小学奥数数论讲义1数列专题讲义适合二到六年级

数列专题知识目标：1. 认识数列概念以及数列在数学中的位置2. 掌握各类数列的规律以及在此基础上学会找规律的方法3. 能将实际问题转化为数列问题4. 等差数列5. 通过等差数列掌握分析数列规律的方法6. 在分析等差数列的基础上，会分析其他数列的通项以及求和问题学习目标：A类学生：掌握以上6点，尤其是第6点B类学生：掌握1-4点，掌握等差数列通项和求和的推延过程，能解决其他简单数列的通项问题C类学生：会分析各类数列的规律，以及等差数列的公式，根据公式解题。附言：数列是研究数学中数字以及数字间规律的途径，推而广之，也是研究事物以及事物见规律的途径。数列大幅度提升观察能力，所谓分析问题，分析核心就是观察，观察-收集信息-整理信息-联系创造-解决。观察可以从两点去看，内和外。对内，分解事物本身，看事物本身的规律；对外，跟前后左右未来过去的数据联系起来，看事物在宇宙中的规律。 数列大幅度提升归纳思想，归纳思想是研究所有问题的思想，解决陌生问题，创造新的规律、新的定义、新的公式、全靠归纳。要全面认识归纳思想，建议对数学归纳法有深入的了解。二年级1. 认识简单数列二年级没那么高的要求，感性上认识各类数字规律，以及数字规律发现的过程就好，基本上所有的学生都可以掌握。目标：1、认识什么叫数列，一列有规律或没有规律的数2、认识各类数列【问题分类】概念：按一定规律排列起来的一列数叫数列.例 （等差数列）找出下面各数列的规律，并填空. （1）1，2，3，4，5，8，9，10. （2）1，3，5，7，9，15，17，19. （3）2，4，6，8，10，16，18，20. （4）1，4，7，10，19，22，25.（5） 5，10，15，20，35，40，45.例 （斐波那契数列）找出下面的数列的规律并填空.1，1，2，3，5，8，13，55，89.例 （等比数列）找出下面数列的生成规律并填空.1，2，4，8，16，128，256.例 （递增变化数列）找出下面数列的规律，并填空.1，2，4，7，11，29，37.例 （平方数列）找出下面数列的生成规律，并填空.1，4，9，16，25，64，81，100.小结：数字规律主要还是通过数字+加减乘除实现2.数列实际应用题 例 （累加数列）一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？例 （幂数数列）一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”例 自2开始，隔两个数写一个数：2，5，8，101.可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，等等.问101是第几个数？例 如图41所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个图形应包括多少个小正方形？例 图42所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个小宝塔共包括多少个小立方体？例 细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？3.找规律目的：1、找规律的方法，还是观察，对数和形有高度的认识2、通过掌握几类典型的规律图形【问题分类】例 （数量变化规律）观察下面由点组成的图形（点群），请回答：（1）方框内的点群包含多少个点？（2）第（10）个点群中包含多少个点？（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？解答提示：看图，看图例 “宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的.仔细观察后，请你回答：（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？（3） 从第（1）到第（10）的十个“宝塔”，共包含多少个小三角形？例 （大小变化规律）仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？例 （位置变化规律）细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？例 （形状变化）按顺序仔细观察图75、76的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？4、找规律法-数学归纳法A类学生，可在类比规律中深入探索数学归纳法的全过程。B类学生，感性上体会数学归纳思想，由特殊到一般的转化思维C类学生，会处理数列规律的问题例 （数列规律）找出下面数列的生成规律并填空.1，2，4，8，16，128，256.例 细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？例 （周期规律）观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？12345，23451，34512，45123，例 把写上1到100这100个号码的牌子，像下面那样依次分发给四个人，你知道第73号牌子会落到谁的手里？例 （类比规律）先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续往下写出一些算式：19+2= 99+7=129+3= 989+6=1239+4= 9879+5=12349+5 98769+4= 例 先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续写出一些算式：11=1111=111111=11111111=1111111111=三年级5、找简单数列的规律这部分内容在于培养学生化归和转化思维，把其他有规律的问题转化为数列和数列规律问题。例 （数字数列规律）观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.2，5，8，11，（），17，20。19，17，15，13，（），9，7。1，3，9，27，（），243。64，32，16，8，（），2。1，1，2，3，5，8，（），21，341，3，4，7，11，18，（），471，3，6，10，（），21，28，36，（）.1，2，6，24，120，（），5040。1，1，3，7，13，（），31。1，3，7，15，31，（），127，255。(11)1，4，9，16，25，（），49，64。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.例 （数组数列规律）下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）问：第100个数组内3个数的和是多少？例 （图像相关数列）按下图分割三角形，即：把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b）；把中的小三角形（尖朝下的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（C）继续下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来，成为一个数列：1，4，13，40请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前5项.然后，仔细观察数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第10项，即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.四年级6.等差数列A类学生，在数列通项公式和前n项和中提升对数学归纳法全过程的认识。B类学生，掌握数列通项公式和前n项和的综合运用C类学生，掌握数列通项公式和前n项和的基本问题目标：1.等差数列的基本概念2.等差数列通项公式和前n项和【知识讲解】例 （公差）l，2，3，4，5，6，7，8，9，1，3，5，7，9，11，13. 2，4，6，8，10，12，14 3，6，9，12，15，18，21.100，95，90，85，80，75，70.20，18，16，14，12，10，8.即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示例 （通项公式）求等差数列1，6，11，16的第20项.一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式：例 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.例 （求前n项和）计算 1+5+9+13+17+1993.等差数列前n项和公式：例 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？例 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.五年级7.递推方法目标：1.认识an与an+1的关系，且由an与an+1之间关系，能推算出递推公式2.由此衍生出数学归纳法。A类：掌握数学归纳法的来龙去脉B类：能够推算出递推公式，感性认识数学归纳法C类：能够推算出an与an+1之间的关系，并能解答简单的递推公式【问题分类】例 （叠加数列）平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？解答提示：数形结合，然后数数。要找到规律，看你怎么放数学式子哦，有规律，整齐的把数学式子放一放，特征才能看出来。解：小结：般来说，如果一个与自然数有关的数列中的任一项an可以由它前面的k（n-1）项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，并称这个数列为递归数列.如果这种推算方法能用公式表示出来，就称这种公式为递推公式或递推关系式例 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？