高等数学实践2016.ppt

数学建模与实践,高等数学实践,1数列极限的应用,例数列与黄金分割问题,公元1202年，斐波那契的传世之作算法之术出版。在这部名著中，斐波那契提出了以下饶有趣味的问题。有人想知道在一年中一对兔子可以繁殖多少对小兔子，就筑了墙把一对兔子圈了进去。如果这对大兔一个月生一对小兔子，每产一对兔子必为一雌一雄，而每对小兔子生长一个月就成为大兔子，并且所有的兔子全部存活，那么一年后围墙内有多少对兔子？,解：假设在1月1日将一对小兔子放进围墙内，每对大兔子经过一个月后又繁殖出一对小兔子，一对小兔子经一个月变成一对大兔子，不过还未生小兔子。可知，从3月份开始每月的兔子总数恰好等于它前两个月兔子数的总和。按此规律可写出数列：该数列称为斐波那契数列。设其通项为，则该数列具有下述递推关系：,法国数学家比内求出了通项为令人惊奇的是，比内公式中的是用无理数的幂表示的，然而它所得的结果却是整数。与斐波那契数列密切相关的有两重要极限：,下面证明（3.1）和（3.2）式。设，则数列是单调减少的，数列是单调增加的。对一切，即数列，都是有界数列。根据单调有界原理，数列都有极限。设，分别对和，取极限，得,以上两式相减，得从而得，即。否则。因为，而由得，这是不可能的。所以存在，记为，从而有。解方程得。因为，所以由于，所以。,生物学家也对此产生兴趣。例如，树木的生长，由于新生的枝条往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如，一年以后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发，此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝丫数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。,科学家发现，一些植物的花瓣、萼片、果实的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。例如：蓟，它们的头部几乎呈球状。在下图中，你可以看到两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。此外还有菊花、向日葵、松果、菠萝等都是按这种方式生长的。,最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的向日葵种子。仔细观察向日葵花盘，你会发现2组螺旋线，一组顺时针方向盘绕，另一组则逆时针方向盘绕，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字，这每组数字都是斐波那契数列中相邻的2个数。前一个数字是顺时针盘绕的线数，后一个数字是逆时针盘绕的线数。,菠萝的表面，与松果的排列略有不同。菠萝的每个鳞片都是三组不同方向螺旋线的一部分。大多数的菠萝表面分别有5条、8条和13条螺线，这些螺线也称斜列线菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来，8行向左倾斜，13行向右倾斜。挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5行鳞片。常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在2个方向上各排成5行和8行，美国松的松果鳞片则在2个方向上各排成3行和5行。,数学中，还有一个称为黄金角的数值是137.5，这是圆的黄金分割的张角，更精确的值应该是137.50776。与黄金数一样，黄金角同样受到植物的青睐。1979年，英国科学家沃格尔用大小相同的许多圆点代表向日葵花盘中的种子，根据斐波那契数列的规则，尽可能紧密地将这些圆点挤压在一起。他用计算机模拟向日葵的结果显示，若发散角小于137.5，那么花盘上就会出现间隙，且只能看到一组螺旋线；若发散角大于137.5，花盘上也会出现间隙，而此时又会看到另一组螺旋线；只有当发散角等于黄金角时，花盘上才呈现彼此紧密镶合的2组螺旋线。,所以，向日葵等植物在生长过程中，只有选择这种数学模式，花盘上种子的分布才最为有效，花盘也变得最坚固壮实，产生后代的几率也最高。只有这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。另外，自然界中，互生叶序相邻的一对叶子，与对生叶序的一对相对生的叶子的夹角也是约为137.5，这个黄金角值。,松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数：典型的有向日葵花瓣，茉莉花（3个花瓣），毛莨（5个花瓣），翠雀（8个花瓣），万寿菊（13个花瓣），紫宛（21个花瓣），雏菊（34、55或89个花瓣）。蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。,斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案。,由上述推导知，越大，数越接近。这就是说，一个所有的项都是有理数的数列，却与这样一个无理数有着密切的关系。这个数就是黄金分割的值。,2导数的应用实例,例易拉罐的设计,通常，听装饮品的容器俗称易拉罐，在其容积一定的情况下，其宽高比为多少时用料最省？这些易拉罐形状通常为“圆”的，即近似看成一个正圆柱形，本题即求易拉罐内体积一定时，使易拉罐制作所用的材料最省的从顶盖到底部的高与顶盖直径之比。考虑到易拉罐的顶、底、侧面受力不同，在材料相同的情况下三面所需材料的厚度就不同，顶的用料最厚。为方便计算，假设除易拉罐的顶盖外，罐的厚度相同，记作b,顶盖的厚度为b(根据实验，通常取3）。因此，我们可以进行如下的数学建模。设易