求导法则及求导公式

2 求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： 一、导数的四则运算问题1 设,求.分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,.即一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数） 设,在点可导,则 （求导是线性运算）证明 令 问题2 设,则对吗？分析 一般地,有如下乘积的求导法则：定理2（积的导数）设,在点可导,则 （它导它不导,它不导它导,然后加起来）证明 令 推论1 .推论2 若函数在知可导,C为常数,则.问题3 设,求.一般地,存如下商的运算法则：定理3（商的导数） 设,在点可导,则.证明 令 给出（3）.推论 (1) . (2) . (3) .利用导数的四则运算法则举例.例1 ,求,. 例2 ,求. 例3 证明：,. 例4 证明：,.例5 证明：,.利用导数的四则运算法则求导数举例：1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6;7; 8; 9.二、反函数的导数问题1 设,求.定理4 设在区间上连续,严格上升,在点可导,且, .则反函数在点可导,且.注 若在可导,导数,则反函数存在,且 .这里导数可推出严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成 .定理的证明 要证存在,注意到这个比式是函数 与 的复合,由定理条件知 .再由反函数连续性,时,由复合函数求极限定理得 . 例6 ,求. 解 ,反过来,如果已知,也可求 . 例7 ,求.解 ,.例8 ,求.解 , 例9 ,求.例10 ,求.三、复合函数的导数问题1 设,求;2）. 设,求;3）. 设,求.定理5 设与存在,则复合函数在点可导,且 .注 若的定义域包含的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数在的定义域上可导,且（怀中抱月）或 , . 定理的证明 定义函数 在点连续,. 由恒等式,我们有 令,得 .我们引进是为了避免再直接写表达式中当时,可能会出现 情况.例1 ,求.解 例2 ,求.解 .例3 ,求.解 .例4 ,求.解 . 例5 ,求. 解 时,; 时, 时,. 例6 ,求.解 .四、 隐函数微分法 若可微函数满足方程,则其导数可以从求出.一个方程何时能唯一决定一个可微函数,留待日后解决,现在我们通常假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题. 例7 ,求过点的切线方程. 解 对方程求导,心中记住是的函数,得 ， ，在点上,过切线方程为 , ,即 .五、 对数微分法 我们结合例子研究对数微分法 例8 ,求.解 函数定义域和,取对数 ,两边对求导,采用隐函数微分法,得 ,所以 . 例9 ,求.解 取对数,得,两边求导,得 ,. 如,.六、双曲函数及其反函数之导数 , , 性质 由 反双曲函数 不是单值函数,可选一个分