MBA数学笔记-完整版

第 1 页 共 41 页 考试时间 180 分钟。其中 125 题为数学，每题 3 分；共占 75 分，前 15 个题目是问题求解，后 10 个 是充分性判断；2655 题为逻辑题目，56 和 57 题是两篇作文，分数为 30 分和 35 分；三科捆绑过线。 综合试卷构成： 科目 数学 逻辑 作文 总 分值 75 60 65 200 题目个数 25 （每题 3 分） 30（每题 2 分） 2（小作文 30 分，大作文 35 分） 57 时间（分钟） 70 50（不要超过 60 分钟） 60 180 单题时间 2 分 40 秒 1 分 40 秒 小作文 25 分钟， 大作文 35 分钟 做题顺序 不一定按照印刷顺序，可以按照以下顺序：小作文逻辑数学大作文 / 逻辑 小作文数学大作文。其中，小作文不用太多发挥。 4、 备考资料： 基础讲义数学高分指南太奇模考卷+周测+精选 500 题+历年真题 7、两个教训：两个教训： A、不要死抠题，要有选择的放弃有选择的放弃，舍得一定的机会成本。每年都会有难题，考试时不要随便尝试死盯 住一题不放。 B、一定要找巧妙的方法（例如，特殊值法、看题目中条件间的关系等） 二、基础知识二、基础知识 1、 基本公式： (1) 222 )2abaabb=+（ (2) 33223 )33abaa babb=+（ (3) 22 ()()ab abab+= (4) 3322 ()()abab aabb=+减加 (5) 2222 )222abcabcabacbc+=+（ （6） 222222 222 2() 1 ()()() 2 abcabacbcabcabacbc abacbc +=+ =+ 2、指数相关知识： n aa aa= (n 个 a 相乘) 1 n n a a = n mn m aa= 若 a 0,则a为 a 的平方根， 指数基本公式： mnm n aaa + = / mnm n aaa = ()() nm mnm n aaa = 3、 对数相关知识： 对数表示为logb a(a0 且 a1,b0) ， 当 a=10 时，表示为 lgb 为常用对数； 当 a=e 时，表示为 lnb 为自然对数。 有关公式：Log (MN) =logM+logN logloglog m mn n = log log n m bb a a n m = 换底公式： log1 log loglog b b c a aa cb = 第 2 页 共 41 页 单调性：a1 0P,而 2 SP 则题目选 B 若 1 SP,而 2 SP 则题目选 D 若 1 SP,而 2 SP 但 12 12 SSPC SSPE + + 则题目选 则题目选 形象表示： (A)(A) (B)(B) 联(合)立 (C)(C) (D)(D) 联(合)立 (E)(E) 特点：特点： (1)肯定有答案，无“自检机会”、“准确性高” (2)准确度 解决方案：解决方案： (1) 自下而上带入题干验证(至少运算两次) (2)自上而下，(关于范围的考题) 法宝：特值法，注意只能证“伪”不能证“真” 图像法，尤其试用于几何问题 第一章第一章 实数实数 (1)自然数： 自然数用 N 表示(0，1，2-) (2)0Z + 正整数 Z 整数 负整数 Z (3)质数和合数： 质数：只有 1 和它本身两个约数的数叫质数，注意：1 既不是质数也不是合数 最小的合数为 4，最小的质数为 2；10 以内质数：2、3、5、7；10 以内合数 4、6、8、9。 除了最小质数 2 为偶数外，其余质数都为奇数，反之则不对 除了 2 以外的正偶数均为合数，反之则不对 只要题目中涉及 2 个以上质数，就可以设最小的是 2，试试看可不可以 Eg：三个质数的乘积为其和的 5 倍，求这 3 个数的和。 解：假设 3 个质数分别为 m1、m2、m3。 由题意知：m1m2m3=5(m1+m2+m3) 欠定方程 不妨令 m3=5，则 m1m2=m1+m2+5 m1m2-m1-m2+1=6 第 3 页 共 41 页 (m1-1)(m2-1)=6=16=23 则 m1-1=2,m2-1=3 或者 m1-1=1,m2-1=6 即 m1=3,m2=4（不符合质数的条件，舍）或者 m1=2,m2=7 则 m1+m2+m3=14。 