九年级数学下册 27.2 相似三角形深度解析

相似三角形 学 习 目 标 导 航 知道相似三角形的概念, 能准确找出两个相似三角形的对应边和对应角 识别两个三角形相似的条件, 会选择恰当的方法识别两个三角形相似 学会运用三角形相似的知识, 解决不能直接测量物体的长度和高度等一些 实际问题 知道相似三角形的性质, 能运用性质进行有关计算 教 材 知 识 详 析 要点 相似三角形及其相关知识 对应角相等、 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形对应边的比叫做相 似比若A B C与A B C 相似, 记 作A B C A B C , 读 作A B C相 似 于 A B C 若A B CA B C , 且 A B A B B C B C C A C A k , 则k称为A B C与 A B C 的相似比, 若k, 则A B CA B C 归纳整理: ( ) 用“” 这个符号表示两个图形相似时, 对应的顶点应该写在对 应的位置上例如:A B CD E F时, 点A和点D, 点B和点E, 点C和点F分 别是对应顶点这样就可以比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 ( ) 相似 比有 顺序, 即若A B C与A B C 的 相 似 比 为k, 则A B C 与 A B C的相似比为 k ( ) 全等三角形是相似比为的相似三角形, 即相似三角形包含全等三角形, 但相似三角形不一定是全等三角形 ( ) 相似的特征: 两个三角形的形状一样, 但大小不一定一样 ( ) 相似的性质: 相似三角形的对应角相等, 对应边成比例 ( ) 根据 相 似 三 角 形 的 定 义 可 知: 若 已 知A B C ABC,ABC ABC, 则A B CABC, 即相似三角形也具有传递性 例 如图 所示, 已知A B CA E D, 则A B C, 且A ,A C B , A B A E 图 精析: 根据相似三角形对应角相等, 对应边的比相等, 所以只需确定出对应角 和对应边 解答:A AD E A C AD B C D E 相似三角形的对应角、 对应边的找法与全等三角形的对应角、 对应边 的寻找规律一样一般地, 公共角、 对顶角等是对应角, 最大( 小) 的角对应最大 ( 小) 的角, 最长( 短) 的边对应最长( 短) 的边 要点 平行线分线段成比例定理 ( ) 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段的比 相等 ( ) 平行线分线段成比例定理的推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线) , 所得的对应线段的比相等 关键提醒: ( ) 使用平行线分线段成比例定理时, 一要看清平行线组; 二要找准 平行线组截得的对应线段, 否则就会发生错误 ( ) 两条直线被三条平行线所截, 如果在其中一条上截得的线段相等, 那么在 另一条上截得的线段也相等 例 如 图 所 示, 已 知A BC DE F, 那 么 下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) 图 A AD D F B C C E B B C C E D F AD C C D E F B C B E D C D E F AD A F 精析: 截线是A B、C D、E F, 被截线是MN、O P, 根据平行线分线段成比例定理 可知, 在被截线上截得的线段成比例 解答:A 在表示三条平行线截两条直线, 所形成的成比例的线段时, 可以根据 三条截线截两条直线的线段所在的位置记忆, 即两条截线上同一位置的截线断的 比值是相等的, 如: 上 下 上 下 , 上 全 上 全 , 下 全 下 全 , 左 右 左 右 等 要点 利用平行线判定三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似 拓展探究: 平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线( 或反向延长线) 相 交, 所构成的三角形与原三角形相似如图 所示,D EB C分别交A B C的 边A B、A C的延长线( 或反向延长线) 于点D、E, 则AD EA B C这两个基本图 形, 可以分别记为“A” 字型和“X” 字型 图 例 如图 () , 四边形A B C D是平行四边形, 则图中与D E F相似 的三角形共有( ) 图 () A 个B 个C 个D 个 精析: 由于四边形A B C D是平行四边形, 所以有F DB C,D EA B于是图中 可分解出符合“A” 