浙教版九年级数学上第一章-高频考点专训

专项训练一：求二次函数的表达式的方法利用一般式求二次函数的表达式1已知二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1，1)，求这个二次函数的表达式利用顶点式求二次函数的表达式2已知抛物线的顶点坐标为(4，1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的表达式利用交点式求二次函数的表达式3已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，且ABBC，求此抛物线的表达式利用平移式求二次函数的表达式4将抛物线yx2x3向上平移，使平移后的抛物线经过点C(0，2)，求平移后的抛物线的表达式来源:学。科 5将抛物线yax2bxc向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线yx22x3，求原抛物线的表达式(用两种方法解)灵活运用方法求二次函数的表达式6(一题多解)已知抛物线的顶点坐标为(2，4)，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线的表达式专项训练二：二次函数的图表信息问题利用二次函数解决几何图形面积最值问题1用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF0.5米(铝合金条的宽度忽略不计)(1)求窗框的透光面积S(平方米)与窗框的宽x(米)之间的函数表达式(2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？(3)当窗框的透光面积不小于10平方米时，直接写出x的取值范围？(第1题)2如图，ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到点B时，P，Q两点停止运动，设P点的运动时间为t(s)(1)当t为何值时，PBQ是直角三角形(2)设四边形APQC的面积为y cm2，求y关于t的函数表达式，当t为何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小值(第2题)利用二次函数解决与表格有关的费用(利润)问题3某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AEMN.准备在形如RtAEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如RtMEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：品种红色花草黄色花草紫色花草价格(元/平方米)6080120设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：(1)S与x之间的函数表达式为S_。(2)求W与x之间的函数表达式，并求所需的最低费用是多少元(第3题)利用图象信息解决方案最优问题4(中考南充)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系(1)求出y与x之间的函数表达式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数表达式若你是商场负责人，会将销售单价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？(第4题)专项训练三：函数中的决策问题利用二次函数解决决策问题类型1：顶点的横坐标在自变量取值范围内的决策问题1(改编青岛)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大类型2：顶点的横坐标不在自变量取值范围内的决策问题2(中考黄冈)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1(元)与国内销售量x(千件)的关系为：y1若在国外市场销售，平均每件产品的利润y2(元)与国外销售量t(千件)的关系为：y2(1)用含x的代数式表示t为：t_；当0x4时，y2与x之间的函数表达式为：y2_；当_x0；当x1时，y随x的增大而减小；b2a0；x3是关于x的方程ax2bxc0(a0)的一个根分类讨论思想3如图，抛物线yx25xn经过点A(1，0)，与y轴交于点B.(1)求抛物线的表达式；(2)P是y轴正半轴上一点，且PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标(第3题)来源:学#科#网方程思想4如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q.过Q点的直线y2xm与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B.若SBPQ3SAPQ，求这个二次函数的表达式(第4题)建模思想5某商品的进价为每件40元，售价为每件50元时，每个月可卖出210件如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖出10件(每件商品的售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元(1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2 200元？根据以上结论，请你直接写出每件商品的售价在什么范围时，每个月的利润不低于2 200元答案专项训练一1解：设这个二次函数的表达式为yax2bxc(a0)，依题意得解这个方程组，得这个二次函数的表达式为y2x23x4.点拨：若给出抛物线上任意三点的坐标，通常可设一般式求解2解：设这条抛物线的表达式为ya(x4)21，将(0，3)的坐标代入得3a(04)21.解得a.这条抛物线的表达式为y(x4)21，即yx22x3.点拨：若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式求解3解：由A(1，0)，B(4，0)，可知AB5，OB4.又BCAB，BC5.在RtBCO中，OC3，C点的坐标为(0，3)或(0，3)设抛物线的表达式为ya(x1)(x4)，将(0，3)的坐标代入，得3a(01)(04)，解得a；将(0，3)的坐标代入，得3a(01)(04)，解得a.该抛物线的表达式为y(x1)(x4)或y(x1)(x4)，即yx2x3或yx2x3.点拨：若给出抛物线与x轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解4解：yx2x3，抛物线的对称轴为直线x.将此抛物线向上平移，抛物线的开口大小、方向及对称轴都不变，可设平移后的抛物线的表达式为ya.将点C(0，2)的坐标代入，得2a.解得a.