小技巧：小技巧：考试时，用考试时，用 2020 以内的质数稍微试一下。以内的质数稍微试一下。 （4）奇数和偶数 整数 Z 奇数 2n+1 偶数 2n 相邻的两个整数必有一奇一偶 课堂练习：课堂练习： 请判断下列陈述的正误。 合数一定就是偶数。 （） 偶数一定就是合数。 （） 质数一定就是奇数。 （） 奇数一定就是质数。 （） 奇数偶数运算看基础班讲义 16 页上面第 7 小点，结果为奇说明是奇数个奇数相加减 (5)分数： p q ,当 pq 时为真分数，pq 时为假分数，带分数(有整数部分的分数) (6)小数： 纯小数：0.1 ； 混小数：1.1 ；有限小数； 无限小数； (7) Z m n 整数（） 有理数Q 实数R分数（） 无理数 有理数 Q：包括整数和分数，可以知道所有有理数均可以化为 p q 的形式，这是与无理数的区别，有 限小数或无限循环小数均是有理数。 无限循环小数化成 p q 的方法：如果循环节有 k 位，则此小数可表示为： 9k 循环节数字 个 Ex： 。 cba . 0= 999 abc 例 1、 。 312 . 0 . =0.2131313化为分数 分析： 。 312 . 0 . =0.2+ 。 310 . 0=0.2+0.1* 。 31 . 0= 5 1 + 10 1 * 99 13 = 例 2、 。 cba . 0化为最简分数后分子与分母之和为 137，求此分数 分析： 。 cba . 0= 999 abc = 111 26 从而 abc=26*9 无理数： 无限不循环小数 常见无理数： 、e 第 4 页 共 41 页 带根号的数（根号下的数开不尽方），如2，3 对数，如23 有理数(Q) 有限小数 实数(R) 无限循环小数 无理数：无限不循环小数 有理数 整数 Z 分数 真分数（分子分母，如 7/5） 考点：有理数与无理数的组合性质。 A、有理数()有理数，仍为有理数。（注意，此处要保证除法的分母有意义） B、无理数()无理数，有可能为无理数，也有可能为有理数 eg. 如果两个无理数相加为零，则它们一定互为相反数（）。如，222和。 C、有理数()无理数=无理数，非零有理数()无理数=无理数 (8)连续 k 个整数之积可被 k！整除(k！为 k 的阶乘) (9)被 k(k=2,3,4-)整除的性质(讲义第 16 页)，其中被 7 整除运用截尾法。 被 7 整除的截尾法：截去这个整数的个位数，再用剩下的部分减去个位数的 2 倍，所得结果若是 7 的倍数，该数就可以被 7 整除 第二章第二章 绝对值（考试重点）绝对值（考试重点） 1、绝对值的定义：其特点是互为相反数的两个数的绝对值是相等的 穿线法：用于求解高次可分解因式不等式的解集 要求：（1）x 系数都要为正 （2）奇穿偶不穿 2、实数 a 的绝对值的几何意义：数轴上实数 a 所对应的点到原点的距离 【例】充分性判断 f(x)=1只有一根 （1）f(x)=|x-1| (2) f(x)= |x-1|+1 解：由（1）f(x)=|x-1|=1得11 x = 两根 由（2）f(x)=|x-1|+1=1得|x-1|=0,一根 答案：（B） 3、基本公式：|x|a-aa 或 x 6、重要公式 1 x0 | 1 x + 则 若01 aama bbmb + 0) 四、平均值 1、算术平均值： 121 . n i ni x xxx x nn = + = 2、几何平均值 要求是 n 个正数，则 12 1 . n n n gni i xx xxx = = 五、平均值定理 1、 12 12 . . n n n xxx x xx n + 当且仅当 12 . n xxx= 时，两者相等 2、n=2 时， 2 ab ab + 3、当 1 a b =， 1 2a a + 六、比较大小的方法： 1、整式作减法，与 0 比较大小 2、分式作除法，与 1 比较 技巧方法：1、特值法 2、极端法（趋于 0 或无穷大） 