和“X” 型两种基本图形, 故与D E F相似的有B C E和A B F, 选B 图 () 解答:B 识图是一种思维训练, 也是对能力的培养, 识图在解题中非常重要 要点 相似三角形的判定定理( 重点) 判定: 如果两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似; 判定: 如果两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等, 那么这 两个三角形相似; 判定: 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这 两个三角形相似 归纳整理: ( ) 应用判定时, 判断三边是否成比例可先将三边按大小顺序排 列, 然后再计算它们对应边的比, 最后由此值来确定两个三角形是否相似 ( ) 应用判定时, 角必须是两边的夹角 ( ) 应用判定时, 只需找到这两个三角形有两组对应角相等即可 ( ) 判定两个三角形相似的方法有四种, 当图形中有平行线时, 多利用平行线 判定; 当图形中已知两三角形的一组对应角相等时, 可以尝试证明另一组角相等, 或是证明相等的这组角的两组夹边对应成比例; 当题中已知两三角形中三边的长 度时, 可以用三组对应边的比相等来证明两三角形相似 ( ) 相似三角形判定定理的作用:可以用来判定两个三角形相似;间接证 明角相等、 线段成比例;间接地为计算线段长度及角的大小创造条件 图 例 如图 , 已知A B AD B C D E A C A E ( ) 试说明B ADC A E; ( )B AD和C A E相似吗? 精析: ()欲 说 明B AD C A E, 可 转 化 为 说 明 A B CAD E, 得到B A CD A E由已知条件, 根据 “ 三边对应成比例的两个三角形相似” 可得出这两个三角形 相似() 根据“ 两边对应成比例, 夹角相等的两个三角形相似” 可得到B AD和 C A E相似 解答: ( ) A B AD B C D E A C A E, A B CAD E B A CD A E B A CD A CD A EDA C, 即 B ADC A E ( )B AD和C A E相似 A B AD A C A E, 且B ADC A E, B ADC A E 例 如图 , 方格纸中每个小正方形的边长为,A B C和D E F的 顶点都在方格纸的格点上 图 ( ) 判断A B C和D E F是否相似, 并说明理由; ( )P、P、P、P、P、D、F是D E F边上的个格点, 请在这个格点中选 取个点作为三角形的顶点, 使构成的三角形与A B C相似( 要求写出个符合条 件的三角形, 并在图中连接相应线段, 不必说明理由) 精析: 结合网格, 可分别得到这两个三角形的各边长, 借助三边对应成比例可 判定两个三角形相似 解答: ( )A B C和D E F相似 根据勾股定理, 得A B ,A C ,B C ;D E ,D F ,E F A B D E A C D F B C E F , A B CD E F ( ) 答案不唯一, 图 中个三角形中的任意个均可 PPD,PPF,PPD,PPD,PPP,PF D 图 在应用证明三角形相似时, 已知有公共角, 首先要考虑利用两角对应 相等, 两相似三角形相似, 然后考虑找夹这个公共角的两对对应边的比是否相等 要点 相似三角形的实际应用 相似三角形的应用主要有两个方面: ( ) 测高( 不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测高的方法: 测量不能到达顶部的物体的高度, 通常用“ 在同一时刻不同物体 的物高与影长的比相等” 的原理来解决 ( ) 测距( 不能直接测量两点间的距离的) 测距的方法: 测量不能到达的两点间的距离, 常构造相似三角形求解 以测量旗杆高度为例, 其主要方法有: ( ) 利用阳光下的影子, 其根据是同一时刻, 旗杆高人高旗杆的影长人影长; ( ) 利用标杆法, 其原理如图() , 测量坐标杆高C D, 人眼离地面高A B, 根据 A C GA EH, 求出EH即可; ( ) 利用镜子的反射, 如图() , 只要测出人眼离地面的高度A B, 镜子与人的距 离B E和镜子与旗杆的距离D E, 根据A B EC D E, 求出C D即可 () () 图 关键提醒: ( ) 从实际问题的情景中, 发现相似三角形是解这类问题的关键; ( ) 解决背景复杂的相似三角形应用问题的关键就是将题目中的信息转化到 数学图形中 例 一个铝质三角形框架的三条边长分别为 c m, c m, c m, 要做一个 与它相似的铝质三角形框架, 现有长为 c m、 c m的两根铝材, 要求以其中的一 