平移后的抛物线的表达式为y，即yx2x2.5解：方法一：yx22x3(x1)22，把抛物线y(x1)22向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y(x6)25x212x41.原抛物线的表达式为yx212x41.方法二：原抛物线的表达式为y(x5)22(x5)33，即yx212x41.点拨：方法一是先将表达式化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”规则来求；方法二是不将表达式化成顶点式，直接利用“左加右减”在所有的x上加减，“上加下减”在常数项上加减本题要注意逆向思考，“将未知图象平移到已知图象”转化为“将已知图象平移到未知图象”；“向右平移”转化为“向左平移”；“向下平移”转化为“向上平移”6解：方法一：设抛物线的表达式为yax2bxc，由题意得解得抛物线的表达式为yx2x.方法二：设抛物线的表达式为ya(x2)24，将(1，0)的坐标代入，得0a(12)24，解得a.抛物线的表达式为y(x2)24，即yx2x.方法三：抛物线的顶点坐标为(2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，抛物线的对称轴为直线x2，与x轴的另一个交点坐标为(5，0)设抛物线的表达式为ya(x1)(x5)，将点(2，4)的坐标代入，得4a(21)(25)，解得a.抛物线的表达式为y(x1)(x5)，即yx2x.点拨：本题分别运用了一般式、顶点式和交点式求二次函数的表达式，求解二次函数的表达式时，要根据题目条件选择灵活的方法，如：第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小专项训练二1解：(1)由题意，可知AFBECDx米，ABEF0.5米，BCGHDE.AC0.56.5x(米)SACCD(6.5x)x.整理，得Sx26.5x(0x6)(2)Sx26.5x，当x时，S最大值.即当CDAC米时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是平方米(3)令S10，即x26.5x10，解得x或x4.函数Sx26.5x的图象开口向下，当S10时，x4，即当窗框的透光面积不小于10平方米时，x的取值范围是x4.2解：(1)由题意可知，B60，BP(3t)cm，BQt cm.若PBQ是直角三角形，则BPQ30或BQP30.于是BQBP或BPBQ，即t(3t)或3tt，解得t1或t2，即当t为1 s或2 s时，PBQ是直角三角形(2)过点P作PMBC于点M，则易知BMBP(3t)cm，PM(3t)cm.S四边形APQCSABCSPBQ3t(3t)t2t，即yt2t，易知0t3.于是y，当t时，y取得最小值，为，即当t为 s时，四边形APQC的面积最小，最小值为 cm2.3解：(1)2x28x16(2)由题意，可知W604SAEH80(S正方形EFGHS正方形MNPQ)120S正方形MNPQ604x(4x)80(2x28x16x2)120x2.整理，得W80x2160x1 280，配方，得W80(x1)21 200.当x1时，W最小值1 200，即所需的最低费用是1 200元点拨：利用表格信息解决费用(利润)问题，关键要从表格中获取条件信息，然后建立二次函数模型，最后利用二次函数的性质求最值4解：(1)设y与x之间的函数表达式为ykxb(k0)由所给函数图象，得解得y与x之间的函数表达式为yx180.(2)W(x100)y(x100)(x180)，整理，得Wx2280x18 000，配方，得W(x140)21 600，当x140时，W最大值1 600.若我是商场负责人，会将销售单价定为140元，来保证每天获得的利润最大，最大利润是1 600元专项训练三1解：(1)由题意得，销售量为25010(x25)10x500(件)，则w(x20)(10x500)，整理，得w10(x35)22 250.(2)在w10(x35)22 250中，100，函数图象开口向下，w有最大值，当x35时，w最大值2 250，即当销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大2解：(1)6x；5x80；4；6(2)分三种情况：当0x2时，w(15x90)x(5x80)(6x)10x240x480；当2x4时，w(5x130)x(5x80)(6x)10x280x480；当4x6时，w(5x130)x100(6x)5x230x600.综上可知，w(3)当0x2时，w10x240x48010(x2)2440，此时当x2时，w最大值600；当2x4时，w10x280x48010(x4)2640，此时当x4时，w最大值640；当4x6时，w5x230x6005(x3)2645，此时，w0；抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，c0，ac0，错误由函数图象可得当x1时，y随x的增大而增大，错误对称轴为直线x1，1，即2ab0，错误由图象可得抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)，又对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，x3是关于x的方程ax2bxc0的一个根，正确本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合思想进行解答3解：(1)因为点A(1，0)在抛物线yx25xn上，所以有15n0，即n4.所以抛物线的表达式为yx25x4.(2)由抛物线的表达式可知抛物线与y轴的交点为B(0，4)，则AB.因为PAB是以AB为腰的等腰三角形，点P在y轴正半轴上，所以分类讨论如下：当ABAP时，因为OABP，所以OPOB，所以点P的坐标为(0，4)；当ABBP时，因为AB，所以BP，所以OPBPOB4，所以点P的坐标为(0，4)故点P的坐标为(0，4)或(0，4)点拨：本题运用了分类讨论思想，题目中只给出了以AB为腰，求出的点P要在y轴正半轴上，所以必须分两种情况求点P的坐标，否则就会丢解4解：由题意知二次函数的图象与y轴的交点Q的坐标为(0，c)，又直线y2xm过点Q，mc.联立得可得B点的坐标为(2b，42bc)作BCx轴于C，则BC42bc.SBPQ3SAPQ，SABP4SAPQ.APQ与APB同底(AP)不等高，SAPBSAPQ41BCOQ.又OQc(c0)，(42bc)c41.即2b3c40.二次函数yx2bxc的图象与x轴只有一个公共点，b24c0.联立，解得经检验，可知当b1时，抛物线的顶点在y轴左侧，不合题意，舍去b4，c4.这个二次函数的表达式为yx24x4.点拨：本题用待定系数法求函数表达式时，根据图象的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组求解解题时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不符合题意的解5解：(1)y(21010x)(50x4