【例】 1 1 11 1 1 : 2 3 4a b c =，且 a+b+c=27，求 a-2b-2c 由题意可知，a:b:c=2:3:4, 2349 22 abc a + + =，可得 a=6，b=9,c=12 算出 a-2b-2c=-36 第四章第四章 方程方程 不等式不等式 一、基本定义： 1、元：方程中未知数的个数 次：方程中未知数的最高次方数 2、一元一次方程 Ax=b 得 b x a = 3、一元二次方程 2 ax+bx+c=0(a0) 一元二次方程 2 ax+bx+c=0，因为一元二次方程就意味着 a0。 当= 2 b-4ac0 时，方程有两个不等实根，为 1,2 X= 2 b a 。 当= 2 b-4ac=0 时，方程有两个相等的实根。 当= 2 b-4ac0 时，开口向上，a0 时，有两个不等实根，=0， 有两个相等实根，0, 0；恒负：a，0 （2）有两个负根 1212 0,00 bc xxx x aa += ， （3）一正一负根 12 0 c x x a =|负根|，则再加上条件 a，b 异号； 如果再要求|正根|1 时 ( )( ) loglog( )( )0 f xg x aa f xg x 0a 指数相关知识： n aa aa= (n 个 a 相乘) 1 n n a a = n mn m aa= 对于 1 n a，若 n 为正偶数，则 a0；若 n 为正奇数，则 a 无限制；若 n 为负偶数，则 a0；若 n 为负 奇数，则 a 0。 若 a 0,则a为 a 的平方根，负数没有平方根。 指数基本公式： mnm n aaa + = ()() nm mnm n aaa = 其他公式查看手册 题型三、韦达定理的应用 不等式不等式 不等式的性质： 第 11 页 共 41 页 1、 同向皆正相乘性 0 0 ab acbd cd 2、 皆正倒数性 11 00ab ba 3、 0 0 ab ab cddc 4、 22 0abab 不等式解集的特色：解集端点的值代入不等式时，不等式左边等于右边。 一、一元一次不等式一、一元一次不等式 0 0 axb axb0 时 b x a 若，a0 时 b x a a0 时 b x a 21 1 32 x x + 移向通分得： 213 10 3232 xx xx + = (3)(32)0 xx 二、含绝对值的不等式二、含绝对值的不等式 321x+ 1321x + 34 25 x 12310 xx+ 第 12 页 共 41 页 临界点为-1， 3 2 x-1 时， 解得 8 1 3 x -1x 3 2 时， 解得 -1x 3 2 x 3 2 时， 3 2 x4 合并得， 8 4 3 x0, 22 ab 2.a 注：将系数调整为正数后在求解 2 0axbxc+ 时，a0 时， 21 ,xx xx 2 0axbxc+0 时， 12 xxx 或0 方法：穿针引线法(由右上开始往下穿) 注：偶次方先穿时，不考虑，穿后考虑特殊点； 奇次方不考虑全看为一次。 23 (1) (1)(2) (3)xxxx+0 x1 且 x-1，或 2 = 0 时，方程有两个不等实根，为 1,2 X= 2 b a 。当= 2 b-4ac=0 时，方程有两个相等 的实根。当= 2 b-4ac0 时，开口向上，a0 时，有两个不等实根，=0， 有两个相等实根，0, 0；横负：a，0 （2）有两个负根 1212 0,00 bc xxx x aa += ， （3）一正一负根 12 0 c x x a =|负根|，则再加上条件 a， b 异号；如果再要求|正根|0 且 a1,b0) ，当 a=10 时，表示为 lgb 为常用对数；当 a=e 时，表 示为 lnb 为自然对数。 