中学物理解题思维之3.微元法

三、微法方法概述微元法是分析和解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思考方法。 这种方法可以通过我们熟悉的物理规律快速解决复杂的物理过程，简化寻求的问题。 在使用微元法处理问题时，我们分析这些“元过程”，然后通过执行需要“元过程”的数学和物理思想处理来解决问题，因为它们分解成许多微小的“元过程”，每个“元过程”遵循相同的规则。 这种方法可以加强我们对已知规律的再思考，增强知识，深化认识，提高能力。考题考得很好例1 :如图3-1所示，身高h的人用灯以悟空速度v水平直走。 灯距离地面的高度为h，证明人影前端的c点进行等速直线运动。解析：该问题无法通过速度分解解决，考虑采用“微元法”。某个时间人通过AB地点，再经过很少的过程t(t0 )，人从AB到达a b ，人的前端的c点到达c 点，由于sa=vt，人的前端的移动速度如下vC=vvc与取得时间t的长度无关，可知人影的前端c点进行等速直线运动。例2 :如图3-2所示，半径r的四分之一的光滑球面放置在水平的桌面上，球面上放置光滑均匀的链，其a端固定在球面的顶点，b端不与桌面接触，链的每单位长度的质量为。 求出施加在链a端的拉伸力t。解析：以铁链为研究对象，铁链整体的长度不能忽视，因此铁链整体不能视为质点。 分析铁链受力情况时，要分割铁链，考虑各段铁链视为质点，分析各段铁边的受力情况，根据物体的平衡条件求出铁链整体的受力情况。 铁链就任时，以l较短的部分(微元)为研究对象，其受力分析如图32甲所示。 这个要素是静止的，必须受力取得平衡，满足切线方向tt=GCOSt、t=gcos=glcos由于各链段链的切线方向的张力比切线方向的张力大t，所以链整体的a端的张力是各链段的t之和t=t=glcos=glcos当观察Lcos的意义时，参照图3-2-b，由于小，因此CDOC、OCE=Lcos表示l的向垂直方向的投影r，因此通过lcos=r，能够得到施加于铁链a端的张力T=gLcos=gR例3 :某行星绕太阳c沿着圆弧轨道运行，将其近日点a与太阳的距离设为a，将行星通过近日点a时的速度设为vA，将行星的远日点b与太阳的距离设为b，如图3-3所示，求出通过远日点b时的速度vB的大小。解析：这个问题可以在万有引力的基础上提供行星的向心力。 根据开普勒第二定律，也可用微元法求解。 如果行星在近日点a超前极短时间t，则由于时间极短，因此行星在t时间内进行等速圆周运动，线速度为vA，半径为a，可以得到行星在t时间内扫描面积Sa=vAta同样，如果行星通过远日点b时也移动了相同的极短时间t，则也会发生以下情况Sb=vBtb从开普勒第二定律可以看出，Sa=Sb。 即得： vB=vA(这个问题也可以用对称法解决。 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析例4 :如图34所示，长度为l的船静止在平稳的水面上，站在船头的人的质量为m，船的质量为m，水的阻力被忽略，在人从船头到船尾的过程中，询问船的位移是多少分析：以人和船整体为研究系统，发现人行走时，系统所受外力为零，系统动量守恒。 如果把人走路时间t时间作为等速运动的话，就能计算出船的位移。 如果将v1、v2分别设为人和船的任意时刻的速度，则mv1=Mv2 两侧同时乘以极短时间t的是mv1t=Mv2t 由于时间极短，因此认为在极短的时间内人和船的速度不变，因此人和船的位移的大小分别为s1=v1t、s2=v2t将公式化为ms1=Ms2 所有元位移分别加上ms1=ms2即ms1=Ms2 这个公式是重心不变的原理。 