线性代数1教案

线性代数教案使用教材 线性代数 罗从文 主编 科 学 出 版 社教学主要参考书 线性代数（第五版） 同济大学应用数学系编 线性代数第二版卢 刚 主编高 等 教 育 出 版 社三峡大学理学院公共数学教学部2011年11月第三章 向量空间本章引言 向量空间又称线性空间，它的理论和方法已经渗透到自然科学、工程技术的各个领域。本章的主要结果是基于第二章中提出的线性无关这一概念。首先，从线性无关出发，给出了子空间的基和维数定义；的其次，讨论了子空间的正交基的构造；最后，研究了向量空间在线性方程组求解中的应用。教学内容：向量空间的定义及性质，子空间的基和维数的定义，子空间的正交基的构造，向量空间在线性方程组求解中的应用。教学目的与基本要求：1.了解向量空间的定义，掌握向量空间的性质。2.理解n子空间的基和维数的定义。3.熟练掌握子空间的正交基的构造方法。4.掌握向量空间在线性方程组求解中的应用。 重点、难点：1.重点：子空间的正交基的构造方法。2.难点：向量空间在线性方程组求解中的应用。基本方法及技能：1.构造子空间的标准正交基的方法是施密特正交化方法。 2.由向量空间理论解释非齐次线性方程组有解的判定条件，以及非齐次线性方程组的通解的结构式。教学建议及教法提示：1.先基于第二章中提出的线性无关这一概念，给出了子空间的基和维数定义；2.构造子空间的标准正交基的方法，即施密特正交化方法是本章的重点，要讲清方法，让学生多加练习，熟练掌握。3.要求学生会用矩阵的秩判断线性方程组是否有解；4.要求学生会由向量空间理论解释非齐次线性方程组有解的判定条件；5.要求学生会由向量空间理论解释非齐次线性方程组的通解的结构式；6.通过实例使学生了解线性最小二乘定理。应注意的问题： 向量空间的定义比较抽象，要理解这一概念，必须通过大量实例进行说明。其次，要求学生具备较强的理解能力，将向量空间理论与线性方程组的求解理论结合起来，使学生对线性方程组的通解结构有更加深刻的认识。再次，必须具有较强的计算能力，构造子空间的标准正交基使用的是密特正交化方法是线性代数中最基本的技巧之一，要求学生熟练掌握。 3.1 向量空间的性质设是分量为实数的所有维向量空间的集合，即=.设,是中的向量， 则向量的和定义为设是实数，则向量的数乘定义为 第二章中给出了矩阵的运算法则，容易看出向量的加法和数乘运算与矩阵的相应运算完全一致. 这是因为向量是一种特殊的矩阵，(中的向量是矩阵) .定理1 设是中的向量，是实数，则下列性质成立：a) 封闭性：(a1) 是中的向量；(a2) 是中的向量.b) 加法运算性质：(b1) ;(b1) ;(b3) 中包含零向量，且对, 有；(b4) ，使得.c) 数乘运算性质：(c1) ;(c2) ;(c3) ;(c4) , . 3.2 的子空间定理2 中子集构成的子空间的充分必要条件是： (s1) 零向量； (s2) ，有； (s3) , 是任意实数，则.证明 必要性. 设是的子集并且满足条件(s1)-(s3). 要证明构成的子空间，则须验证满足定理1的10条性质.由条件(s1)-(s3)，显然子集满足定理1中的性质(a1) , (a2), (b3)；中任意子集均满足性质(b1), (b1), (c1), (c2), (c3), (c4); 因此只须验证满足定理1中的性质 (b4) 即可. 容易看出，由性质(s3)， , 则，故满足性质 (b4). 因此必要性成立. 充分性. 设是的子空间，则满足定理1的10条性质.由性质(a1) (a2), (b3),显然满足条件(s1)-(s3).定理3设是矩阵，经过有限次行初等变换后得到矩阵，则和具有相同的行空间. 3.3 子空间的基定义1 设是的子空间，是的子集. 若中任意向量都可以写成集合中向量的线性组合形式，即,则称是的生成集.定义1的另一种表述是为的生成子空间, 即=Sp().定义2 设是的非零子空间，则称的一个线性无关的生成集为的基.设是的子空间，是的一组基，则中任意向量都可以写成集合中向量的线性组合形式，即存在一组系数，使得.下面我们证明，在基下的表示方法是唯一的. 事实上，若还有一种表示方法，则两式相减，有.由于是线性无关的，因此, .这说明的表示方法是唯一的.