匀变速直线运动及图像解析

勾股弦数李明亮（河北省平乡县大刘庄学校，河北 邢台 ）摘要：勾股弦数是指这样的三个正整数（分别称为勾数、股数、弦数）：勾数与股数的平方和等于弦数的平方。每一组勾股弦数都和3、4、5这三个数有关；任意给定一个不小于3的勾数或股数，都可以求出一组勾股弦数；但是，只有4k+1形的质数和它们的倍数才可以做弦数。关键词：勾股弦数；通项公式；质数；平方勾股弦数是指这样的三个正整数：两个较小数的平方和等于第三个数的平方。也就是说，如果三条线段的长度正好分别等于这三个数，则用这三条线段可以围成直角三角形。3、4、5是最简单的一组勾股弦数。在一组勾股弦数中，从小到大依次称为勾数、股数、弦数。勾股弦数的通项公式如下：a=k(m2n2)，b=2kmn，c=k(m2+n2)（k、m、n均为正整数，且mn）例如，k=1，m=3，n=1时，可得到一组勾股弦数6、8、10；k=2，m=2，n=1时，也可得到6、8、10；k=1，m=3，n=2时，可得勾股弦数5、12、13；k=1，m=4，n=1时，可得勾股弦数8、15、17下面讨论几个与勾股弦数有关的问题。一、在一组勾股弦数中，当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶；当弦数是偶数时，勾数和股数一定都是偶数。因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数，所以当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶。但是，当弦数是偶数时，勾数和股数为什么一定是两个偶数，而不能是两个奇数呢？这是因为，奇数的平方的末两位数只能是01、21、41、61、81、09、29、49、69、89或25这十一个数，而偶数的平方的末两位数只能是04、24、44、64、84、16、36、56、76、96或00这十一个数。这十一个奇数中的任何两个相加，其结果的末两位都不会等于这十一个偶数中的任何一个。也就是说，两个奇数的平方和不可能是完全平方数。如果在一组勾股弦数中，勾数和股数都是偶数，那么，把这组勾股弦数都除以2或者连续除以2，最终都将变成勾数和股数是一奇一偶的勾股弦数。二、在一组勾股弦数的勾数和股数中，至少有一个是3的倍数。此命题的证明如下：我们把m和n都分成三种情况来讨论：m=3m1或3m11，n=3n1或3n11 （m1和n1均为正整数）。（1）当m=3m1时，b=2kmn=6km1n，此时，不论k和n是什么数，b都是3的倍数。（2）当n=3n1时，b=2kmn=6kmn1，此时，不论k和m是什么数，b都是3的倍数。（3）当m=3 m11，n=3n11时，a=k(m2n2) =km2kn2=k(3 m11)2k(3n11)2 =k(9m126m1+1)k(9n126n1+1)=3k(3m122m1)3k(3n122n1)其中的每一项都是3的倍数，所以，此时的a一定是3的倍数。这就证明了，不论m、n是怎样的正整数，a和b之中都至少有一个是3的倍数。三、在一组勾股弦数的勾数和股数中，一定有一个是4的倍数。这是因为，当m和n之中有一个偶数或都是偶数时，b=2kmn是4的倍数；当m和n都是奇数时，a=k(m2n2)是4的倍数。四、在一组勾股弦数中，至少有一个是5的倍数。此结论的证明如下：我们把m和n都分成五种情况来讨论：m=5m1或5m11或5m12，n=5n1或5n11或5n12（m1和n1均为正整数）。（1）当m=5m1时，b=2kmn=10km1n，此时，不论k和n是什么数，b都是5的倍数。（2）当n=5n1时，b=2kmn=10kmn1，此时，不论k和m是什么数，b都是5的倍数。（3）当m=5m11，n=5n11时，a=k(m2n2) =km2kn2=k(5m11)2k(5n11)2=5k(5m122m1)5k(5n122n1)很显然，此时的a是5的倍数。（4）当m=5m12，n=5n12时，a=k(m2n2) =km2kn2=k(5m12)2k(5n12)2=5k(5m124m1)5k(5n124n1)在此情况下，a也是5的倍数。（5）当m=5m11，n=5n12时，c=k(m2+n2)=km2+kn2=k(5m11)2+k(5n12)2=25k(m12+n12)10k(m1+2n1)+5k显然，此时的c是5的倍数。（6）当m=5m12，n=5n11时，c=k(m2+n2)=km2+kn2=k(5m12)2+k(5n11)2=25k(m12+n12)10k(2m1+n1)+5k显然，此时的c 也是5的倍数。可见，不论m、n是怎样的正整数，a、b、c之中都至少有一个是5的倍数。从上面三个命题可以看出，每一组勾股弦数都与3、4、5这三个数有关。但一组勾股弦数并不一定是3、4、5的倍数各一个，还可能是：（1）勾数和股数一个是3和4的公倍数，一个是5的倍数，如5、12、13；（2）勾数或股数是3和4的公倍数，弦数是5的倍数，如7、24、25；（3）勾数和股数一个是3和5的公倍数，一个是4 的倍数，如15、8、17；（4） 勾数和股数一个是4和5的公倍数，一个是3 的倍数，如21、20、29；（5）勾数或股数是3、4、5的公倍数，如11、60、61和19、180、181。