医用高数第三章一元函数积分学第一节：不定积分.ppt

一、不定积分的概念,二、不定积分的性质基本积分公式,三、换元积分法,四、分部积分法,五、有理函数的积分,第一节不定积分,第三章一元函数积分学,一、不定积分的概念,定义3-1若在某区间上,则称为在该区间上的一个原函数,例,（2）若和都是的原函数,则,（为任意常数）,（3）为原函数的全体,定义3-2若函数是一个原函数,则原函数的全体称为的不定积分.记为.,由此可知,求不定积分只需求出一个原函数,再加上任意常数.,例3-1求,解,例3-2求,解,不定积分的几何意义,是积分曲线上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线族,在点处有相同的斜率，即这些切线互相平行,二、不定积分的性质和基本积分公式,性质3-3,性质3-4,基本积分公式,(3),(4),例3-3求,例3-4求,解,解,例3-5求,解,例3-7求,例3-6求,解,解,例3-8求,解,但是,解决方法利用复合函数，设置中间变量.,三、换元积分法,因为,第一类换元法(凑微分法),注意使用此公式的关键在于,定理3-1,则有换元公式,证明,解,例3-9求,例3-10求,解,对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量,例3-11求,解,例3-12求,解,例3-13求,解,例3-14求,解,同理可得,例3-15求,解,解,例3-16求,例3-17求,解,解法1,例3-18求,解法2,解法3,凑微分常见的类型,第一类换元法是通过变量替换将积分,下面介绍的第二类换元法是通过变量换将积分,2第二类换元法,定理3-2设单调、可导，且，若具有原函数，则有,证明,注意使用此公式的关键在于通过变量替换将换成一个容易求得的积分来计算,例3-19求,解令,对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称根式代换.,例3-20求,解令,若被积函数中含有时,可采用三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换.,三角代换常有下列规律,解设,例3-21求,解令,例3-22求,解令,例3-23求,注倒数代换也是常用的代换之一,解令,例3-24求,考虑积分,解决思路,利用分部积分法,四、分部积分法,定理3-3,即,两边求不定积分,所以,解令,如果令,显然，选择不当，积分更难进行.,例3-25求,更复杂了!,选择注意以下两点,若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积,设幂函数为.,例3-26求,解,解,例3-27求,例3-28求,解,解令,例3-29求,若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为.,例3-30求,若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可作为,但作为的函数的类型不变.,例3-31求,有理函数两个多项式的商表示的函数.,五、有理函数的积分,其中、都是非负整数；及都是实数,并且，.,假定分子与分母之间没有公因式,例,注意,(1)利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,其中都是待定的常数.,分母中若有因式，则分解后为,其中为待定的常数.,便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时要把上面的待定的常数确定,这种方法叫待定系数法,例3-32求,方法1：去分母,两端同乘以,得,比较两端同次幂的系数,得,解方程组,得,方法2：在恒等式中,令,得;令,得.,例3-33求,解设,解设,例3-34求,解,例3-35求,分析:被积函数的分母在实数范围内不能因式分解,可用凑微分法求解.,1原函数的概念不定积分的概念不定积分的性质基本积分公式,主要内容,2两类换元法,3分部积分法,（1）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积,设幂函数为.,(2)若被积函