根为一边, 从另一根上截下两段( 允许有余料) 作为另外两边截法有( ) A 种B 种C 种D 种 精析: ( ) 假设以 c m为一边, 把 c m截成两段, 设这两段分别为xc m, yc m(xy)则可得 x y 或 x y ( 注: c m不可能是最小边) , 由解得x , y , 符合题意; 由解得x , y , xy , 不合题意, 舍去 ( ) 假设以 c m为一边, 把 c m截成两段, 设这两段分别为xc m,yc m(x y)则可得 x y ( 注: 只能是 是最大边) , 解得x , y , xy , 不合题意, 舍去 综合以上可知, 截法只有一种 解答:B 由两实物平行, 即构造出两三角形相似, 进而利用相似的性质求出旗 杆的高度 要点 相似三角形的性质 ( ) 相似三角形周长的比等于相似比 相似多边形周长的比等于相似比 ( ) 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似多边形面积的比等于相似比的平方 顿有所悟: ( ) 相似三角形对应高的比、 对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比; ( ) 两个相似多边形对应对角线的比等于相似比; ( ) 相似多边形中的对应三角形相似, 其相似比等于相似多边形的相似比 关键提醒: ( ) 在运用相似三角形的面积比等于相似比的平方时, 一定要防止 出现面积比等于相似比这样的错误, 在由面积比求相似比时, 注意相似三角形的相 似比等于面积比的算术平方根 ( ) 两个三角形全等和相似的性质对比如下表, 不要混淆 全等三角形相似三角形 性质 对应线段相等对应线段的比等于相似比 对应角相等对应角相等 周长的比等于周长的比等于相似比 面积的比等于面积的比等于相似比的平方 例 如图 所示, 已知D EB C, 且ADB D, 求AD E与 A B C的周长比 图 解答: D EB C, AD EA B C AD D B , AD A B AD E 的周长 A B C的周长 AD A B 要求相似三角形的周长比, 只需求任意一组对应边的比即可, 运用性 质“ 相似三角形的周长比等于相似比” 拉 分 典 例 探 究 综合应用 例 ( 要 点) 如 图 所 示,A B C AD E,D E,B C, 则 A B C和AD E的相似比是多少? 线段B C是三角形的中位线吗? 图 精析: 要求相似比, 只需求出对应边的比即可 解答:A B CAD E对应边: D E和B C, 所以相似比B C D E 由于A B CAD E, 所以A B AD A C A E B C D E , 所以A BAD,A CA E 所以点B和点C分别是AD和A E的中点所以B C是AD E的中位线 技法规律: 求相似三角形的相似比时, 只需找出两个相似三角形中的对应 边, 然后求出对应边的比值即可但在求相似比时, 要注意对应线段的顺序 例 ( 要点) 如图 所示, 已知D EB C,D FA C,AD,B D, D E, 求线段B F的长 图 精析: 要求B F的长, 只需求出B C和F C的长即可由于F C是平行四边形 D E C F的边, 因此D EF C, 而B C的长可以根据D E和B C平行分线段成比例 求出 解答: 因为D EB C, 所以AD A B D E B C 又因为AD,B D,D E, 所以 B C 所以B C 又因为D FA C, 所以B F B C B D A B 又因为D EB C,D FA C, 所以D E C F是平行四边形所以D EC F又因为B C , 所以B F 技法规律: 在根据平行线的知识求线段的长度的问题时, 一般需要根据平行 线分线段成比例定理以及相似三角形的对应边成比例的性质, 求出问题的解有时 需要根据比例式的性质进行转化 例 ( 要点) 如图 , 网格中的每个小正方形的边长都是, 每个小正 方形的顶点叫做格点 A C B和D C E的顶点都在格点上,E D的延长线交A B于 点F求证: ( )A C BD C E; ( )E FA B 图 精析: 解此题的关键是要处理三角形的边与角的相关信息:B CA E, A C B C , D C E C , 从而证出两三角形相似, 要证E FA B, 只要证出D E C A , 只要利用所证的两三角形相似知识即可证出 解答: ( ) A C D C , B C C E , A C D C B C C E 又 A C BD C E , A C BD C E ( ) A C BD C E, A B CD E C 又 A B CA , D E CA E F A E FA B 分析对比: 网格题能充分调动有关背景中的正方形、 直角三角形、 勾股定理 