五、在一组勾股弦数中，弦数是形如4k+1（k是正整数）的质数，或者是它们的倍数。当弦数是奇数时，它一定是形如4k+1（k是正整数）的数或者是其倍数，如5、15、25、13、39、17、51等等；当弦数是偶数时，把它除以2或者连续除以2，它就会变成形如4k+1（k是正整数）的奇数或其倍数。这是很容易证明的。但是，当弦数是奇数时，为什么一定是形如4k+1（k是正整数）的质数或它们的倍数，而不能是9、21、33这些形如4k+1（k是正整数）的合数呢？笔者只对10000以内形如4k+1（k是正整数）的质数进行了验证，没能对此命题做出证明。此命题是否具有普遍的正确性呢？六、任意给定一个勾数或股数、弦数，是否都可以求出一组勾股弦数？1任意给定一个勾数（或股数），都可以求出股数（或勾数）和弦数。如果给出的勾数（或股数）X（X3）是奇数，则可以根据k(m2n2)=X求出m和n，然后求出另外两数。例如，给出的勾数（或股数）是15，令a=k(m2n2)=15,即k(m+n)(mn)=15=1151=153=351=531因为k、m、n均为正整数，且mn，所以可得以下四组等式：k=1，m+n=15，mn=1；k=1，m+n=5，mn=3；k=3，m+n=5，mn=1；k=5，m+n=3，mn=1。由解得，k=1，m=8，n=7， a=k(m2n2)=15，b=2kmn=112，c=k(m2+n2)=113。由解得，k=1，m=4，n=1，所以a=15，b=8，c=17；由解得，k=3，m=3，n=2，所以a=15，b=36，c=39；由解得，k=5，m=2，n=1，所以a=15，b=20，c=25。一般地，当a=k(m2n2)是奇数时，求出的b和c多不是唯一的（只有a是质数时，得到的结果才唯一）。例如，a=105时，可以得到如下13组勾股弦数：105，5512，5513；105，88，137；105，208，233；105，608，617；105，1836，1839；105，36，111；105，1100，1105；105，100，145；105，784，791；105，56，119；105，360，375；105，252，273；105，140，175。特别地，当a=k(m2n2)是奇数时，求出的勾股弦数一定有一组中的b和c是相邻的自然数，如3，4，5；5，12，13；7，24，25；此结论的证明如下：设a=2k1+1，（k1是正整数）则由a=k(m2n2)=k(m+n)(mn)=2k1+1=1（2k1+1）1得，k=1，m+n=2k1+1，mn=1，由此可解得，k=1，m=k1+1，n=k1，（至少有此一解）所以，a=k(m2n2)= 2k1+1，b=2kmn=2（k1+1）k1=2k12+2k1,c=k(m2+n2)=（k1+1）2+ k12=2k12+2k1+1。显然，cb=1，b和c是相邻的自然数。2如果给出的勾数（或股数）X（X4）是偶数，则可以根据k(m2n2)=X或2kmn=X求出m和n，然后求出另外两数。例如，给出的勾数（或股数）是20，令a=k(m2n2)=20,或2kmn=20（1） 由k(m2n2)=20得，k(m+n)(mn)=1201=1102=154=2101=252=451=541=1021因为k、m、n均为正整数，且mn，所以可得八组等式，但是只有根据以下两组得出的m和n是整数：k=1，m+n=10，mn=2；k=4，m+n=5，mn=1；由得，k=1，m=6，n=4，所以a=20，b=48，c=52由得，k=4，m=3，n=2，得到的勾股弦数也是20，48，52。（2） 由2kmn=20得，kmn=10=1101=152=251=521，k=1，m=10，n=1或k=1，m=5，n=2或k=2，m=5，n=1或k=5，m=2，n=1这样，又可以得到四组勾股弦数99，20，101；21，20，29；48，20，52；15，20，25。但第组与由k(m2n2)=20得到的一组是相同的，所以，勾数（或股数）是20的勾股弦数一共有四组。给出的勾数（或股数）是偶数时，一般可以求出多组不同的勾股弦数。如勾数（或股数）是360时，可以得到37组不同的勾股弦数360，16198，16202；32399，360， 32401；特别地，当给出的勾数（或股数）是偶数时，求出的勾股弦数一定有一组中的a和c是相邻的奇数或相邻的偶数，如15，8，17；35，12，37；24，10，26；此结论的证明如下：由b=2kmn=2k1得（k1是自然数，且k12）kmn=k1=1k11，因为k、m、n均为正整数，且mnk=1，m=k1，n=1，（至少有此一解）a=k(m2n2)= k121，c=k(m2+n2)= k12+1，显然，ca=2，a和c是相邻的奇数或相邻的偶数。3任意给定一个弦数，却不一定能求出勾数和股数，因为弦数应该是两个完全平方数的和，或者是两个完全平方数的和的倍数。一般地，给出的弦数是形如4k+1（k是正整数）的质数或它们的倍数时，可以求出勾数和股数。如给出的弦数是82，令c=k(m2+n2)=82=1(92+12)=2(52+42)k=1，m=9，n=1或k=2，m=5，n