计算方法 偏微分方程数值解.ppt

第五章偏微分方程数值解numericalmethodsforpartialdifferentialequations，5.1偏微分方程概述5.2离散方程5.3求解一些常见偏微分方程的离散化计算5.4吸附床传热模型的偏微分方程，在本章中， 偏微分方程式的离散形式和求解的一般过程教育，通过追求记住1次和2次偏微分方程式的离散形式的EXCEL反复，尝试扩展寻求通过交替更新熟悉求解偏微分方程式的2个排列的方法来求解编程的化学反应工序中的物理场的模拟。 教学重点的各种偏微分方程离散和求解EXCEL循环迭代问题的教学难点特殊边界条件的引入与应用，介绍5.1偏微分方程，偏微分方程在一个微分方程中出现多变量函数的偏微分方程，或者未知函数与一些变量相关，方程中出现未知函数的一些变量的微分方程在化工和化学动态模拟方程中，通常一个参数是时间，其他参数是空间位置。 如果只考虑一维空间，参数只有两个。如果考虑二维空间，有三个参数。 许多化工过程通过偏微分方程求解进行过程参数的确定或数值模拟。 5.1偏微分方程介绍， 偏微分方程的分类线性微分方程linearpartialdifferencialequation伪线性微分方程quasilienearpartialdifferencialequation非线性微分方程nonlinearpartialifferencialequation 5.1偏微分方程介绍数学分类：椭圆方程Elliptic抛物线方程Parabolic双曲线方程Hyperbolic物理实际问题的分类：波动方程(双曲型)一维弦振动模型：热传导方程(抛物线型)一维线性热传导方程加方程(椭圆型)稳态静电场或稳态温度分布场)， 5.1微分方程的求法求微分方程的数值解的一般步骤： Step1区域分割：首先，将整个定义域分割为若干小块Step2微分方程的离散：构成离散点或片的函数值递归式或方程Step3的初始、边界条件的离散：根据递归式将初始值或边界值离散化， 启动补充方程式的递归运算Step4的数值解计算：求解离散系统问题微分方程式的解问题离散系统的解问题，5.2离散化式，将参数在时间和空间上以一定的间隔离散化，失真变量就成为这些离散变量的函数。 一次偏导的离散化方程式一般以欧拉方程式表示，为了保证系统和稳定性，对时间的差分多采用后方程式，5.2的离散化方程式对于二次偏导，可以通过泰勒展开方程式处理技术得到下一个离散化计算方程式：从5.2的离散化方程式导出， 将uk 1用uk二次泰勒展开：将uk-1用uk二次泰勒展开：用二次式相加5.3几个常见偏微分方程式的离散化计算，1、波动方程式中，初始值条件是边缘值条件，该波动方程式仅提供初始值条件时，称为波动方程式的初始值问题，两者提供时，称为波动方程式的初始值问题5.3.1求解波动方程式，对于初始值问题，当t=0已知时，依赖于u和x的函数形式求解不同位置、不同时刻的u值。 u是已定义的二元函数，即上半部分平面的函数。 混合问题除初始值外还有边缘值。 如果初始值和x=0，并且x=l是已知的，则u依赖于t的函数确定不同位置x的不同时刻u的值。 此时，u是在原始带状区域中定义的二元函数。 5.3.1求解波动方程式，方程式离散化，可整理：边界条件初始条件离散化，5.3.1求解波动方程式，例5.1:用数值法求解以下偏微分方程式。 该微分方程式是不考虑流体自身的热传导时的套管传热微分方程式。 计算结果表明，计算的时间序列进入72，传热过程稳定，各点的温度不随时间变化。 如果改变套筒的长度和传热系数，达到稳定状态的时间也会改变。、EXCEL、5.3.2维流动热传导方程与波动方程的情况类似，可以近似偏差商，得到一维流动热传导方程混合问题的差分方程，将其解作为流动热传导方程的近似解. 2、处理一维流动热传导方程的混合问题、离散化和上述公式得到：该公式为显式形式。 保证公式中的各系数大于零，一般是稳定的，可以获得稳定的解。 分析上式可知，为了提高数值精度而取适当的x时，小于0的系数是uin的系数的可能性最高，为了保证该系数大于0，t必须相应地减小，计算量大幅增加。 这是明显的格式缺点，为克服这一缺点，偏微分方程点性离散，并且对于时间偏微分采用向后欧拉方程得到原始偏微分方程的离散方程：5.3.二维流动热传导方程，从图5-3可以看出，从初始值和边界条件向上推为一列是不行的。 在求解线性方程的同时，加入双边界条件：正好有m 2方程，同时有m 2变量，可求解n 1列各点的值。 