等知识, 经历观察、 思考、 猜测、 动手操作、 自主探索发现等过程 例 ( 要点,) 如图 ,A B C是一张锐角三角形的硬纸片,AD是 边B C上的高,B C c m,AD c m, 从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE 的倍的矩形E F GH, 使它的一边E F在B C上, 顶点G、H分别在A C、A B上,AD 与HG的交点为M() 求证: AM AD HG B C ; 图 ( ) 求这个矩形E F GH的周长 精析: 对于( ) , 利用相似三角形对应边上的高之比等 于相似比即可求证, 当然, 也可以找到两组相似形, 利用等 边传递相似比; 对于( ) , 设元, 利用合适的相似比列出方 程, 解方程即可 解答: ( ) 方法一: 四边形E F GH为矩形, E FGH AHGA B C ADB C, AMHG AM AD HG B C 方法二: 四边形E F GH为矩形, E FGH AHGA B C,AHMA B D, HG B C AH A B , AM AD AH A B AM AD HG B C ( ) 由() 得AM AD HG B C 设HEx, 则HGx, ADB C, DMHE AMADDMADHE x, 可得 x x , 解得x , x 所以矩形E F GH的周长为( ) c m 归纳演绎:相似三角形的对应边上的高之比、 对应中线之比、 对应角平分 线之比都等于相似比;将周长问题转化为边长问题, 是解本题的关键;根据相 似比列出关系式是解本题的难点;证明线段的比例式或等积式的问题, 我们通常 图 是转化成证明三角形相似 例 ( 要点,) 如图 , 正方形A B C D的边长为 ,M、N分别是B C、C D上的两个动点, 当点M在B C上运动 时, 保持AM和MN垂直 ( ) 证明:R t A BMR t MCN; ( ) 设BMx, 梯形A B CN的面积为y, 求y与x之间的 函数关系式; 当点M运动到什么位置时, 四边形A B CN的面积 最大, 并求出最大面积; ( ) 当点M运动到什么位置时,R t A BMR t AMN, 求此时x的值 精析: 在( ) 中, AM和MN垂直, CMNAMB 又 MA BAMB , CMNMA B 从而得出R t A BMR t MCN 在() 中, 利用两三角形相似的性质, 可用含x的代数式表示CN, 利用梯形的 面积公式可写出y与x之间的函数关系式, 再运用相关函数的性质求出最大面积 在() 中, 要探究R t A BMR t AMN, 需满足AM MN A B BM , 通过计算使问题 得以解决 解答: ( ) 在正方形A B C D中,A BB CC D,BC AMMN, AMN CMNAMB 在R t A BM中,MA BAMB , CMNMA B R t A BMR t MCN ( ) R t A BMR t MCN, A B MC BM CN x x CN CNx x yS梯形A B C N x x () x x ( x ) 当x时, y取最大值, 最大值为 ( ) BAMN , 要使A BMAMN, 必须有AM MN A B BM 由( ) 知AM MN A B MC, BMMC 当点M运动到B C的中点时,A BMAMN, 此时x 探索发现: 求解此类问题通常从两个给定变量中结合图形的结构特点, 借助 全等或相似三角形, 以及勾股定理去寻求变量之间的关系, 或利用所给图形的有关 公式确定函数关系式 例 ( 要点) 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼, 两人准备用测量影子的方法 测算其楼高, 但恰逢阴天, 于是两人商定改用下面的方法: 如图, 亮亮蹲在地上, 颖 颖站在亮亮和楼之间, 两人适当调整自己的位置, 当楼的顶部M, 颖颖的头顶B及 亮亮的眼睛A恰在一条直线上时, 两人分别标定自己的位置C、D然后测出两人 之间的距离C D m, 颖颖与楼之间的距离DN m( 点C、D、N在一条直线 上) , 颖颖的身高B D m, 亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离A C m你能 根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗? 