湖南省_2006年_高考数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）1. 函数的定义域是A B C D 2. 若数列满足: , 且对任意正整数都有, 则A B C D 3. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有A4条 B6条 C8条 D12条4. “”是“函数在区间上为增函数”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5. 已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是A B C D 6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有A 16种 B36种 C42种 D60种7. 过双曲线的左顶点作斜率为1的直线, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 且, 则双曲线的离心率是A B C D8. 设函数, 集合, 若, 则实数的取值范围是A B C D 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截 面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A B C D 10. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是A B C D 11. 若的展开式中的系数是, 则实数的值是_.12. 已知 则的最小值是_.13. 曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是 _.14. 若是偶函数, 则有序实数对可以 是_.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)15. 如图2, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动, 且,则的取值范围是_; 当时, 的取值范围是_. 16. 如图3, 是直角斜边上一点, .()证明: ; ()若,求的值.17. 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是, 整改后安检合格的概率是,计算(结果精确到);() 恰好有两家煤矿必须整改的概率; () 平均有多少家煤矿必须整改;() 至少关闭一家煤矿的概率 .18. 如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, () 证明: ; () 求异面直线所成的角;() 求点到平面的距离.19 已知函数, 数列满足: , an+1=f(an)，证明： () ; () .20 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, 其中是该物体初次清洗后的清洁度. ()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; ()若采用方案乙, 当为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.21已知椭圆, 抛物线, 且的公共弦 过椭圆的右焦点 . () 当, 求的值, 并判断抛物线的焦点是否在直线上;() 是否存在的值, 使抛物线的焦点恰在直线上? 若存在, 求出符合条件的的值; 若不存在, 请说明理由 . 2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案1.D； 2.A； 3.D； 4.A； 5.B； 6.D； 7.A； 8.C； 9.C； 10.B；11.； 12.5； 13.； 14.(1，) ； 15.() ,；16、解 (I)如图, 因为，所以 ，即 。（II）在中,由正弦定理得，即。所以。由（I），所以。即，解得或。 因为，所以，从而。17、解（I）每家煤矿必须整改的概率是10.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是。（II）由题设，必须整改的煤矿数服从二项公布，从而的数学期望是，即平均有2.50家煤矿必须整改。（III）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是，由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是18.解法一（）连接AC、BD，设ACBDO因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD（II）由题设知，ABCD是正方形，所以由（I），平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，于是从而异面直线AQ与PB所成的角是（）由（），点D的坐标是，设（x,y,z）是平面QAD的一个法向量，由解法二（）取AD的中点M，连接PM,QM,因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM,ADOM（）由（），点D的坐标是解法二（），点D的坐标是解法二（）取AD的中点M，连接PM，QM.因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM,ADQM从而AD平面ABCD。（）连接AC,BD,设ACBD0，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P，A，Q，C.取OC的中点N，连接PN（或其补角）是异面直线，AQ与PB所成的角，连接BN，因为19.（本小题满分14分）已知函数，数列满足：，证明：（） （）证明 （）先用数学归纳法证明当时，由已知，结论成立。（iii）假设当时结论成立，即因为时，所以在（0，1）上是增函数，又在0，1上连续，从而，即，故当时，结论成立由（i）、（ii）可知，对一切正整数都成立又因为时，所以，综上所述（）设函数由（）知，当时，从而所以在（0，1）上是增函数，又在0，1上连续，且，所以当时，成立。于是，即，故20.解：（）设方案甲与方案乙的用水量分别为与，由题设有，解得由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足方程，解得，故即两种方案的用水量分别为19与。因为当时，即，故方案乙的用水量较少（）设初次与第二次清晰的用水辆分别为与，类似（）得 （*）于是当为定值时，当且仅当 时等号成立，此时（不合题意，舍去）或（0.8，0.99）将代入（*）式得故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量是当时，故是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）。这说明，随着的值的增加，最少总用量增加。21解： (I)当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m0，直线AB的方程x1，从而点A的坐标为（1，）或（1，）。因为点A在抛物线上，所以，即。此时C2的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上。（II）解法一 假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由(I)知道直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为。由消去y得.设A、B的坐标分别为，则x1、x2是方程的两根，由消去y得（kxkm）22px.因为C2的焦点在上，所以即。代入有 。即。.由x1，x2 也是方程的两根， 所以。从而，。 .又AB过C1,C2的焦点。所以，则。.由，得。即。解得k26。于是,。因为C2得焦点在直线上，所以。即或 。由上知，满足条件得m、p存在，且或，解法二 设