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上海海事大学2008-2009学年第 2 学期研究生 数值分析 课程考试试卷A（答案）学生姓名： 学号： 专业：一 填空题（每小格分）1 设则差商2 02 区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到 2阶导数的连续函数。3 插值型数值求积公式的求积系数的表达式为则b-4非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根附近具有 阶的收敛速度。5f(1)=1,f(2)=4,f(3)=7,则f1，2=,f1，2，3=6 Jacobi方法是求解 对称 矩阵的全部特征值和特征向量的计算方法7 用松弛迭代法求解方程组时，松弛因子必须在，范围内 二如何对方程组进行调整，使得用高斯-赛德尔迭代求解时收敛。又如取初始向量为，用该方法求近似解，使得。（分）解答：调整第一与第三方程，既可得对角占优系数矩阵，所以迭代收敛。得因为，所以最后结果：3 求在0，1上的一次最佳一致逼近多项式。（分）解：在0，1上不变号，故： 即 故 、四设有一个求积公式 求使以上求积公式的代数精度尽可能高，并指出所达到的最高代数精度（分）解 (1) 当时，；时，左=右 解得 当时，当时， 左右所求的具有最高代数精度为3五是任意首项系数为1的n+1次多项式，证明：（分）1）：2）：解：1），利用Lagrange插值余项2）利用 两边除六 给定方程组 其中，且证明(1) 有唯一的(2) 给定迭代格式， 则有， 任取，则迭代格式收敛 （分） 解 (1)只需证明的齐次方程组 x=Bx 只有零解, 若有非零解 , 则 两边取范数得 因为,得与条件矛盾, 因而有惟一解,即存在惟一的使得 = (3分)(2) 将和相减得 两边取范数得 (4分)(3) 由递推得 对任意固定的有 因而迭代格式是收敛的 (4分)七证明：左矩形求积公式 。设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛（分）解：因为：； 故： =又：分划a,b得：，k=1,2,n得复合公式：所以：=其中：， 且有：八试利用四点插值推导数值微分四点公式，其中 （分） 解： = =九对初值问题 写出以梯形公式所得近似解的表达式。且当步长时，讨论的收敛性。讨论绝对稳定性对步长的限制 （分）
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