图 精析: 本题看上去是两个直角梯形, 需要通过作辅助线构造出相似形来求解 解答: 过点A作CN的平行线交B D于点E, 交MN于点F由已知可得FN E DA C m, A EC D m,E FDN m,A E BA FM 又 B A EMA F, A B EAMF B E MF A E A F, 即 MF 解得MF (m) MNMFFN (m) 故住宅楼高为 m 分析对比: 所求的住宅楼的高度应为线段MF与FN的和 例 ( 要点) 在A B C中, 点D、E分别在A B、A C上,A E DB, 如果 A E ,A D E的面积为, 四边形B C D E的面积为, 那么边A B的长为 精析: 因为AD EA C B且 SA D E SA C B , 所以A E A B , 所以A B 解答: 技法规律: 如果两个三角形相似, 那么这两个三角形的面积之比等于相似比 的平方 探究创新 例 ( 要点) 如 图 , , 添 加 一 个 条 件 , 使 得 AD EA C B 图 精析:, 所以B A EB A E , 即D A EC A B, 要使 三角形相似, 若根据两角对应相等, 两三角形相似, 则可知BE, 或D C; 若根据两边对应成比例, 夹角相等的两三角形相似, 则可添加AD A C A E A B 所以 答案可以是BE或DC或AD A C A E A B 解答:BE或DC或AD A C A E A B 归纳演绎: 掌握三角形相似的判定方法: 如果两个三角形的两组角对应相 等, 那么这两个三角形相似; 如果两个三角形的两组边对应成比例, 并且夹角相等, 那么这两个三角形相似注意: 两边对应成比例, 也可以写成是乘积的形式 例 ( 要点) 如图 , 在平面直角坐标系内, 已知点A(,) , 点B(, ) ,A B , 动点P从点A开始在线段A O上以每秒个单位长度的速度向点O 移动, 同时动点Q从点B开始在线段B A上以每秒个单位长度的速度向点A移 动, 设点P、Q移动的时间为t秒 图 ( ) 求直线A B的解析式; ( ) 当t为何值时,A P Q与A O B相似, 并求出 此时点P与点Q的坐标 精析: ( ) 根据A、B两点的坐标, 可直接用待定系 数法列方程组求解; ( )A P Q与A O B相 似, 有 两 种 情 况, 一 是 A P QA O B, 这时A P QA O B; 二是A Q P A O B, 这时A Q PA O B, 可根据相似三角形的对应边成比例列方程求解 解答: ( ) 设直线A B的解析式为yk xb, 由题意, 得 b, kb 解得k , b 所以直线A B的解析式为y x ( ) 由题意, 知A Pt,A Q t可分两种情况讨论: 当A P QA O B时, 有A P QA O B, 如图() : () () 图 所以t t , 解得t ( 秒) 所以P, (), Q , (); 当A Q PA O B时, 有A Q PA O B, 如图() 所以t t , 解得t ( 秒) 所以P, (), Q , () 探索发现: 把相似形放到坐标系中去研究是近几年中考的热点内容之一, 解 决这类问题要十分注意坐标符号与线段之间的转化 误 区 警 醒 【 误区】 考虑问题不全面 例 已 知AD是A B C的 高, 且AD B DD C, 那 么 B A C的 度 数 是( ) A小于 B等于 C大于 D不能确定 错解: 如图 () , ADB DD C, AD B D D C AD 又 AD BC D A, AD BC D A C ADA C D , C ADB AD 则选B 图 () 图 () 正解:D 警醒: 错解没有考虑三角形的性质, 而习惯把A B C画成了高AD在形内的 锐角三角形, 如图 ()恰巧由条件ADB DD C推导出的结论正是题 目给出的迷惑人的答案B 事实上, 将图中的A C D沿AD翻折, 就得到如图 () 所示的A BC 此时题目中的条件“ADB DD C” 仍然成立, 但B A C 当问题中的三角形的形状没有明确说明时, 一定要注意三角形的形状不一定 只能是锐角三角形, 还有可能是钝角三角形 【 误区】 确定三角形相似时忽略分类讨论思想的应用 图 例 如图 所示, 在A B C中,A B, A C,B C , 点M在边A B上, 且AM, 过点M 作直线MN与三角形的另一边交于点N若截得的三 角形与原三角形相似, 试求MN的长 错解: 若AMNA B C, 则MN B C AM A B , 即MN , 所以MN () () () () 图 正解: ( ) 如图 () 所示, 若AMNA B C, 则MN B C AM A B , 即MN , 所以MN ( ) 如图 () 所示, 若AMNA C B, 则MN B C AM A C , 即MN , 所以MN ( ) 如图 () 所示, 若B M NB A C, 则M N A C B M B A, 即 MN , 所以M N ( ) 如图 () 所示, 若B M NB C A, 则M N A C B M B C, 即 MN , 所以M N 警醒: 解决三角形相似的问题时, 