有关公式：Log (MN) =logM+logN logloglog m mn n = log log n m bb a a n m = 换底公式： log1 log loglog b b c a aa cb = （5） 对数方程，不等式的应用 方程： ( )( ) loglog( )( )0 f xg x aa f xg x= 不等式：a1 时 ( )( ) loglog( )( )0 f xg x aa f xg x 0a 指数相关知识： n aa aa= (n 个 a 相乘) 1 n n a a = n mn m aa= 对于 1 n a，若 n 为正偶数，则 a0；若 n 为正奇数，则 a 无限制；若 n 为负偶数，则 a0；若 n 为负 奇数，则 a 0。 若 a 0,则a为 a 的平方根，负数没有平方根。 指数基本公式： mnm n aaa + = ( )() nm mnm n aaa = 其他公式查看手册 3、题型三、韦达定理的应用（讲义 P33） 不等式：不等式： 注：解方程时注意变号原则。 不等式的性质： 3、 同向皆正相乘性 0 0 ab acbd cd 4、 皆正倒数性 11 00ab ba 2、超级不等式：指数、对数问题 （1）对数的图像要掌握 方程： ( )( ) loglog( )( )0 f xg x aa f xg x= 不等式：a1 时 ( )( ) loglog( )( )0 f xg x aa f xg x 单调递增 0a 单调递减 第 17 页 共 41 页 对于 1 n a，若 n 为正偶数，则 a0；若 n 为正奇数，则 a 无限制； 若 n 为负偶数，则 a0；若 n 为负奇数，则 a 0。 若 a 0,则a为 a 的平方根，负数没有平方根。 第五章第五章 应用题应用题 一、比、百分比、比例一、比、百分比、比例 （1）知识点 利润=售价-进价 利润=出厂价-成本 利润率= 利润 进价（成本） 变化率= 变化量 变前量 十字交叉法的使用法则 1、 标清量 2、 放好位 （减得的结果与原来的变量放在同一条直线上） 3、 大的减小的 题型归纳 1、 增长率（变化率问题） 2、 利润率 3、 二因素平均值 4、 多比例问题 5、 单量总量关系 6、 比例变化 7、 比例性质 二、工程问题二、工程问题 （总量看成（总量看成 1 1） （1）知识点 工量=功效*工时 （效率可以直接相加减） 工量定时，工效、工时成反比 工效定时，工量、工时成正比 工时定时，工量、工效成正比 纵向比较法的使用范围： 如果题目中出现两条以上可比较主线，则可用 纵向比较法的使用法则： 1、 一定要找到可比较的桥梁 2、 通过差异找出关系并且利用已知信息求解 工程问题题型： 效率计算 纵向比较法 给排水问题 效率变化问题 第 18 页 共 41 页 三、速度问题三、速度问题 知识点： 1. S=vt S 表示路程（不是距离或位移），v 匀速，t 所用时间 s 定，v、t 成反比 v 定，s、t 成正比 t 定，s、v 成正比 2相遇问题 S 为相遇时所走的路程 S 相遇=s1+s2=原来的距离 V 相遇=v1+v2 相遇时所用时间 S t V = 相遇 相遇 3.追击问题 S 追击=s1-s2 （走的快的人比走的慢的人多走的路程） V 追击=v1-v2 4.顺水、逆水问题 V 顺=v 船+v 水 V 逆=v 船-v 水 （V 顺-V 逆=2 v 水） 例 16. 公共汽车速度为 v，则有 1601602 2 803vv = + 得 v=40；最好用中间值代入法 中间值代入的适用范围： 往往在速度问题中，得到分母出现未知数，并且不可以简单化解的方程，此时最有效的方法是中间值代 入法，而回避解一元二次方程。 使用法则： 用中间值代入而非中间答案 同等条件下用最简洁最方便的代入 如果第一次代入后不符合题意，则一定要判断准答案的发展方向。 例 17. （V卡+60）6=（48+ V卡）7 得V卡=24 （V卡+60）6=（V丙+24）8 得V丙=39 例 20第一次相遇：小明走了 500，小华走了 S-500； 第二次相遇：小明走了 S+100，小华走了 S-100 500S 100 S900 S-500S 100 + = 第一次相遇：小明和小华走了 S； 第 19 页 共 41 页 第二次相遇：小明和小华走了 2S 说明第二次 2 个人走的都是第一次的 2 倍 对于小明来说：S+100=2500 S=900 例 21.