数学归纳法典型例题

4 .知识分析【知识整理】数学归纳法是证明正整数n相关命题的一种方法，在高等数学中有着重要的应用，已成为高考热点之一。 近年来高考问题不仅要求数学归纳法证明现代结论，而且要加强对不完全归纳法应用的考察，总结发现结论，证明结论的正确性，因此初步形成“观察总结预测证明”的思路尤为重要。一般而言，为了证明关于正整数n的命题，可以采取如下步骤(1) (归纳性) n取最初的值n=n 0时证明命题成立(2) (归纳回归)假设n=k ()命题成立，证明当时的命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以判断命题对于从开始的所有正整数n成立。 上述证明方法称为数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，其第一步骤被称为推理步骤，是论证的基础保证，通过验证来执行传输的起点，该基础必须是真实的第二步骤被称为递归步骤，如果命题对于某个正整数成立，则该命题对于后续的正整数成立特别是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，只有第二步成立，命题也有可能是假命题。【点分析】1、用数学归纳法证明问题的关键是第二步，即n=k 1时为什么成立，n=k 1时成立是在利用假设n=k时，根据关系定理、定义、公式、性质等数学结论推定为在n=k 1时成立，不是直接代入，而是在n=k 1时成为假设，是命题用数学归纳法可以证明相关的正整数问题，但并非所有正整数问题都用数学归纳法证明，学习时必须具体分析具体问题。2 .使用数学归纳法时容易犯的错误(1)项数推定的错误，特别是在寻找n=k和n=k 1的关系时，弄错了项数如何变化。(2)没有利用摘要假说：摘要假说是必须的，假设起到桥梁的作用，桥梁就断了，不能通过。(3)关键步骤模糊，“假设n=k下结论成立，利用该假设n=k 1下结论成立”是数学归纳法的重要步骤，是证明问题的最重要步骤，在推导过程中应完全写入步骤，注意证明过程的准确性、规范性。【典型例题】用数学归纳法证明：时。解析：当时左、右、左=右，方程式成立。假定时间方程式成立，即有，此时，所以当时方程式也成立了。由、可知，所有的方程式都成立。点评： (1)用数学归纳法证明与自然数相关的几个方程式。 命题的关键是“看项”，明确方程两侧的构成规则，明确方程两侧有多少项，项的数量是否与n的取值有关，式的两侧增加了多少项，哪些项增加了。(2)在本例的证明过程中，考虑(I)n取最初值的命题形式”时，需要认真对待，一般将最初值代入通项来考察命题的真伪，(II )在从步骤开始的递归过程中，必须使用归纳假说，不使用归纳假说的证明不是数学归纳法。本问题的证明如果利用数列合计中的解体相消法这不是归纳假设，而是应用了数学归纳法的伪证。(3)在步骤的证明过程中，强调了两个凑字、一个“凑”假说、两个“凑”结论，重要的是明确的时间证明目标，充分考虑当时命题形式的差异和联系。例2。分析： (1)当时，左、右、命题成立。(2)假定此时命题成立，即，当时左侧的双曲馀弦值。上式表明当时的命题也成立了。由(1)(2)可知，命题对于所有的正整数都是成立的。例3 .数学归纳法证明：全部为大于1的自然数n，不等式成立。解析：当时，左=，右，左右， 不等式成立了。假定不等式成立，即，当时，时，不等式也成立。由、可知，对于全部为1以上的自然数n，不等式成立。点评： (1)正题证明命题成立时，利用归纳假说，根据目标式进行适当的缩小实现，但也可以利用归纳假说证明不等式成立。(2)应用数学归纳法证明有关非零自然数的命题必须注意两个步骤，第步骤成立是推论的基础，第步骤是推论的依据(即成立成立就是)，因此所有命题都是另一方面，在步骤中，验证中的不一定是1，根据主题的要求，有时是2、3等，在步骤中，在证明时命题也成立的过程中，进行适当的变形，总结假设。