有些问题只要求两个三角形相似, 而没有明 确要求对应关系, 这时需要分类讨论 【 误区】 错用相似多边形的面积比等于相似比 例 两个相似多边形的相似比为, 面积的差为 c m , 求这两个多边 形的面积 错解: 设这两个相似多边形的面积分别xc m , ( x )c m , 由题意, 得 x x , 解得x ,x 所以这两个多边形面积分别是 c m , c m 正解: 设这两个相似多边形的面积分别xc m , ( x )c m , 由题意, 得 x x () , 解得x ,x 所以这两个多边形面积分别是 c m , c m 警醒: 在相似多边形的性质中, 对应线段的比等于相似比, 对应周长的比等于 相似比, 有时错以为面积的比也等于相似比, 或者在用这个性质时, 到底是开方还 是平方搞错, 从而造成计算错误 知 能 提 升 训 练 夯基固本 ( 要点) 如图所示,A B CAD E, 若ADc m,A Bc m,D Ec m, 则 AD E与A B C的相似比为( ) A B C D ( 第题) ( 要点,) 如图, 在A B C中, 点M、N分别在两边A B、A C上,MNB C, 则下 列比例式中, 不正确的是( ) A AM AN BM CN B AM A B AN A C CMN B C A B A C DB C MN A B AM ( 要点) 下列四个三角形, 与图中的三角形相似的是( ) ( 第题) ( 第题) ( 要点) 点E是平行四边形A B C D的边B C延长线上的一点,A E与C D相交于 点G, 则图中相似三角形共有( ) A 对B 对C 对D 对 ( 要点) 如图, 在A B C中, 边A B、A C上的高C E、B D相交于点P, 图中所有的 相似三角形共有( ) A 对B 对C 对D 对 ( 第题) ( 第题) ( 要点,) 已知在A B C中,D EB C, 点D在边A B上, 点E在边A C上, 且 A E,E C, 那么SA B CSA D E等于 ( 要点,) 若一个三角形三边的长分别是c m,c m, c m, 与它相似的另一个 三角形的最大边是 c m, 则其余两边长分别是 ( 要点,) 如图, 在A B C中,C ,B ,D是A C上一点,D EA B 于点E, 且C D,D E, 则B C的长为 ( 第题) ( 第题) ( 要点) 如图, 为了测量某棵树的高度, 小明用长为m的竹竿作测量工具, 移 动竹竿, 使竹竿顶端、 树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时竹竿与这一 点相距m, 与树相距 m, 则树的高度为 综合应用 ( 要点,) 如图,D、E分别为A B、A C上的两点, 且AD,B D,A C, 若 A E D、A B C相似, 则A E的值为( ) A B C 或 D 或 ( 第 题) ( 第 题) ( 要点) 如图, 已知, 则下列表达式中正确的是( ) A A B AD D E B C B A C A E AD A B C A B A C AD A E D B C D E A E A C ( 要点,) 在A B C中,A B ,A C ,B C,AD是边B C上的高将 A B C按如图所示的方式折叠, 使点A与点D重合, 折痕为E F, 则D E F的 周长为( ) A B C D ( 第 题) ( 第 题) 夫托尔斯泰 ( 要点) 如图, 已知D、E分别是A B C的边A B、A C上的点,D EB C, 且 SA D ES四边形D B C E, 那么A EA C等于( ) A B C D ( 要点) 如图,D E与B C不平行, 当AD A C 时, A B CA E D ( 第 题) ( 第 题) ( 要点,) 三角形三边之比为, 与它相似的三角形最长边是 c m, 另 两边之和是 c m ( 要点,) 在A B C中,A B,A C ,B C ,D为A C上的一点,D C A C, 在A B 上取一点, 得到AD E, 若图中的两个三角形相似, 则D E的长为 ( 要点,) 在R t A B C中,C为直角,C DA B于点D,B C,A B, 写出 其中的一对相似三角形是 和 ; 并写出它们的面积比 ( 要点,) 一条河的两岸有一段是平行的, 在河的南岸边每隔米有一棵 树, 在北岸边每隔 米有一根电线杆小丽站在离南岸边 米的点P处看北 岸, 发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住, 并且在这两棵树之 间还有三棵树, 则河宽为 米 ( 要点,) 如图, 在四边形A B C D中,BA C D,A B,B C,A C, C D , 求AD的长 ( 第 题) ( 第 题) ( 要点,) 