最短路径问题

最短路径问题第一节：知识要点1.已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）2. 如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短 3. 已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C， 组成三角形，使三角形周长最小.第二节：经典例题讲练例题1：（2014绍兴）将一张正方形纸片，按如图步骤，沿虚线对折两次， 然后沿中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）ABCD解：由题意要动手操作一下，可得到正确的答案B 故选：B变式练习1：（2014六盘水）将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后 沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）ABCD解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论 故选：B例题2：（2014镇江模拟）已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a20）剪下 一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一 个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第3次操作后，剩下的矩形 为正方形，则a的值为（）A5B5、8C5、8、15D5、8、12、15解：裁剪线的示意图如下： 故选：D变式练习2：（2011广州）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折， 接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片 打开，则打开后的展开图是（）ABCD解：第三个图形是三角形， 将第三个图形展开，可得，即可排除答案A， 再展开可知两个短边正对着， 选择答案D，排除B与C 故选D例题3：（2014江西样卷）如图，在ABC中，BAC=90，ABAC，AB=3，BC=5，AC=4， EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A4B5C6D7 解：EF垂直平分BC， B、C关于EF对称， 连接AC交EF于D， 当P和C重合时，AP+BP的值最小， 最小值等于AC的长， 故选A变式练习3：如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄欲在L上的某处修建一个水泵 站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道， 则所需管道最短的是（）ABCD解：作点P关于直线L的对称点P，连接QP交直线L于M 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短 故选D例题4：（2014黄岩区二模）如图，将一个矩形纸条沿直线EF折叠，若1=40， 则2等于（）A110B130C140D160解：矩形的对边平行， 3=1=40， 22-3=180， 即22-40=180， 解得2=110 故选A变式练习4：（2014山西模拟）如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若1=35， 则2=（）A65B55C45D35解：如图，过点D作AE的平行线，则3=1=35，4=90-35=55，2=4=55故选B例题5：（2012乐陵市二模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小 正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形， 共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小 正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；，根据以上操作，若要得 到2011个小正方形，则需要操作的次数是（）A669B670C671D672解：设若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是n 4+（n-1）3=2011， 解得n=670 故选B变式练习5：如图，将ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合已知AC=5cm， ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A7cmB10cmC12cmD22cm分析：根据折叠可得：AD=BD， ADC的周长为17cm，AC=5cm，AD+DC=175=12（cm）。 AD=BD，BD+CD=12cm。 故选C。例题6：（2014德州一模）如图a是长方形纸带，DEF=25，将纸带沿EF折叠成图b， 再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是（）A105B50C65D100解析： 由题意可知折叠前，由BC/AD得： BFE=DEF=25将纸带沿EF折叠成图b后， GEF=DEF=25 所以图b中，DGF=GEF+BFE=25+25=50 又在四边形CDGF中，C=D=90 则由：DGF+GFC=180 所以：GFC=18050130 将纸带再沿BF第二次折叠成图C后 GFC角度值保持不变 且此时：GFCEFG+CFE 所以：CFE=GFC-EFG=130-25=105变式练习6：（2014天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落 在C处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则ABE和BCF的周长之和为（）A3B4C6D8解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C处，折痕为EF， 由折叠特性可得，CD=BC=AB，FCB=EAB=90，EBC=ABC=90， ABE+EBF=CBF+EBF=90 ABE=CBF 在BAE和BCF中，FCBEABBCABABECBF BAEBCF（ASA）， ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3， ABE和BCF的周长=2ABE的周长=23=6 故选：C第三节：课堂小结第四节：家庭作业1.（2013槐荫区一模）如图，要在一条河上架一座桥MN（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得E、F两地的路程最短的是（）ABCD2.（2007山西）如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）ABCD3.已知MON=40，P为MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当PAB的周长取最小值时，APB的度数是（）A40B100C140D504如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向