中考数学中与正方形有关的动态问题

中 数 学 中 5 方 有 动 杰问题 正方形作为四边形中性质和判定都非常丰富 的一种 图形 ， 在 中考数学 中与之有关 的问题 经常出 现 ， 是 中考数学 中常见 的考点 ， 而 与其有关 的动 态 问题更是多以比较大分值的题 目出现 ， 对它的分析 与归纳应该是引起我们关注的 现以 2 0 0 9年中考数 学试卷中出现的题 目举例说明： 一 、以正方形为基础图形 ( 背景图形 ) 。 正 方形 不动 ， 运用正方形的相 关性质解决问题 例 1 ( 2 0 0 9宁德 ) 如 图 1 ， 已知正 方形 A B C D 在直线 MN的上方， B C在直线 MN上， E是 B C上一 点， 以A E为边在直线 MN的上方作正方形 A E F G ( 1 ) 连接 G D， 求证 ： A， J G AA B E； ( 2 ) 连接 F C ， 观察并猜测 F C N的度数， 并说 明理由： ( 3 ) 如图 2 ，将 图 l中正方形 AB C D改为矩形 A B C D， A B = a ， B C = b ( n 、 b为常数) ， E是线段 B C上一 动点( 不含端点 B、 c) ， 以 A E为边在直线 MN的上 方作矩形 A E F G，使顶点 G恰好落在射线 C D上 判 断当点 E由 向 c运动时， F C N的大小是否总保 持不变， 若 F C N的大小不变， 请用含 o 、 b的代数 式表示 t a n F C N的值； 若 F C N的大小发生改变， 请举例说明 图 1 图 2 图 3 分析本题前两小题利用三角形的全等， 能比 较容易的得出结论 第( 3 )小题在利用前两小题的 部分结论， 证明AE F HaG A D和AE F HAA B E， 从而得出相等线段， 再由“ 相似三角形对应边的比 崔海滨 相等” 这一性质， 最终得到对 猜想 的证 明 解析 ( 1 )由A D = A B， G A D= E A B，利用 S A S可得证 ( 2) F C N= 4 5 。 理 由 是 ：作 F H - L MN 于 日 由 A A S可 证 明 EF H AB E F H= BE， EH= A B=BC， CH：BE=F H FHC=9 0。 日=4 5。 ( 3 )当点 E 由 曰向 C运 动 时 ， F C N 的大 小 总保持不变 理 由是 ： 作 刚 上MN于 日 由 已知可得 E A G = BAD= AEF = 9 0 。 结合( 1 ) ( 2 ) 得 LF E H = E = LD A G 又 G在射线 C D上 GDA= EHF ：L EBA- 90 o 朋 a G AD A EF H AABE EH= A D= BC = b C H= BE EH FH FH 一 一 一 在 R t A F E Hta ll L F C N = 器= 筹= 当点 E由 向 c运动时， F C N的大小总 保持不变 ， t a n = n 评注 此题利用正方形各边相等、 四个角都是 直角等性质， 并通过适当添加辅助线， 完成前两个 问题 的证 明、 猜想 第三个 问题 ， 化特 殊为一般， 将正 方形 变为矩形 ， 并将点 E化静 为动 ， 形 成动态 问题 同时结合 了三角形的全等、 相似、 锐角三角函数等 知识， 要求学生有一定的观察、 猜想和证明的能力 二、正方形与平面直角坐标系、 函数相结合 ( 一 ) 正方形不动 例 2( 2 0 0 9兰州 ) 如 图 4 ， 正 方形 A B C D中 ， 点A、 曰的坐标分别为( 0 ， 1 0 ) ， ( 8 ， 4 ) ， 点 C在第一象 限动点 P在正方形 A B C D的边上 ， 从点 A 出发沿 A 一曰 一C D匀速运 动 ， 同时动点 Q以相同速度在 轴正半轴上运动， 当P点到达 D点时， 两点同时停 止运动 ， 设运动的时间为 t 秒 ( 1 ) 当P点在边AB上运动时， 点 Q的横坐标 ( 长度单位) 关于运动时间 ( 秒) 的函数图象如图5所 示， 请写出点 q开始运动时的坐标及点P运动速度； ( 2 ) 求正方形边长及顶点 C的坐标； ( 3 ) 在 ( 1 ) 题中当t 为何值时， AO P Q的面积 最大， 并求此时P点的坐标； ( 4 ) 如果点 P 、 Q保持原速度不变，当点 P沿 一 + D匀速运动时， O P与印 能否相等， 若能， 写出所有符合条件的t 的值； 若不能， 请说明理由 分析第( 1 )问通过对函数图象的观察， 容易 得出点 Q的坐标及速度， 再由“ 同时动点Q以相同 速度” 这个条件求得点P的速度。 