材料力学--第2讲.ppt

第二章应力状态分析,内容提要内力应力的概念：正应力与切应力一点的应力状态切应力互等定律二向应力状态分析解析法二向应力状态分析图解法三向应力状态分析微体平衡,2.1内力,概念：外力作用下，变形固体内部相邻各部分之间产生的相互作用力称为物体本来存在内部作用力，外力引起了内部作用力的改变。三种内力：1、分子间相互吸引；（固有内力）2、刚体相互机械作用；（静力学中的内力）3、在外力作用下，物体产生变形，分子间固有内力发生变化，产生附加内力，简称内力。（材料力学中的内力）截面法：求内力用截面假想地把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。求某个截面上的内力，假想用截面将构件剖成两部分，在截开的截面上，用内力代替另一部分对它的作用。,截面法求内力可归纳为四个字：1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力4）平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力,内力是连续地分布在截面各个点上的空间力系，一般情况下可向截面形心简化，合成三个主矢和三个主矩分量，即内力分量：,坐标系：x轴-杆件轴线yz平面截面所在平面,内力分量：主矩和主矢FN为轴力:使杆件发生轴向的拉伸或压缩变形FSy、FSz为剪力：使杆件发生剪切变形T为扭矩：使杆件发生扭转变形My、Mz为弯矩：使杆件发生弯曲变形,内力的符号规定FN为和FN为作用力与反作用力，符号不一致规定外法线沿着坐标正方向的截面称为正面，反之为负面，正面上与坐标正方向相同的内力为正，反之为负例子2-1，p9；2-2，p10,2.2应力正应力与切应力,为了表示截面上不同点处受力的差别，引入应力概念：是内力的分布集度，即单位面积上内力的大小。应力的国际单位为Pa（帕斯卡）、MPa、GPa。应力的求法：见下页,应力求法,如图1.7(a)所示杆件截面任意点处应力，围绕点取微小面积A(见图1.7c)，上作用的微内力为，则Pm是面内的内力平均分布集度（平均应力）:,应力求法,由于内力在截面上一般并不均匀分布，pm将随A大小而变化，不能真实反映点内力的分布集度。,称为总应力或全应力。,点的真实应力应该是逐渐减小而趋于点时,与A比值的极限值,即:,平均应力:,应力求法,正应力或法向应力:剪应力或切应力:,常用的表示方法是把p分解为两个分量:垂直于截面的分量：正应力，用表示沿截面的切向分量：切应力，用表示,总结：点的总应力p与截面方向有关。过点在另外方向取一截面，可定义另外一个不同的总应力矢量。过点可以有无限多个不同方向的截面，相应可得无限多个不同的总应力矢量。仅有一个方向截面的应力矢量，不能全面描述一点的应力特性。而过一点各方向截面上应力矢量的集合称为该点的应力状态。,2.3一点的应力状态切应力互等定律,1、单元体：（对连续均匀介质用极限的概念）来要描述构件上一点a，就围绕a取一微小的六面体，当三个垂直的棱边趋近于0时的极性时，即点a，称此微小六面体为;用截面外法线方向来命名截面，x面是指该截面的外法线法线沿x轴，或者说该截面垂直于x轴；2、一点的应力状态：过一点不同方位上应力的集合，称为一点应力状态；用单元体上三个相互垂直的平面上的应力来表征一点(M)的应力状态；,应力符号的规定：正面上的应力沿着坐标轴正方向的为正，反之为负；负面上的应力沿着坐标轴负方向的为正，反之为负；,3、切应力互等定律：在受力构件内过一点相互垂直的两个微面上，垂直于两微面交线的切应力大小相等，方向相向或相背。静力平衡方程证明：,所以：上述的9个应力分量就变成了6个应力分量,4、应力状态分类三向应力状态：亦称空间应力状态，是最一般最复杂的；二向应力状态：单元体只有两对面上承受应力并且作用线均在同一平面内，另外一对面上没有任何应力，亦称平面应力状态；单向应力状态：当平面应力状态中切应力为0，且只在一个方向上有正应力作用时，称为纯切应力状态：当平面应力状态中所有的正应力均为0时，称为,2.4二向应力状态分析解析法,在杆件中,我们经常遇到的一点的应力状态为单向应力状态或平面应力状态。一般的空间应力状态在杆件中很少出现,通常在弹性力学中讨论。1、任意斜面上的内力推导见下页,推导如下,2、主应力与主方向单元体中没有切应力的面称为主平面；主平面上正应力称为主应力；主平面的外法线方向称为主方向。三个主应力都不等于0者为三向应力状态，只有一个主应力等于0者为二向应力状态或平面应力状态，只有一个主应力不等于0者为单向应力状态。,3、主切应力与主切平面由下边公式知:切应力也有极值，称为主切应力，主切应力所在的面称为主切平面,二相应力状态实例：p19，2-3,2.5二向应力状态分析图解法,2、应力圆的作法：在坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d连ad交轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。,d,a,c,证明应力圆上E点为ef截面的应力分布：,3、应力圆与单元体的对应关系点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；转向对应半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。应力符号的对应单元体上+的正应力，在应力圆上位于纵轴的右端，反之，位于左端。使单元体有逆时针旋转趋势的切应力，在应力圆上位于横轴的下方；反之使单元体有顺时针旋转趋势的切应力，应力圆位于横轴的上方。,点面对应,转向对应、二倍角对应,从以上作图及证明可以看出,应力圆上的点与单元体上的面之间存在一一对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上其一点的坐标;单元体上任意A、B两个面的外法线之间的夹角若为b,则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2b,且两者的转向一致。,应力圆直观地反映了一点处应力状态的特征,在实际应用中,并不一定把应力圆看作为纯粹的图解法,可以利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征,或从图上的几何关系来分析一点处的应力状态。,总结,2.6三向应力状态分析,1、任意斜截面应力某斜面ABC，外法线N的方位角分别为（N,x），（N,y），（N,z），其方向余弦为l、m、n来表示；则设ABC面和三个坐标轴构成四面体OABC,设ABC面面积为dAN，OBC面面积为dAx，OAC面面积为dAy，OAB面面积为dAz，则有：,斜面ABC上总应力矢量pn在x，y，在，三个方向分量为：pnx，pny，pnz，四面体处于平衡状态，在x轴方向则有：,斜面ABC上正应力为总应力矢量pn在法线N上的投影，即是pn的三个分量pnx，pny，pnz，在法线N上的投影的代数和：,2、主应力与主方向过点O的斜面A*B*C*就是主平面，其方向余弦l*、m*、n*就是一个主方向。因为主平面无切应力，则A*B*C*面上的全应力就是正应力分量。该面上的全应力在坐标轴上的投影为：,这是关于l*、m*、n*就是的齐次线性方程组，因为l*、m*、n*不全为O，则有，系数行列式=0。即：,称为特征方程；解方程得到三个实根，称为特征根。,式中系数I1，I2，I3，分别为：,无论坐标怎样变化，系数I1，I2，I3，均不变，分别称为一点应力状态的第一、第二、第三变量。,3、三向应力状态的应力圆,假设主应力已知，以主方向为坐标轴，在主方向坐标系中，凡平行于主方向3的各个斜面上的应力分量均只由，而与无关，则，的应力圆为C12；同理有C23、C13。则任一斜截面上应力分量所对应的点，均位于此三圆所围成的阴影区域内。,三向应力圆(Three-DimensionalStressCircle),2.7微体平衡,1、构件内部微体的平