pk=(pk1,pk2.pkn),则令()=f(xk+pk)=f(xk1+pk1,xk2+pk2,.,xkn+pkn),是一元函数f(xk+pk)的极值点，,f(xk+kpk)Tpk=0，即(pk+1)Tpk=0。也就是说，有目标函数在一维搜索产生的新点xk+1=xk+kpk处的梯度与产生该点时所用的搜索方向是正交的。,改进后的算法,精度0，自然数N=2,k=0,Step1:,计算,Step2：,Step3：,如果,，则转Step5；否则进行一维搜索,，令,若k=N,且k/3-k/3=0.则转Step4，否则转Step2.,Step4：,计算,，进行一维搜索,令,，转Step2,Step5：,停止，输出,小结,1、优点：计算简单，需记忆的容量小；对初始点要求低，稳定性高；远离极小点时收敛快，常作为其
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