其中，s1、s2分别为全过程中人与船对地位移的大小L=s1 s2 、2式所得船的位移： s2=L例5 :半径为r的光滑的球固定在水平的工作台上，具有质量为m的圆环状的均匀的弹性绳，原来的长度为R，弹性绳的刚性系数为k，将弹性绳从球的正上方轻轻地放置在球上，将弹性绳水平地固定在平衡位置，如图3-5所示，平衡时的弹性绳的长度为R解析：整个弹性绳圈的大小不容忽视，弹性绳圈不能视为质点，必须将弹性绳圈分割成许多短语。 其中，施加在各短语m两端的拉伸力为弹性绳圈内部的弹力f。 弹性绳着陆时以微量质量m为研究对象，进行受力分析。 但是，m所受的力不在同一平面内，可以从适当的角度来看。 选取适用于力分析的平面可明确力之间的关系。 从正面和上面看，正面图的平面图如图3-5 -甲和2-3-5-乙所示。首先看平面图35甲，设置在弹性绳平面上，m成对的中心角为时，每个短语的质量为m=Mm在该平面上受到拉力f的作用，合力如下T=2Fcos=2Fsin小时，sin，因此T=2F=F 正视图3-5-b，m表示重力mg，支撑力n，双力合力与t的平衡。 即，T=mgtan目前的弹性绳半径是r=R因此，sin=45、tan=1因此，T=mg=Mg 、成立时，Mg=F，解开弹性绳的张力为F=设弹性绳伸长量为x，则x=R-R=(-1) R绳索的刚度系数是k=.例6 :质量为m，均匀分布的圆环，半径为r，几何轴与水平面垂直，其承受的最大张力为t时，求出该圆环能够绕几何轴旋转的最大角速度。解析：向心力F=mr2，一定时，r越大向心力越大，因此求出与最大张力t对应的角速度，r取最大值。如图3-6所示，在圆环上取一点l，对应的中心角为，其质量可以表示为m=M，如果设来自圆环的张力为t，则通过相同例的分析得到2Tsin=mr2因为小，所以sin即2T=M r2最大角速度：=例7 :质量m、长度l的铁链垂直悬挂，其最下端正好水平接触，现在使链条从静止状态释放掉落到地面上，如图3-7所示，链条掉落长度x时，链条对地面的压力是多少？解析：坠落过程中链条作用于地面的压力实质上是链条在地面的“冲击力”上施加掉落部分链条的重力。 根据牛顿第三定律，该冲击力同时面对链条的反作用力，该力的冲击量改变了链条掉到地面时的运动量。 因各质量元的高度不同，落地速度不同，运动量的变化也不同。 在某个时刻以链条(微元件)为研究对象，可以将变速冲击变为恒速冲击。开始下落的时刻t=0，在时刻t下落到地面的链条的长度为x，到不了地面的部分的链条的速度为v，链条的线密度为。 从问题的意义上来说，链条掉在地上，速度很快就变成零。 如果从时刻t取一点点t，则M=x在t内掉落到地面而静止。 地面面对m作用的冲击量如下(f-mg)t=imgt0，故ft=mv-0=vx、解力：由于F=v，其中t时刻链条的速度v，因此F=v2，t时刻的链条的速度v是链条落下长度为x时的瞬时速度，v2=2gx当代入f的式子时，F=2gx这就是t时链条给地面带来的力，也就是t时链条给地面带来的力。t时刻链条对地面的总压力为N=2gx gx=3gx=例8 :均匀柔软的绳索长度为l，质量为m，对折后两端固定在钉子上，其一端突然从钉子上滑落，滑落的绳索端点到钉子的距离为x时，钉子作用在绳索另一端的力是多少解析：钉子作用于绳子另一端的力随滑落绳子的长度而变化，可以用微细胞法求解。 如图38所示，若将从左绳的端部到钉子的距离设为x，则左绳的长度为(l-x )、速度v=、右绳的长度为(l-x )另外，在经过短时间t后，左侧绳索又向右移动了长度vt的短部分，因此分析该短部分的绳索，该部分的绳索受到双力：上侧绳索的张力t和其自身的重力vtg(=绳索的线密度)。