构造子空间的基的一般步骤： 第一步. 给出子空间的生成集； 第二步. 解向量方程； 第三步. 若向量方程只有零解，则线性无关，构成子空间的一组基； 第四步. 若向量方程有非零解，则存在自由未知量. 设是自由未知量，则去掉对应的向量. 剩余的向量组构成子空间的一组基.定理4给出了构造子空间的基的另一种方法：定理4 设是非零矩阵，经过行初等变换得到阶梯形矩阵，则的非零行向量构成的行空间的一组基.证 由定理3，和具有相同的行空间, 因此的非零行向量组是的行空间的生成集. 又因为阶梯形矩阵的非零行向量组是线性无关的，所以的非零行向量构成的行空间的一组基. 从前面的讨论可以看出，一个向量空间可以有不同的基，下面我们给出不同基之间的过渡矩阵的概念.设和是线性空间的两组基，它们可以互相线性表出，若则称矩阵为从基到基的过渡矩阵. 3.4 子空间的维数与矩阵的秩几何空间中有维数的概念，本节我们将这一概念推广到向量空间中. 首先给出一个定理.定理5 设是的子空间，是的一个生成集，中包含个向量，则中任意个向量线性相关. 证 设是中任意个向量，要证是否线性相关，只须证明下面的齐次线性方程组是否有非零解： .由=Sp, 有将其代入齐次线性方程组中，得.经过等价变形，上式可化为 .令上述齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数，因此一定有非零解向量，由此可知，线性相关.由定理5，可直接得到下面的推论：推论1 设是的子空间，是的一组基，中包含个向量，则(1) 的任意一组基包含个向量; (2) 任取正整数，则中任意个向量不能构成的生成集;(3) 的任意个线性无关的向量构成的一组基;(4) 设是的生成集，中恰含个向量，则构成的一组基.有了推论1，我们就可以给出向量空间维数的定义：定义3 设是的子空间，是的一组基，则中包含的向量个数称为的维数，记作.上一节中提到，对的零子空间定义基没有意义，在以后的讨论中，我们约定零子空间的维数是.设是矩阵，则称的零空间的维数为的零度(nullity); 称的值域空间的维数为的秩(rank); 称的行空间的维数为的行秩；称的列空间的维数为的列秩.定理6设是矩阵，则的行秩和列秩相等.证明从略. 由3.3节中的例8知，的值域空间等价于的列空间，因此的秩、行秩、列秩三者相等.注 设是矩阵，则rank+nullity. 下面的定理给出了用矩阵的秩判断线性方程组是否有解的充要条件：定理7设是矩阵，则线性方程组有解的充要条件是rank=rank.证 将矩阵按列分块成, 则的秩等于其列空间Sp的维数；同理，增广矩阵的秩等于其列空间Sp的维数.而线性方程组有解的充要条件是Sp. 因此可以得到线性方程组有解的一个充要条件Sp=Sp. 由此即得rank=rank.还可以用矩阵的秩来判断矩阵是否为奇异矩阵：定理8设是矩阵，则矩阵非奇异的充要条件是的秩等于，即是满秩矩阵.证 将矩阵按列分块成，则 Sp.若矩阵非奇异,则是线性无关的列向量组，因此构成的一组基，由此即得的秩等于. 3.5 子空间的正交基 在前面，我们用基的概念刻画了子空间的性质. 对于给定的子空间，有多种方法构造的基. 在这一节，我们讨论一种特殊的基正交基.定义4 设是中的向量构成的集合. 若中的向量两两正交，即 则称集合是正交集.定理9设是中的非零向量构成的集合. 若是正交集，则中的向量线性无关.证 设存在常数使得，于是有.上式展开，得.因为是正交集，故 ，因此上述展开式可化简为.又因为是非零向量，故，由此推得. 同理可得，. 因此是线性无关的向量组.在下面的定义中，要用到向量长度的概念. 我们记向量的长度为，且.定义5设是的子空间，是中的一组基. 若中的向量两两正交，即 , 则称是的正交基. 特别的，若 ，则称是的标准正交基.由定理9和定义5，可以得到下面的推论：推论 设是的维子空间，若是中个非零向量构成的正交子集，则是 的一组标准正交基.设是正交集，则对任意一组实数, 仍是正交集. 若只包含非零向量，取，则是标准正交集. 也就是说，对正交集中任意一个向量除以其长度可得到标准正交集. 设是的子空间，是中的一组基. 则由基的定义知，中任意向量均可唯一地由线性表出，即，系数称为向量在基下的坐标. 