设船速 v，水速 x，有 12080 16 vxvx 60120 16 vxvx += + += + 解得x 2.5= 速度问题题型总结： 1.s=vt（中间值代入法例 17、例 18） 2. S 相遇=s1+s2，V 相遇=v1+v2（例 19、例 20、例 21、例 22） 3. 顺水逆水问题（例 23） 四、浓度问题四、浓度问题 知识点：定义：浓度= 溶质 溶液 溶液=溶质+溶剂 溶质=浓度溶液 溶液= 溶质 溶度 例 24.属于补水（稀释）问题 第一次剩下纯： x20（）60% 浓度： x20 x （）60% 第二次倒出纯： x20 x （）60% 30 剩下纯： x20（）60% -30 x20 x （）60% 浓度为：【 x20（）60% -30 x20 x （）60% 】/x=20%x=60 通用公式： 倒两次： 2 vavb v = 原浓度（）（） 后浓度 倒三次： 3 vavbv c v = 原浓度（）（）（-） 后浓度 v 为原来溶液的量，a 为第一次倒出的量，b 为第二次倒出的量 题型归纳 浓度计算 补水问题 五、画饼问题五、画饼问题 1两饼相交 总=A+B-x+y 例 25.设只有小提琴人数为 5x，则总人数=46=22+5x+3x-3x+14 得 x=2 只会电子琴的=22-6=16 第 20 页 共 41 页 2.三饼相交 总=A+B+C-x-y-z+m 例 28.总=3 30 -5-6-8+3=74 六、不定方程六、不定方程 1.最优化方案选择的不定方程 2.带有附加条件的不定方程 3.不等式形式的不定方程 步骤： 1.要勇敢的表达出方程 2.观察方程和附加条件拉关系 3.求解（穷举法） 例 27.设一等奖，二等奖，三等奖人数为 a，b，c，则有 一 二 三 a b c（a，b，c 为正整数） 6a+3b+2c=22 9a+4b+c=22 得 a2 接着穷举法 当 a=1 时，b=2，c=5 当 a=2 时，不符题意 最优化方案选择题目的解决方案： 1、找到制约最优的因素（稳，准，狠） 2、判定什么情况下最优 3、求解 不等式形式的不定方程解决方案： 列出不等式 通过不等式组求出解得范围 根据附加条件判定具体解集 例 29.东欧2/3 欧美 欧美2/3 总数 总数有最大值 1 0,0, n adS有最小值 N 的取值四舍六入，例： （1）n=5， 5 S有最值 （2）n=5.1， 5 S有最值， （3）n=5.6， 6 S有最值， （4）n=5.5， 56 SS=有最值，且 116 0,0Sa= 总结： （1） n a为 n 的一次函数 （2） n S为 n 的无常数项的二次函数 （3）若 n a为常数列， n a退化为常数， n S退化为 n 的一次函数，如3 n a =，3 n Sn= 【补例】 , nn ab前 n 项和为, nn S T，则 1919 :3:2ST = （1） , nn ab为等差数列 （2） 1010 :3:2ab = 利用 S=脚码*中间项，选 C 【补例】等差数列中 9 72S =，求 249 aaa+= 95 972Sa=， 5 8a = 2495 324aaaa+= 【补例】 1 3 2 n n n a + =是等比数列， 1 33 , 24 qa= 第 24 页 共 41 页 1 1 1 3 33 3 4 24 2 n n n = () 1 11 1 111 n n n aq aa Sq qqq = ，为一定有常数项的指数函数。 【补例】21 n n S =是等比数列 【补例】 1 3 2 n n n S + = 不是等比数列，需要配一个常数 1 31 2 22 n n S = + ，常数与系数相反数， 1 31 , 24 qa= 的等比数列 注：2n n S =不是等比数列，但是只影响第一项，从第二项开始与21 n n S =所代表的等差数列的第二 项开始完全相等。 