如图,O是A B C的外接圆,FH是O的切线, 切点为F,FH B C, 连接A F交B C于点E,A B C的平分线B D交A F于点D, 连接B F ( ) 证明:A F平分B A C; ( ) 证明:B FF D; ( ) 若E F,D E, 求AD的长 探究创新 ( 要点,) 问题背景 在某次活动课中, 甲、 乙、 丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一 些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息: 甲组: 如图( ) , 测得一根直立于平地, 长为 c m的竹竿的影长为 c m 乙组: 如图( ) , 测得学校旗杆的影长为 c m 丙组: 如图( ) , 测得校园景灯( 灯罩视为球体, 灯杆为圆柱, 其粗细忽略不计) 的高度为 c m, 影长为 c m 任务要求 ( ) 请根据甲、 乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度; ( ) 如图() , 设太阳光线NH与O相切于点M请根据甲、 丙两组得到的信 息, 求景灯灯罩的半径( 友情提示: 如图() , 景灯的影长等于线段NG的 影长; 需要时可采用等式 ) ( 第 题) ( 要点,) 如图, 在直角梯形A B C D中,A BD C,D ,A CB C,A B c m,B Cc m, 点F以c m/秒的速度在线段A B上由A向B匀速运动, 点 E同时以 c m/秒的速度在线段B C上由B向C匀速运动, 设运动时间为t秒 ( t) ( ) 求证:A C DB A C; ( ) 求D C的长; ( ) 设四边形A F E C的面积为y, 求y关于t的函数关系式, 并求出y的最 小值 答案全析全解 A C B C C c m, c m c m C C D B A E A B 或 B C D C AD B C A C , A B C D , 又 BA C D, A B CD C A A C DA B C C A A C,B C, AD AD () 连接O F, FH是O的切线 O FFH FHB C, O F垂直平分B C B F F C A F平分B A C ( 第 题) ( ) 由 () 及 题 设 条 件 可 知 , , F D BF B D 则B FF D ( ) 在B F E和A F B中, ,FF, B F EA F B B F F E A F B F B F F EF A F AB F F E F A AD () 由题意, 可知B A CE D F ,B C AE F D A B CD E F A B D E A C D F, 即 D E D E (c m) 则学校旗杆的高度是 m ( ) 与() 类似, 得A B GN A C GH , 即 GN GN 在R t NGH中, 根据勾股定理, 得 NH NH 设O的半径为rc m, 连接OM NH切O于点M, OMNH OMNHGN 又 ONMHNG, OMNHGN OM HG ON HN 又 ONOKKNOK(GN G K)r, r r , 解得r 则景灯灯罩的半径是 c m () C DA B, B A CD C A 又A CB C,A C B , DA C B A C DB A C ()R t A B C中,A C A B B C, A C DB A C, D C A C A C A B 即D C , 解得 D C ( )过 点E作A B的 垂 线,垂 足 为G, A C BE G B ,B是 公共角, A C BE G B E G A C B E A B, 即 E G t , 故E G t ySA B CSB E F ( t) t t t t () 故当t 时, y的最小值为 P 探究 相等; 相等 发现: 三条平行线截两条直线, 所得的 对应线段的比相等 P 思考 AD EA B C 发现: 平行于三角形一边的直线和其他 两边相交, 所构成的三角形与原三角形 相似 P 探究 对应角相等, 两个三角形相似 P 探究 另一组对应边B C与B C 的比等于k, 另两组对应角相等改变A和k的 值, 也有相同的结论 发现: 如果两个三角形的两组对应边的 比值相等, 并且相应的夹角相等, 那么 这两个三角形相似 P 思考 不一定相似 P 练习 () A B A B A C A C ,A A , A B CA B C ( ) A B A B B C B C A C A C , A B CA B C 图() : C D B C C E A C ,D C E B C A, D C EB C A 图() : , 这两个三角形不相似 设另两边分别为x,y x y , 解得x , y