例如，设是的一组基，其中，.由于所以不是正交基. 在中任取一个向量，例如，取，设在基下的坐标为，即,将其写成矩阵方程的形式：.由高斯消元法，解得，. 作为比较，取的一组标准正交基，设在下的坐标为，即,上式两边左乘向量，得,这是因为，. 于是可以求得.同理可得，. 容易看出，计算向量在正交基下的坐标比计算其在一般基下的坐标要简便得多. 一般地，设是的子空间，是中的一组正交基. ，设在基下的坐标为，即，则，.现在研究把一组基改造成标准基的方法，这就是所谓的施密特正交化方法：定理10 设是的子空间，是中的一组基, 则是的一组正交基，其中， ， 一般地，.定理的证明与推导向量在正交基下的坐标的过程类似，可以采用数学归纳法. 3.6 线性方程组解的结构本节主要研究向量空间在线性方程组求解中的应用1.在前面的讨论中已经看到个未知量的齐次线性代数方程组， ，的解集是向量空间.下面我们给出基础解系的概念.定义6 设是齐次线性方程组的解向量，如果(1) 线性无关；(2) 的任一解向量可由线性表出，则称是的一个基础解系. 由矩阵对加法和数乘运算的线性性质，当是的一个基础解系时，也是的解，称为一般解或通解，其中为任意常数.现在要进一步指出：齐次线性方程组的通解即中元素的一般式中所含任意常数的个数就是的维数，有=，即+=.即基础解系就是的一组基，事实上，基础解系是线性无关的，而且生成. 这样也就不难理解，齐次方程组的通解式(即基础解系)不唯一确定，但通解式中独立任意常数的个数是确定的，因为每一任意常数对应一个基向量，而基向量个数一定是个.下面由向量空间理论“直观地”解释非齐次线性方程组有解的判定条件.非齐次线性方程组即有解的充要条件是rank=rank .事实上，若rankrank ，则必有rankrank，必是不能由线性表出，故方程组无解.在rank=rank时，则必能由线性表出，在此前提下，若rank=rank，说明向量组线性无关，故必为的一组基，因向量对一组基的坐标是唯一确定的，所以此时方程组有唯一解. 若rank=rank=，则说明生成的个向量是线性相关的，而最大线性无关组含个向量. 为叙述方便可不失一般地就假定最大线性无关组是，这就是的一组基. 因均在中，故它们的线性组合也必在中，所以对个任意常数值，向量对这组基必有唯一的坐标，设为，这就有=.从此式可以看出，是的解. 由于可任意取值，故的通解中含个任意常数.其次，用向量空间的概念同样可以“直观地”解释非齐次线性方程组的通解的结构式.先用定理形式给出非齐次线性方程组 解的性质及其与对应齐次方程组的解的关系.定理11 设非齐次线性方程组的解集为，对应齐次方程组的解空间为，若已知，则有(1) , , ();(2) , 即；(3) 对任意，必.定理的结论(1)说明非齐次方程组的解集不是向量空间；结论(2)、(3)说明当已知其某个解时，方程组的通解本质上必能也只能通过的通解表出，为.当然随着取的的不同及在中取不同的基，的具体形式还是可以多样的，但其组成结构是唯一确定的. 只要在中选取适当的系数就可以得到方程组的任一解. 3.7应用实例在经济学中，个人的收入与消费之间存在着密切的关系. 收入越多，消费水平也越高; 收入较少，消费水平也较低. 从一个社会整体来看，个人的平均收入与平均消费之间大致呈线性关系. 若表示收入，表示支出，则适合，其中是两个常数, 需要根据具体的统计数据来确定. 假定现在有一组表示3年中每年的收入与消费情况的统计数字，如表3-9所示 单位：人均万元年1231.61.72.01.21.41.8 表3-9现在要根据这一组统计数字求出. 将的值代入上式得到一个两个未知数三个方程式的线性方程组：从第一、二个方程式可求出，代入第三个方程式，得.这说明上面的线性方程组无解. 那么这样一来是不是说我们的问题就没有意义了呢？当然不是. 事实上，收入与消费的关系通常极为复杂，我们把它当成线性关系只是一种近似的假定. 另外，统计数字本身不可避免地会产生误差，也就是说统计表只是实际情况的近似反映. 我们的目的是求出的值以供理论分析之用. 既然统计数字有误差，就不可能也没必要求出的精确解. 我们可以对提出这样的要求：求出，使得到的关系式能尽可能符合实际情形. 用数学的语言来说就