根据运动量定理，如果以上方向为正，则有(t-vtg)t=0-(-vtv )由于t的获取较小，因此相对于t，该短绳的重力较小，并且可以忽略，因此T=v2=gx因此，钉子施加到右绳端的力是F=(l x)g T=mg(1)例9 :在图3-9中，半径为r的圆盘不能旋转，绳子不能伸长但质量可以忽略，绳子下方悬挂的两物体的质量分别为m、m。 在圆盘与绳索之间设置了光滑的接触，求出了圆盘对绳索的法线支撑力线密度。分析：求盘对绳索的法向支撑力线密度，即求盘对绳索的法向单位长度的支撑力。 由于盘子和绳子之间平滑接触，即使取短绳，两端施加的张力大小相等，绳子上各点受到的支撑力方向不同，因此不能将绳子整体作为对象，只能以短绳子为对象进行解析。 若在与圆盘相接半圆形中取绳索基部l，则与l对应的中心角为，如图39甲所示，绳索基部l的两端的张力全部为t，绳索基部承受的圆盘的法线支承力为n，绳索的品质可忽略，因此法线合力为零，由平衡条件得到N=Tsin Tsin=2T当小时，因为sin，所以N=T。 另外，由于L=R，因此绳索受到法线支承力线密度n=分别以m、m为研究对象，根据牛顿定律Mg-T=Ma T-mg=ma 、从到： T=将式子代入式子： n=例10 :粗细均匀的质量分布也均匀的半径分别是r和r的两圆环相接。 如果在接点上放置质点m，正好两侧圆环对m的万有引力的合力为零，大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：直接求出圆整体相对于质点m的万有引力是困难的。 若要使用圆的对称性和所要求的合力为零的条件，只要考虑到大、小圆环上关于接点对称的微小要素与质量m的相互作用，推进圆环整体即可解决。如图310所示，切线点直线性相交大小的圆分别位于p、q的2点，设与水平线的角度为，在有微小的增量的情况下，微小的线要素与大小的圆环对应L1=R2，L2=r2相应的质量分别如下：m1=1l1=1r2、m2=2l2=2r2由于小，因此m1、m2与m距离可分别如下考虑r1=2Rcos、r2=2rcos因此，m1、m2、m万有引力分别如下f1=F2=f1是任意性的，因此，如果f1与f2的合力为零，则两圆环对m的引力的合力也为零，即求解大小圆环的线密度之比：=例11 :质量m的火箭在正下方的喷气中静止在空中。 假设喷气速度为v，火箭发动机的功率是多少解析：火箭喷射气体时，对气体作业，取得较短的时间，在此时间内，火箭对气体作业，代入动力的定义式，求得火箭发动机的动力。如果将t时间内喷出气体作为研究对象，将火箭推压气体的力设为f，则根据动量定理，Ft=mv火箭静止在空中，根据牛顿第三定律和平衡条件，F=Mg即，Mgt=mv或t=对同一部分的气体使用动能定理，火箭对其所做的工作是W=mv2发动机功率： P=Mgv例12 :如图311所示，小圈o和o 分别嵌入不动的垂直杆AB和a b ，不伸长的绳索通过圈o ，绳索的两端分别与a 点和o形环连结，使圈o 以一定速度v向下移动，aoo=时，求出圈o的速度解析： o、o 间的速度关系与o、o 的位置，即角有关，因此用微小区法寻找它们的速度关系。经过极短时间的t，设o 环为c ，o 环为c、c 和c，分别为oo的垂线c d 和CD，由图可知。由于OC=，oc=因此occ=极小，因此ECED ，ECED，因此ododoo-cc绳索的全长不变，因此oo-cc=oc由以上三式得到： occ=即oc=oc(-1 )方程两侧除以t得到的环o的速度为v0=v(-1 )例13 :向水平位置的清洁玻璃板注入水银，受重力和表面张力的影响，水银呈大致圆形(侧面向外侧突