例4 .不等式对于所有的正整数n都成立的话，求正整数a的最大值，证明你的结论。分析：取。是的，先生。 然后呢所以，下面用数学归纳法来证明，在(1)的情况下，结论被证明是正确的(2)假设的情况当时，因为所以呢所以呢很快结论也会成立由(1)(2)可知，对于一切有的a的最大值为25。例5 .数学归纳法，证明能被9除尽。解析：方法1 :令能被(1)9除尽。(2)假设能被9整除的话能被9除尽。由(1)(2)可知，对于一切命题都成立。方法2:(1)原式可以被9除尽如果能被9除尽的话的情况也能被9除尽。由(1)、(2)可知，对于任何事物，都可以被9除尽。分数评价：证明划分问题的关键是“紧凑集”，在采用增加、减项、分项和因数分解等手段集中的情况下，利用归纳假设证明问题。例6 .寻求证据：能打破。分析： (1)当时，命题明显成立。(2)一旦设定，就能断开当时的双曲馀弦值。根据摘要假设，上式的两项全部被打破所以命题成立。由(1)(2)可知，这样，命题成立。例7 .平面内有n个圆，其中各2个圆与2点交叉，3个圆不与1点交叉。 这n个圆把平面分成部分。分析：的情况下，一个圆把平面分成两部分，明显命题成立。假设圆把平面分成部分当时第k 1个圆交叉之前的k个圆位于2k个点，该2k个点将圆分成2k个区段，各个区段将各个区域分成2k个区段，因此，该k 1个圆将平面分成部分，即部分。因此，命题成立。由、可知，命题成立。分数评价：用数学归纳法证明几何问题的关键是“发现”，几何要素从k个变为k 1个时，所证明的几何量增加多少，需要通过几何知识、几何图形进行分析，在实际不能分析的情况下，将n=k 1和n=k分别代入所证明的公式中，通过加上差来求出增加量例8 .考虑是否存在与自然数n相关的函数，是否使方程式对所有自然数成立？ 证明你的结论。分析：当时是当时是预想。用数学归纳法证明当时，方程式总是成立的。当时，由上述计算可知，方程式成立了。假设成立当时当时，方程式也成立了。由可知，对于所有自然数n，方程式成立。存在函数，使方程式成立。评价： (1)总结推测时，寻找与满足条件的n的关系式很重要，预测的关系不一定满足任意的条件，所以需要用数学归纳法来证明。(2)通过解答摘要过程，可以直接求解，即的双曲馀弦值。【模拟问题】1 .如果数学归纳法证明“n可以被正奇数时整除”，则应该创建第二步摘要假说a .假设情况下，命题成立b .假设情况下，命题成立c .假设情况下，命题成立d .假设命题成立2 .假设成立，1的情况下，左端增加的项目数为A. 1项b .项C. k项d .项3 .凸k边形的内角之和，记作凸缘形的内角之和()A. B. C. D4 .某命题与自然数n相关联，如果时命题成立，可以推测此时命题也成立，但可以推测当前此时命题不成立a .当时，这个命题没有成立b .当时，这个命题成立了c.n=4时，该命题不成立d.n=4时，该命题成立5 .用数学归纳法证明的情况下，当时不等式左边应该追加的项是A. B. CD.6. (5点)数列中，等差数列(表示数列的上位n项和下位n项)的二成，由此7. (5分)如果知道一切都成立，a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _8. (14分)包括：可以得出什么结论呢？ 证明了。9. (16分)设数列满足。(1)证明：所有正整数n都成立(2)判断命令、和的大小，说明理由。10. (14分钟)一个已知函数，假定满足数列。(一)用数学归纳法证明；(二)证明。11. (16分钟) (2006年，江西)已知数列是：并且的双曲馀弦值。(1)求数列的通项式(2)证明：对于所有正整数n，不等式总是成立。【问题的答案】1. B 2. D 3. B 4. C 5. C6 .7 .8 .解：