利用勾股定理 及三角形的全等也能比较容易的求出 ( 2 )的结果。 ( 3 )中辅助线的添加不难，利用A 一AA B F时 对应边 的关系，求 出相应的线段 ，问题也就迎刃而 解。( 4 )问中需要对点P在各边的情况都考虑进去 解析( 1 )Q ( 1 ， 0 ) ， 点P运动速度每秒钟 1 个 单位长度 ( 2 )如 图6 ， 过点 B作 B F Y轴于点 F ， B E上 轴于 点 E 可得 AF =1 0 4 = 6 在 R t AA F B中， A B = 8V= 1 0 过点C作 C G上 轴干点G， 与F B的延长线交 于点 H LABC = 9 0 。 AB= BC AAB， 坌A 曰 C H B H= A F = 6 C 日= F l _ 8 。 OG = F H= 8 + 6 = 1 4 ， C G= 8 + 4 =1 2 所求 C点的坐标为( 1 4 ， 1 2 ) 图 4 图 5 图 6 ( 3 )过 点 P作 P Mj _ y轴于 点 M， P N上 轴于 点 N， 则AA P M,-AA B E： J 用对应边成 比例， 可得： A ， ： P N= O M=1 0 一 f ， 0 f ： ) 3 设AO p Q的面积为 |s 则 s = 1 ( 1 0 一 3 ) ( 1+ t )= 5 + 一 斋 ( 0 t 1 0 ) 从而 当f = 时 ， AO P Q的面积最大 此时尸的坐标为 百9 4， ) ( 4 ) 当 拉 或 拄 等 时 ， O P 与 相 等 点评本题以正方形为背景， 将正方形置于平 面直角坐标系下 正方形不动， 点动， 并结合函数图 象、 函数最值问题， 是一道比较综合的题 目 在解决 本题时， 正方形的性质得到充分的利用， 对于学生的 思维能力提 出了一定的要求，同时学生要对三角形 的全等、 相似的判定及其性质、 二次函数最值等知识 点掌握全面， 并进行合理运用 在题 目中， 要利用图 形中点的坐标， 求出相关线段的长度， 体现数形结合 的思想 ( 二 ) 正方形旋转 例 3 ( 2 0 0 9济宁) 如图7 ， 在平面直角坐标系 中， 边长为 2的正方形 O A B C的两顶点A、 C分别在 Y轴、 轴的正半轴上 ，点 0在原点现将正方形 O A B C绕 0点顺时针旋转 ， 当A点第一次落在直线 ， 上时停止旋转 ，旋转过程中， A B边交直线 ， 于点M， B C边交 轴于点 ( 如图) ( 1 ) 求 在旋转过程中所扫过的面积； ( 2 ) 旋转过程中， 当MN与 A C平行时， 求正方 形 O A B C旋转的度数； ( 3 ) 设MB N的周长为P ， 在正方形 O A B C旋 转的过程中， P值是否有变化?请证明你的结论 y= x N C 图 7 l y- B x 一 r 图 8 分析( 1 )求O A扫过的面积， 即求半径为2 ， 圆心 角为 4 5 。 的扇 形面积 ( 2 )利用旋 转的性质 ， 易 证0 AO C N，再由全等三角形的性质求得 - A0 M= 2 2 5 。 ( 3 ) 是一个常规的题目，先猜想后证 明， 利用两次全等可求解 解析( 1 ) O A在旋转过程 中所 扫过 的面积为 4 5叮 T2 一 耵 丽 一 ( 2 )由MN a C， 可证 B M= B N 进而 A M= C N 利用上面条件， 可 以证 明AO AM AO C N 可知 O M= 1( 9 0 。 一 4 5 。 ) = 2 2 5 。 从而可知答案也是 2 2 5 。 ( 3 ) P值无变化 证 明 ： 延长 交 Y轴于 E点( 如 图 8 ) ， 可证 A OAE A OCN 再证 oM E 垒 OMN MN = ME = A M A E 而 MN= AM+ C N p= MN+ B N+ B M = A M+ C N+ B N+ BM= AB+ BC = 4 在旋转正方形 O AB C的过程 中， P值无变化 点评 本 题 同样是将 正方形置于平 面直角 坐 标系下 ， 但 与上例不 同的是本题 中正方形绕其 一个 顶点( 坐标原点) 旋转， 形成一个动态问题， 利用正 方形的相关性质和旋转的性质，并结合扇形面积、 平行、三角形全等等知识，从而解决问题 总的来 看， 本题难度 一般 例 4( 2 0 0 9河北) 在图 9至 图 1 1中 ， 点 曰是 线段 AC的中点 ，点 D是线段 C E的 中点四边形 B C G F和 C D H N都是正方形 E的中点是 ( 1 ) 如图 9 ， 点 E在 A C的延长线上 ， 点 与点 G重合时，点 与点 c重合，求证： F M= MH， 上 MH； ( 2 ) 将图9中的 C E绕点 c顺时针旋转一个锐 角， 得到图 1 0 ， 求证： AF MH是等腰直角三角形； ( 3 ) 将 图 l 0中 的 C E缩 短 到 图 1 1的情 况 ， AF MH还是等腰直角三角形吗?