【补例】09-01-11， 1 21 0, 221 n nn n S aaa S = ，则 1 n S 是 A、首项为 2， 1 2 q =的等比数列 B、首项为 2，2q =的等比数列 C、既非等差又非等比 D、首项为 2， 1 2 d =的等差数列 E、首项为 2，2d =的等差数列 1 2 21 n nn n S SS S = ，万能公式 22 11 1 1 222 11 20 11 2 nnnnnn nn nn SSS SSS SS SS += += = 答案选 E 总结： （1） n a为 n 的指数函数 （2） n S为 n 的有常数项的指数函数，且系数相反 （3） 若 n a为非 0 常数列时， n a退化为常数， n S退化为 n 的一次函数， 如 1n aa=该常数， 1n Sna= （4）既成等差数列又成等比数列的一定是非 0 常数列 【补例】等差数列， 510 37aa=，且 1 0a ，ACBC+最小值为 AB 分析：由于等号取不到，答案错误 正确答案：作A点关于 x 轴的对称点得A ACBCA CBCA B+=+ (1,3)A、(1, 3)A、(4,6)B、 9 183 10A B =+= 求 C 点，利用等比关系 6 93 CD =,2CD = 当点 C 在（2,0），时ACBC+的最小值为3 10。 （2）：作AB的延长线，C 点是AB延长线与 x 轴的交点 993 2ACBCAB=+= 因此可知，当 C 点在（-2,0）时，ACBC最大值为3 2 总结总结 1、当 A 点、B 点在坐标轴的同侧时，求ACBC+最小值，需做对称点， 求ACBC值最大，直接连线即可。 2、当 A 点、B 点在坐标轴的两侧时，求ACBC+最小值，直接连线即可， 求ACBC值最大，需做对称点。 （3）三角形的四心 第 28 页 共 41 页 重心：三条中线的交点，将中线分成 1：2 两段，坐标为（ 123 3 xxx+ ， 123 3 yyy+ ） 垂心：三条高的交点。 内心：内切圆圆心，三条角平分线交点，角平分线到角两边的距离相等 外心：外接圆圆心，三条边的中垂线交点。 总结总结 1、内心与重心必在三角形内部。 2、外心与垂心Rt 在三角形内锐角三角形 外心在斜边中点 在边界上三角形 重心在直角顶点 在三角形外钝角三角形 （4）周长与面积 周长L=a+b+c 面积 S= 1 2 absinc= ()()()p papbpc,p 为半周长 （等底等高等面积；若等高，面积比等与底（等底等高等面积；若等高，面积比等与底边比）边比） （5）全等和相似 相似：周长、中线、高之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方。 （6）特殊三角形 1）Rt 勾股定理： 222 abc+= 常用的勾股数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41） （观察够股数发现以下特点 1、首数字为基数；2、其周长为 2 (1)nnn n+=+。） 例 1、Rt,直角边最短为 17，求周长？ 周长为 2 (1)17 18306nnn n+=+= 等腰直角, 角度 45 45 90 三边 1:1:2 等差数列直角, 角度 30 60 90 三边 1: 3：2 一般Rt，外接圆半径 2 C R = ， 内接圆半径 2 abc r + = 2）等腰 2 2 4 c ha=， 2 3 4 Sa= 3）等边三角形：四心合一，当边长为 a, 面积 s= 2 3 4 a , 内切圆半径 r= 3 36 ha r =, 外接圆半径 R= 23 2 33 ha Rr= 3、四边形 （1）平行四边形 两组对边分别平行的四边形。两组对边分别相等，两组对角线互相平分 面积为底乘以高 第 29 页 共 41 页 （2）矩形（正方形） 对角线 22 lab=+ ，面积S a b= ， 2()cab=+ 阴影部分都为 1 2 S （3）菱形 四边长均为 a 的四边形。 对角线互相垂直平分面积还可以表示为对角线乘积的一半 （推广：只要对角线相互垂直，四边形面积就可以表示为对角线乘积的一半） （4）梯形 只有一组对边平行的四边形。上底为 a，下底为 b，中位线 l=1/2(a+b) 则 1 () 2 Sab hlh=+= 特殊梯