这样，每当求解线性方程式时，可以向上估计一列点的u值，导入方程式的求解可增加计算量，但由于隐式形式无条件地稳定，因此t的取法可以与x无关地计算较多列节点的u值，根据显式形式，反而节省计算量5.3.2一维流动热传导方程式，例如5.2考虑纵向热传导的封套热交换器内管的各点的温度分布微分方程式：解：根据之前的知识，将求出的方程式离散化：代入微分方程式进行简化：分析上式，如果知道某时刻的各点t，则为(j=0，1，2. 10， 11 )、可求出下一时刻各点的温度值t (j=1，2. 10 )的现在，知道零时刻管内各点的温度分布和入口在哪个时刻。 如果想求出以下时刻的温度值，根据以上的离散化计算式，需要知道j=11时的温度。 该温度可以在规定的边界条件下离散化求出。 有上面的各式，上面的微分方程式可以解。 5.3.2一维流动热传导方程、EXCEL、5.3.3稳态热传导/扩散方程、3、稳态热传导/扩散方程在化工热传导和扩散过程中没有物流流动，只通过热传导和扩散进行热和质量传导。 在这一点上，当系统达到稳定状态时，即系统中的每个控制单元的性质，例如温度、浓度等不会随着时间的改变而改变，系统中的性质仅与其位置有关，并且可以利用化工知识得到以下二维、三维稳态热传导或扩散偏微分方程：二维常有三种边界条件：第一类边界条件：第二类边界条件：第三类边界条件：离散化公式：取简化：分割外节点(边界节点)和内节点求解网格反复求解节点离散方程(或求解稀疏方程)，求解5.3.3稳态热传导/扩散方程，5.3.3稳态热传导/解扩散方程式常用的3种迭代形式： (1)同步迭代： (2)异步迭代： (3)超松弛迭代：计算范围r为矩阵区域，x方向m等分，y方向n等分，最佳松弛系数为：从数学知识可知，用这些迭代法求解上述偏微分方程式时收敛。 紧凑迭代，求解5.3.3稳态热传导/扩散方程，例5.3 :处于热传导平衡状态的保温，假设其形状为长方体，在x、y两个方向存在热传导，热传导率相等，已知边界温度分布如下图：解：取某微单元进行能量平衡计算， 达到热传导平衡状态后，若要求解传导导入热-传导热=0、温度分布、5.3.3稳态热传导/扩散方程式，请在MicrosoftExcel反复计算公式的循环参照中，按一下工具选单中的选项，然后按一下重新计算标签。 选中“迭代次数”复选框。要设置MicrosoftExcel重新计算的最大次数，请在“最大迭代次数”框中输入迭代次数。 迭代次数越多，Excel用于计算工作表的时间就越长。 若要设定迭代结果之间允许的最大误差，请在“最大误差”(maximumerror )框中输入所需的值。 数字越小，结果越精确，Excel用于计算工作表的时间也越长。 求解5.4吸附床传热模型偏微分方程式的例子，假设5.4.1基本设定1 .吸附器结构参数的设定上图为套筒式吸附器，该吸附器的有效长度为l，有效内径为d，间隙宽度为，吸附器壁厚为b。 热传导流体通过环形间隙向吸附器传热，或通过吸附器上端的小管向吸附器加入或分离吸附物质。 5.4.1基本设定，2 .吸附床外流体传热的基本设定：1.忽略环隙宽度下的流体温度梯度2 ) .忽略热损失3 ) .忽略吸附器壁厚b下的温度梯度，用集中参数法求出吸附器壁面温度. 3 .吸附床内传热物质的基本假设：1.吸附床内的吸附物质气体处于气滞状态2 ) .忽略蒸发器、冷凝器与吸附床之间的压力差3 ) .吸附床内的各计算微单元内达到吸附平衡。 吸附量可以用回归式计算的4 .吸附热利用微分吸附热，随着吸附量和吸附温度的变化而变化的比热采用有效比热，随温度而变化，但在计算微电池内可以认为是常数的5 .床层活性炭的热传导率采用当量的热传导率，可以通过实验测定得到。 5.4.2流体传热模型的构建，轴向取环隙微小要素， 进行了能量分析：1.流体通过流体流入环隙微小元件的能量为2 .流体通过流体流入环隙微小元件的能量为3 .流体的热传导导入x的总能量平衡方程式： f流体的密度uf环隙的流体速度，Sf磷4 .流体热传导在x下的热传导为5 .微体向吸附床传递的热量qt6.微体内的能量变化率为流体的横截面积、5.4.3吸附床内的吸附剂热传导模型的构建，在吸附床内发生热和质量的传导，但质量的传导以热传导为基础，因此建立热传导方程式即可吸附床内的热传导主要以热传导为主，有传统的热传导和轴向热传导，为了便于建模分析，选择图示的吸附床微体进行平衡：1.轴向导入热：2，2 .轴向导出热3 .径向导入热4 .径向导出热5 .微体内的能量变化率中6 .总能量平衡方程式、5.4.4吸附器内/外无量化方程式、吸附器内/外无量化方程式、无量化处理