( 不必说明理由) 分析( 1 )中通过证明膪 AMD H即可 得 出结论 ， 难度不大 第( 2 )问通过 旋转变化 ， 产 生 新问题 ， 添加辅助线后， 利用三角形中位线性质定 理，得到相等线段和平行线段，最终证明AF B M AMD H， 进 而得 出结论 解析( 1 )由AF B M MD H 镊 F M= MH F MH = 9 0 而南 F MLH M ( 2 )证 明 ： 连 结 MB、 MD， ( 如 图 1 2 ) ， 设 F M 与 C交于点 P _ 、 、 分别是 A C 、 C E、 A E的中点 ， ? MDf B C MD=B C=B F ； MBf f C D 且 MB = CD= DH 四边形 B C D M 是平行 四边形 CBM： CDM 叉 。 F BP = HDC。 F B M= MDH 。 F B M 垒 MDH 。 F M= MH且 MF B = HMD FMH= MD HMD = AP M一 MF B ： F BP = 9 0 o AF MH是等腰直角三角形 ( 3 ) 是 图 9 图 1 0 F G N 图 11 图 1 2 点评本题中出现两个正方形， 能较好地考查 学生综合运用数学知识、思想方法去探索规律、 获 取新知的能力 题 目具有一定的层次性， 层层深入， 可以使不同水平的学生展示不同的探究深度， 符合 新课标“ 不同的人在数学上得到不 同的发展” 的基 本理念 同时， 让 学生经历 学 习、 探 索、 问题 解决 的过 程 考查 了学生学习、 研究、 发现知识的能力以及用 数学知识解题的能力， 也就是我们所说的数学能力 ( 三) 正方形平移 例 5( 2 o o 9台州 )如 图 1 3 ，已知直 线 ， ， 一 1 x+l ，交坐标轴于 A， 曰两点 ， 以线段 A B为边 Z 向上作正方形AB C D， 过点 A， D， C的抛物线与直线 另一个交 点为 E ( 1 ) 请直接写出点 C， D的坐标； ( 2 ) 求抛物线的解析式； ( 3 ) 若正方形以每秒、 个单位长度的速度 沿射线A曰下滑， 直至顶点 D落在 轴上时停止 设 正方形落在 轴下方部分的面积为S ，求 S关于滑 行时间 t 的函数关系式 ，并写出相应自变量 t 的取 值范围； ( 4 ) 在( 3 ) 的条件下 ， 抛物线与正方形一起平 移， 同时 D停止 ， 求抛物线上 C ， E两点间的抛物线 弧所扫过的面积 分析本题( 1 )， 通过直线解析式， 令 x = 0和 y = 0求出点A、 B的坐标， 再运用三角形的全等求点 C 、 D的坐标 4 用( 1 )的结论， 使用待定系数法确定 函数解析式， 完成( 2 )， 而在( 3 )中， 则需对不同情 况进行分类讨论， 即当点A运动到点 F时， 当点 C 运动到 轴上时和当点D运动到 轴上时， 分三种 情况进行求解 ( 4 ) 通过图形的割补， 将阴影部分转 化成规则的 图形 1 一 、一 、 、 = 解 析 ( 1 )C ( 3， 2) ， ， J ( 1 ， 3 J ； ( 2 )设抛物线为 y = a x + b x + c ， 将 ( 0 ， 1 ) ， ( 3 ， 2 ) ， ( 1 ， 3 ) 代入表达 式可得， y = 一 2 + + 1 ( 3 ) 当点A运动到点F时， t = l ， 当0 t 1时， 如图1 4 ， 可求出： s c = ) z- -F B G B = 1 v 3 - f = 扣 D 一 j 图 1 4 当点 C运动到 轴上时， t = 2 ， 当 0 t 2时， 如 图 1 5 ， 可 以求出 S s = ( G x B n) x a B ： 争 ( + ) 、 = 手 一 ； ， 、 ， d 当点D运动到 轴上时， t = 3 ， 当 2 3时